厚植“三个理解” 笃行核心素养

摘要： 本文中结合“平面向量数量积的坐标表示”的教学实践，给出了五个主要教学环节的教学设计及其分析，最后从“三个理解”和数学核心素养的角度对教学设计及教学实践进行总结和反思.

关键词：三个理解;数学核心素养;数量积坐标表示;问题驱动;变式训练;案例分析

1 引言

辛丑孟春三月，市教研室专家冯斌一行来我校指导教学工作，学校安排笔者执教调研课“平面向量基本定理及坐标表示”. 本节课良好的教学效果给专家、教师留下了较为深刻的印象，现将这节课的课堂实录与教学感悟整理成文，与同行共飨.

2  教学过程简录

2.1 复习回顾，推陈出新

师：同学们，我们先回顾一下上节课的内容，请大家完成表格（表1）.

师：大家要注意两点.一是i，j的长度均为1，而且是垂直正交关系;二是终点减去起点的向量坐标和向量减法的区别.请问我们一共学习了几种向量运算？

生1：两类四种，分别是加法、减法、数乘三种线性运算和数量积运算.

师：向量的加法、减法、数乘都有了坐标表示，很自然地要问，数量积有吗？

设计意图：孔子曰：“温故而知新，可以为师矣.”由于数学学科的知识逻辑性、规律性较强，教材的编排又是按由浅入深，由易到难的原则编写的，因此很多新知识都是建立在旧知识的基础上的.先复习与本节课有联系的坐标及加减、数乘的坐标表示等旧知，再由旧知引出数量积的坐标表示，水到渠成不突兀，顺理成章很自然，而且有前面知识作为迁移，有利于学生更快地接受数量积的坐标表示，加强了新旧知识间的联系，同时也使得整节课结构紧密.这里还强调i，j的模长、垂直关系，以及两种减法的区别等学生易混淆的知识点，为本节课内容的有序展开打下基础，做好铺垫.

2.2 示范引领，探究发现

师：平面向量的数量积能否用坐标表示？

问题1已知a=x1，y1，b=x2，y2，怎样用a与b的坐标表示a·b呢？

问题2我们给出的结果是符号语言，你能用文字语言表述此结论吗？

设计意图：教材中直接让学生探求两个向量的数量积与这两个向量的坐标的关系，学生不容易想到用i，j表示a，b.因此，在问题1下方补充向量a的坐标表示的示意图（如图1），一来为学生的困难之处指明方向，二来也体现向量集数形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性，用它研究问题时可以实现形象思维与抽象思维的有机结合的特点.《述而》云：“不愤不启，不悱不发.”先引导学生主动探究，尝试推导平面向量数量积的坐标表示形式，体会知识的形成过程.接着， 针对问题1解决的关键——运用数量积的运算律计算a·b=x1i+y1j·x2i+y2j（*），以及i·i=1，j·j=1，i·j=0，点拨学生突破难点.在学生的参与下板书推导过程， 师生共同分享成果， 从而形成知识的自主建构，达到新知识的自然过渡.问题2旨在培养学生数学语言转化能力，由符号语言转化为文字语言，强调“对应”两个字，帮助学生加深对公式的记忆.

2.3 问题驱动，交流讨论

师：我们已经得到平面向量数量积的坐标表示，请同学们先独立思考，然后分小组讨论，完成以下4个问题后再交流结果.

问题3若a=x，y，你能根据所学知识推导出a的长度吗？

问题4若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为x1，y1，x2，y2，则a=        ，a=        .

问题5已知a=x1，y1，b=x2，y2，怎样用向量

a，b的坐标表示两个向量垂直的条件？

问题6已知a=x1，y1，b=x2，y2，怎样用向量的坐标表示这两个平面向量夹角的余弦值？

追问：从逻辑关系上讲，x1x2+y1y2=0是a⊥b的什么条件？

在学生交流讨论的过程中，教师巡视指导，观察发现他们书写所暴露出来的问题，如向量箭头未加、a·b点乘符号遗漏、求模长未开根号等，并及时针对这些细节强调说明，分别就四个问题请四位同学回答，教师补充完善.

设计意图：学生学习知识、掌握技能以及获取信息固然重要，但更重要的是要“学会思考”“学会学习”，懂得如何掌握与运用知识、技能和信息，在“学会”中达到“会学”.因此，教师在课堂教学中要为学生搭设合理的平台和“脚手架”，指导学生攀爬探索，从而真正成为为学生开启知识大门的引路人.数学教学过程是数学活动的过程，也是数学思维活动的过程.让学生“动起来”是产生数学思维活动的关键，而学生活动的驱动力就来源于问题.此环节中笔者采用问题串的形式展开教学，围绕着平面向量数量积的坐标表示设计了4个具有一定思维价值的问题组成问题串，以问题为载体呈现并作为任务驱动，学生在分析问题、探究问题和解决问题的过程中发现、吸收、应用数量积的坐标表示新知识，使教学变“告诉”为“探索”，实现数学知识的“自然生成”.

2.4 深入探索，实践应用

例1已知向量a=2，-1，b=1，-1.

（1）a·b=        ;

（2）向量a与b的夹角的余弦值等于 ;

（3）a+2b·a-3b=      ;

（4）3a+b=      ;

（5）若向量a+λb与a垂直，则λ= .

设计意图：此例为笔者自拟.北师大钟善基先生把数学题目按其作用分为七类，其中两类分别为“单纯为使学生熟悉新学到的公式、法则、作图法的使用对象和使用条件以及运用技能的题目”“新旧知识结合运用的计算题和作图题”.本题前两问就属于前一类，直接运用相关结论即可;后三问既要用到向量加减、数乘的坐标表示等旧知，又要用到向量数量积的坐标表示，稍微综合一些，属于后一类.在实际教学中，有部分学生对第（3），第（4）问采取先展开后用坐标计算从而形成新的解法，比如第（4）问，先对3a+b平方，再开根号得3a+b=65;也有部分学生直接运用数量积的定义式计算，从而在计算夹角的余弦值时“遭受挫折”，教师及时指明问题症结所在.本题设计问题立足于学生的基础，遵循循序渐进的原则，由易到难.对于难度较大的问题，先铺垫一些类似“梯子”“缓坡”的问题，可以降低学生学习的难度，使他们更主动地接受新知识.

例2若点A1，2，B2，3，C-2，5，则△ABC是什么形状？证明你的猜想.

变式训练（1）若AB·AC<0，则△ABC是什么形状？

（2）若AB·AC>0，则△ABC是什么形状？

问题7已知a，b均为非零向量，辨析判断：

（1）若a·b=0，则向量a与b的夹角为直角;

（2）若a·b>0，则向量a与b的夹角为锐角;

（3）若a·b<0，则向量a与b的夹角为钝角.

设计意图：例2为笔者根据教材中的例10改编，属于利用向量数量积的坐标运算判断平面图形的形状问题.教师先引导学生作出草图，进行直观判定，再去证明.学生证明此三角形为直角三角形主要是利用AB，AC的数量积为零，或者先计算三条边对应向量的模长，再利用勾股定理进行证明.变式训练和问题7主要针对学生可能会犯“由AB·AC>0得到△ABC为锐角三角形”等错误而设计的.明代学者陈献章说过：“学起于思，思源于疑.”对于学生易错、易混淆的知识点，教师可以采用变式训练的方式将这些知识整合到一起进行比较分析，在认知冲突处诱导启发学生深层次思考，借错设问，以问纠错，以问堵漏.通过教师设问继续深入挖掘探究，学生在新问题的思考和解决中能够更加深刻地理解并内化概念或方法，从而达到触类旁通，举一反三的目的，也有助于培养质疑品质，进而提高自主学习的能力.

2.5 文理交融，提升小结

师：请同学们完成下列表格（表2）.

师：我们惊奇地发现借助向量坐标，既可以解决向量的加减、数乘、数量积运算问题，也能够表示向量共线、垂直及夹角等问题，向量坐标真是“威力无穷”.为此老师模仿唐朝诗人白居易写了一首《忆坐标》：

坐标好，用处真不少.加减乘积皆好用，共线模角俱应手.能不忆坐标？

设计意图：特级教师文卫星老师说过，上一节自己满意的课，需要把握好“三个度”即“知识适度，思想高度，文化厚度”.教师传授给学生的不仅是“知”，更重要的是“识”.下课前的小结用精练、优美的语言把本节课的教学内容、方法等提升了思想高度，发展学生对向量坐标表示的整合、诠释的能力，也体现了数学的文化价值，既能缓解紧张、沉闷的课堂气氛，让学生在轻松愉悦的环境下学习，还可以帮助学生理解、记忆所学数学知识，潜移默化、润物无声中提高了学生的思想境界和文化修养，陶冶学生情操，达到以知促情，知情结合的目的.

3 教学反思感悟

3.1 优化教学设计必须厚植“三个理解”

人教社章建跃先生提出“三个理解”，即理解数学，理解学生，理解教学.理解数学就是要把握数学内容的本质，特别是对教学内容所蕴含的数学思想和方法要有深入理解.向量是近代数学中最重要的概念之一，兼具几何形式和代数形式的“双重身份”，并且拥有一套优良的运算系统，即坐标表示，成为沟通代数与几何的“重要工具”和“桥梁”.平面向量数量积的坐标表示就是运用坐标这一量化工具表达向量的数量积运算，为研究平面中的距离、垂直、角度等问题提供了全新的手段.理解学生就是要全面了解学生数学学习的思维规律，把握学生的认知特点、知识基础、学习方式和习惯.在本节课中，针对新授向量数量积的坐标表示内容与学生已有加减、数乘的坐标表示等旧知数学经验的联系，设置复习导入环节，又根据当前知识（平面向量数量积的坐标表示）与学生已有认知结构的距离，在学生的思维“最近发展区”内设置问题1～7，从而激发学生求知欲、激活学生思维，使学生的心理保持积极的、适度的求知倾向，还聚焦学生向量书写细节问题，对易错、易混和疑惑点专门进行强调和分析，有的放矢地进行教学.理解教学就是要把握教学的基本规律，按教学规律办事.教学的本质在于唤醒，教学的本体在于对话，教学的本然在于追求学生“自明”.数学教学离不开探究过程，通过问题驱动让学生在做中学、学中做，充分发挥学生的主体作用，在本节课教学过程中也充分注意学生在独立思考基础上的合作交流，充分发挥学生的主观能动性，凡是学生自己能做的，大胆放手让他们独立完成，教师不可越俎代庖，包办代替.

3.2 优化教学设计必须笃行核心素养

特级教师渠东剑认为教学设计要高屋建瓴：以核心素养为导向，以思想方法为重点，以知识落实为载体.从学生学习角度看，平面向量数量积的坐标表示的建构过程，主要体现出以下几种数学核心素养：（1）直观想象——从向量a的坐标表示的直观示意图中获得灵感，将向量的坐标形式转化为向量的代数形式;（2）数学运算——从数量积运算，对（*）式的分析处理，只有正确掌握运算法则，才能求得正确的运算结果;（3）逻辑推理——从数量积的坐标表示推理得出模长、距离、垂直、夹角等一系列的结果.古人云：“授人以鱼，不如授人以渔.”从某种意义上来说，培养核心素养比单纯传授知识重要，学生的数学核心素养决定着他们的发展水平.在数学教学中发展学生的核心素养，关键是让学生参与到卓有成效的数学活动中来，在关键的地方坚持让学生独立思考，让学生扎扎实实地经历直观感知、观察发现、归纳演绎、讨论分析、抽象概括、反思建构等数学思维的基本过程.

正所谓“三个理解百般好，核心素养不可少.抽丝剥茧拓思维，直击内核显真章”.

参考文献：

[1]黄河清.高中数学“问题导学”教学法 [M].北京：教育科学出版社，2013.

[2]於家海.创设情境＼5启迪思维＼5积累经验＼5践行素养——以“正方形截面的探究”教学为例[J].中学数学，2020（23）：11-13.