含参一元一次不等式（组）问题求解策略

徐树光

摘要：含参数的不等式问题是中考的考点之一，在每年各省市中考题中多有涉及.解决这类问题要熟练掌握一般不等式（组）的解法，逆用不等式（组）的解集，或分类讨论确定，或借助数轴确定，或借助补集思想，或端点验证来确定参数的取值范围.

关键词：运算素养；结构特点；一题多解

1 引言

若一个不等式中除了含有未知数以外，还含有其他字母，则称这个不等式为含参数的不等式.一般解题策略是先把不等式化为一边是未知数，另一边是数字或含参数的表达式，再根据题目的其他条件对表达式的正负情况讨论解答.下面以2020年中考题为例探求含参一元一次不等式（组）问题的求解策略［1］.

2 直接使用口诀

由两个一元一次不等式构成的不等式组，共有四种情况.已知a＜b，其不等式组的解集如下：

x＜a，

x＜b的解集是x＜a，即“小小取小”；

x＞a，

x＞b的解集是x＞b，即“大大取大”；

x＞a，

x＜b的解集是a＜x＜b，即“大小小大中间找”；x＜a，

x＞b的解集是空集，即“大大小小取不了”.

利用这个口诀，有时可以快速解题.

例1（2020年滨州）若关于x的不等式组12x－a＞0，

4－2x≥0无解，则a的取值范围是.

解析：由不等式12x－a＞0，得x＞2a.由不等式4－2x≥0，得x≤2.根据不等式组的解集为空集和口诀“大大小小取不了”，可知2a≥2，解得a≥1.

因此应填：a≥1.

点评：用口诀解“不等式组有解或无解”问题比较方便，但需要注意解集中等号的取舍，这对初学不等式的学生是一个难点.对此类问题还可以作以下变式：

变式1若x≥2a，

x≤2无解，则a的取值范围是.（答案：a＞1）

变式2若x≥2a，

x＜2无解，则a的取值范围是.（答案：a≥1）

变式3若x＞2a，

x＜2无解，则a的取值范围是.（答案：a≥1）

变式4若x＞2a，

x＜2有解，则a的取值范围是.（答案：a＜1）

变式5若x≥2a，

x＜2有解，则a的取值范围是.（答案：a＜1）

变式6若x≥2a，

x≤2有解，则a的取值范围是.（答案：a≤1）

3 分类讨论

由于参数的存在，各不等式解集端点的值大小关系待定，用分类讨论作答，可看出不同情况下的解集，符合题意的范围即为要求的答案.

例2（2020年黑龙江龙东）若关于x的一元一次不等式x－1＞0，

2x－a＞0的解集是x＞1，则a的取值范围是  .

解析：由不等式x－1＞0，得x＞1.由不等式2x－a＞0，得x＞a2.令a2＝1，则a＝2.

当a＞2时，原不等式组的解集是x＞a2；

当a＝2时，原不等式组的解集是x＞1；

当a＜2时，原不等式组的解集是x＞1.

所以a的取值范围是a≤2.

点评：分类讨论将所求问题细化，多次使用口诀解答，找到满足题意的参数的范围；同时，也排除了不合题意的参数范围.

4 数形结合

不等式中的参数问题本质是在运动与变化中寻找满足题意的范围，有时临界点较多，利用数形结合可以使问题直观形象，降低思维难度，尤其对等号的取舍有重要的支撑作用.

例3（2020年天水改编）若关于x的不等式3x＋a＜2的最大整数解为2，则a的取值范围是.

解析：由原不等式，得x＜2－a3.

图1图2图3

如图1，当1＜2－a3≤2时，最大整数解为1，不满足题意；

如图2，当2＜2－a3≤3时，最大整数解为2，满足题意，此时－7≤a＜－4；

如图3，当3＜2－a3≤4时，最大整数解为3，不满足题意.

因此，a的取值范围是－7≤a＜－4.

点评：数轴是数形结合的有力工具，利用数轴将不等式的解集直观表示出来，可以快速准确地建立含参不等式，对难于抉择的端点也可一目了然.

5 补集思想

当一个问题有多种可能性，或不易直接解答，可从问题的反面分析研究，即利用补集思想解决.

例4（2020年广西百色）若不等式组x－2＞1－2x，

x+m≤0有解，则m的取值范围是（）.

A.m＞－1B.m≥－1

C.m≤－1D.m＜－1

解析：解不等式组，得x＞1，且x≤－m.考虑从反面出发，求原不等式组无解时，a的取值范围.由前面的口诀，知－m≤1，即m≥－1时，原不等式组无解，即不等式有解的范围是m＜－1.故选：D.

点评：正难则反是一种重要的思维方式，巧妙运用这个策略，适当转变思路，尝试逆向思维对题目进行分析，能够降低思维难度，减少运算量.

6 端点验证

不等式中有关取值范围的问题，对端点的取舍容易出错，因此对于一些选择题，只需把端点处理好，采取端点验证法，可以减少运算量.

例5（2020年潍坊）若关于x的不等式组3x－5≥1，

2x－a＜8有且只有三个整数解，则a的取值范围是（）.

A.0≤a≤2B.0≤a＜2

C.0＜a≤2D.0＜a＜2

解：从选项中发现，解决本题的关键在于0和2是否可取.

由3x－5≥1，得x≥2.

由2x－a＜8，得x＜8+a2.

当a＝0时，不等式组的解集是2≤x＜4，有两个整数解，不合题意，所以舍去a＝0.排除A，B选项.

当a＝2时，不等式组的解集为2≤x＜5，有三个整数解，符合题意，所以a＝2可取.

因此应选：C.

点评：对于一个数学问题，能直接解答固然很好，而从不同角度思考问题，特别在考试的有限时间内快速得出答案，既可节省时间，又可提高正确率，是非常有益可取的做法.

以上含参不等式的五种求解方法，要因题而异，根据题设灵活选用，尤其是等号的处理，要正确理解.下面让我们运用这几种方法大显身手吧！

（1）（2020年德州）若关于x的不等式组2－x2＞2x－43，

－3x＞-2x－a的解集是x＜2，则a的取值范围是（）.

A.a≥2B.a＜－2C.a＞2D.a≤2

解析：解不等式组得x＜2且x＜a.又解集为x＜2，所以a≥2.故选：A.

（2）（2019年丹东）关于x的不等式组2x－4＞0，

a－x＞-1的解集是2＜x＜4，则a的值为.

解析：解不等式组，得x＞2且x＜a＋1.又已知其解集为2＜x＜4，所以a＋1＝4，则a＝3.

（3）（2020年襄阳模考）已知不等式组3x+a＜2（x+2），

－13x＜53x+2有解，但没有整数解，则a的取值范围是.

解析：解不等式组，得x＜4－a且x＞－1.则不等式组有解时，满足－1＜x＜4－a；又因为不等式组没有整数解，所以＜4－a≤0，解得4≤a＜5.

参考文献：

[1]管成芳，王鹿.巧分类，妙分离——含参的一元二次不等式问题求解策略[J].高中数理化，2019（24）：10.