二次函数中动点图形的面积最值问题探究

胡雅雯

摘要：纵观各省市中考真题，二次函数中动点图形的面积最值问题一直是热点、难点，其中三角形面积的最值问题更是呈现出考查频次高、题目分值大等特点，加之此类题目涵盖代数、几何等多维度知识，能否熟练解答此类问题已经成为影响学生数学学习的重要因素.本文中以中考真题为例，以中学生普遍掌握的数学原理为工具，尝试剖析此类问题的各种切题思维和解题路径，为中学数学教学研究提供新思路.

关键词：二次函数；动点；三角形面积；最值

1 真题呈现

［2021年重庆市中考数学（B卷）第25题］如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx－4（a≠0）与x轴交于点A（-1，0），B（4，0），与y轴交于点C．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点P为直线AD下方抛物线上一动点，连接PA，PD，求△PAD面积的最大值.

2 解法探究

（1）因为抛物线y=ax2+bx－4（a≠0）经过点A（-1，0），B（4，0），所以a－b－4=0，

16a+4b－4=0，解得

a=1，

b=－3.

所以，该抛物线的解析式为y=x2－3x－4.

本题第（2）问可采取以下解法.

2.1 补形法

2.1.1 解法提炼

在平面直角坐标系中求“斜”△APD的面积时，可以将该三角形补形为一个易于计算面积的“规则图形”，然后将补后图形的面积与所补图形的面积相减，从而得出结果.此种方法可化未知为已知、化复杂为简单，实现巧妙求解.

2.1.2 试题解析

如图2所示，过点P作PF垂直于y轴，交AD的延长线于点F.易求得直线AD的解析式为y=－x－1.

因P为直线AD下方抛物线上一动点，故设P（m，m2－3m－4）（－1

故PF=－m2+3m+3－m=－m2+2m+3.

所以S△APD=S△APF－S△PDF

=12·PF·（yP－yP－yD）

=12×（－m2+2m+3）×（｜m2－3m－4｜－｜m2－3m｜）

=12×（－m2+2m+3）×4

=－2（m－1）2+8.

所以当m=1时，△PAD面积的最大值为8.

2.2 “铅锤高，水平宽”面积法

2.2.1 解法提炼

如图3所示，过△APD的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，则外侧两条直线之间的距离a就叫作△APD的“水平宽”，中间这条垂线与AD相交于点E，则线段PE的长度h就叫作△APD的“铅垂高”.由此可以得出一种计算三角形面积的方法：

S△APD=S△APE+S△PED=12ah.

即三角形的面积等于其水平宽与铅垂高乘积的一半[1]．

2.2.2 试题解析

如图4所示，过点P作PE垂直于x轴交直线AD于点E，易求得C（0，-4），D（3，-4）及直线AD的解析式为y=－x－1.因点P为直线AD下方抛物线上一动点，故设P（m，m2－3m－4）（－1

PE=－m－1－（m2－3m－4）=－m2+2m+3.

故S△APD=12·PE·xD－xA

=12×－m2+2m+3×4

=－2（m－1）2+8.

所以当m=1时，△PAD面积的最大值为8.

2.3 公式法

2.3.1 解法提炼

本题可利用点到直线的距离公式求出△APD的高，然后结合配方法，求得高的最大值或直接求△APD面积的最大值.

公式：在平面直角坐标系中，点P（x0，y0）到直线y=kx+b（k≠0）的距离为kx0－y0+bk2+1.

推导：如图5所示，设AD所在的直线方程为y=kx+b，过点P作AD的垂线PG，垂足为G，则直线PG的解析式为

y=－1k（x－x0）+y0.

联立y=kx+b，

y=－1k（x－x0）+y0，解得

x=x0+ky0－kbk2+1，

y=kx0+k2y0+bk2+1.

所以G（x0+ky0－kbk2+1，kx0+k2y0+bk2+1）.

由两点间的距离公式，得PG=kx0－y0+bk2+1.

2.3.2 试题解析

易求得AD的斜率k=－1.因点P为直线AD下方抛物线上一动点，故设P（m，m2－3m－4）（－1

所以S△APD=12·AD·h

=12×42×－m－（m2－3m－4）－1（－1）2+1

=2－m2+2m+3

=－2（m－1）2+8.

所以當m=1时，△APD面积的最大值为8，此时P点的坐标为（1，-6）.

2.4 切线法

2.4.1 解法提炼

如图6所示，在△APD中，底边AD是确定的，平移直线AD，当其与抛物线相切于点P时，AD边上的高取最大值，即△APD的面积取最大值.

2.4.2 试题解析

如图7所示，过点P作PG⊥AD，PH垂直于x轴，分别交AD于点G，H.过点P作直线l1平行于AD，当l1与抛物线相切时，AD边上的高PG取最大值.

易求得C（0，-4），D（3，-4）及直线AD的解析式为y=－x－1，故设直线l1的解析式为y=－x+n.

联立y=－x+n，

y=x2－3x－4，得x2－2x－n－4=0.

令Δ=4－4（－n－4）=0，解得n=－5.

所以l1的解析式为y=－x－5，点P的坐标为（1，-6），点H的坐标为（1，-2），此时高PG取到最大值，最大值为

PG=PH·sin∠PHD

=PH·sin 45°

=4×22

=22.

所以S△APD=12·AD·PG=12×42×22=8.

即当点P的坐标为（1，-6）时，△PAD面积的最大值为8.

2.5 “中横结论”法

2.5.1 解法提炼

“中横结论”：若直线y=kx+m与抛物线y=ax2+bx+c交于AxA，yA，DxD，yD两点，点P为抛物线上A，D两点间的一个动点，则当点P的横坐标xP=xA+xD2时，△ADP的面积最大，即当动点的横坐标为两交点横坐标和的一半时，三角形的面积取最大值[2].

简证：联立y=kx+m，

y=ax2+bx+c，得

ax2+（b－k）x+c－m=0.

由韦达定理，知xA+xD=k－ba.

平移直线AD，当AD与抛物线相切于点P时，AD边上的高取最大值，即△ADP的面积取最大值，此时xP=xA+xD2=k－b2a.

2.5.2 试题解析

如图8所示，过点P作PK垂直于x轴，交x轴于点K，过点D作DM垂直于x轴，交x轴于点M.根据上述“中横结论”得

xp=xA+xD2=1.

所以P（1，-6）时，S△APD取最大值，此时

S△APD=S△APK+S梯形MDPK－S△ADM

=12×6×2+12×10×2－8=8.

即当点P的坐标为（1，-6）时，△PAD面积的最大值为8.

2.6 “于函定理”法

2.6.1 解法提炼

“于函定理”：如图9所示，在抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上任意取三点A，P，D，过P作对称轴的平行线，交直线AD于点E，设PE长为d，点A，D到直线PE的垂线段长分别为m1，m2，则有d=a·m1·m2[3].

利用“于函定理”，可以推导出一种新的计算三角形面积的公式.

对于形如y=ax2+bx+c的二次函数，若A（x1，y1），P（x2，y2），D（x3，y3）都在抛物线上，则△PAD的面积为12ax1－x2x1－x3x2－x3.

简证：由图可知，

S△APD=S△APE+S△PED=12d（m1+m2）.

由“于函定理”，得d=a·m1·m2.

所以S△APD=12a·m1m2·（m1+m2）.

显然有m1=x1－x2，m2=x2－x3，

m1+m2=x1－x3.

所以S△APD=12ax1－x2x1－x3x2－x3.

2.6.2 试题解析

由（1）求得该抛物线的二次项系数a=1.

因点P为直线AD下方抛物线上一动点，故设P（m，m2－3m－4）（－1

故S△APD=12ax1－x2x1－x3x2－x3

=2m-3－1－m

=－2m-3m+1

=－2m－12+8.

即当m=1时，△PAD面积的最大值为8，此时点P的坐标为（1，-6）.

3 解题感悟

综合分析以上六种解法，数形结合与转化思想是破解此类问题的“金钥匙”.在解题时，一是要以转化思想为引领，合理构造辅助线，将几何问题代数化，复杂问题简单化，实现由形转数；二是要以数形结合思想为桥梁，将抽象的数学语言与直观的图形相结合，使抽象问题具体化，实现由形析数.此外，二次函数中动点图形的面积最值问题题目变化无穷，且上述解题方法在最优题型适用上存在一定差异，建议教师在教学中既要带领学生深入剖析题目本质，也要引导学生熟练掌握以上解法，以便灵活应对不同题目.

参考文献：

[1]刘增元.一道中考压轴题的多种解法与教学思考[J].中学数学，2018（20）：87-88，91.

[2]段昆山.以二次函数为载体的三角形面积最值问题的求解策略[J].河北理科教学研究，2021（2）：1-4.

[3]高健.探究二次函数中三角形面积问题——以一道中考试题为例[J].考试周刊，2019（73）：49-51.