例谈函数思想在数学解题中的几种应用

李飞

【摘要】函数是高中数学必修知识。以函数为纽带，可以解决不同形式不同种类的数学问题。但在实际授课过程中，因为函数的灵活性以及广泛适用性，导致学生产生提函数色变的现状，为了进行有效课堂学习，提高学生数学兴趣和解题技能，提出系列措施，旨在弱化函数概念，提高函数适用性，降低学生防御心理，进而接受函数、学习函数，提高数学涵养，提升实际解题效率。

【关键词】高中数学;函数;课堂效率

高中数学中，函数几乎贯穿于整个教学流程，且形式灵活、思维模式灵活。在实际学习过程中，不少学生或因为思维固化，或因为没有掌握知识，或因为知识理解片面，导致学了不会用，或者只会用于单项训练，使得函数学习和使用流于形式，达不到融会贯通、灵活使用的目的。针对该情况，以函数思想为基础，简单列举函数思想在实际解题中的几种应用，引发学生实际思考，在实际做题过程中深入理解，让学生在实际做题过程中真正领会“悟”的过程，通过方程进行合理转化，分类讨论不同规则，记忆数列运算法则，通过数形结合运算确定范围，对抽象问题进行赋值运算，帮助学生掌握解题思维，在实际做题过程中，能进行针对性地辅助练习。

一、联通方程，科学转化

如果函数贯穿了整个高中数学体系，那么方程就是函数的具体表现形式。在实际解题过程中，学生经常会遇到方程和不等式之间存在转化关系，不等式之间依据某些给定的条件存在转化的情形，此时在规定定义域范围内，对方程或者不等式先进行转化，再求解，这时不等式会通过已知的条件进行联立，构成了不等式组，解不等式组的过程就是求解最终结果的过程。

例如f（x）在其定义域（0，+∞）为减函数，如果存在a和b，且a，b∈（0，+∞），都存在式f（a/b）=f（a）-f（b）成立，f（4）=1，求解不等式f（x+6）-f（1/x）>2的解集。

所以在函数中，求解不等式时可以将其默认为求解方程，注意不等式符号是否变化。通过将方程进行转化，或者将不等式进行转化，形成综合求解计划，计算出结果或者范围。而在本题中，方程计算的过程是为了简化参数的计算，不等式计算的过程，是为了求解最终参数的范围。二者联合，才能计算出最终结果。要求学生利用函数思想，学习交叉方程、不等式以及函数的知识，才能在实际解题过程中灵活应用，提高解题效率。

二、指向角域，分类讨论

高中数学中存在一种习题模式，题目中是函数计算式，但在实际计算过程中，发现不仅需要对函数进行计算变换，同时要对其中的参数进行重新设定。在实际设定过程中，为了计算方便的同时不出现失误，结合参数的实际定义域，限定在一定范围内，比如转化为三角函数，再进行后续分析，这种题目具有一定的隐藏性，需要学生提高警惕。

例如化简式子cos（π+x）+cos（π-x），k∈Z，该题中，三角函数为周期性函数，所以可以进行简化运算，理论上cosθ为偶函数，sinθ为奇函数（严格注意，该题目中，两个都是cosθ的函数），然而式中存在k的不确定性，导致三角函数在实际简化运算过程中很可能出现性质变换，所以需要对k进行分类讨论。

所以当对k进行不同定义时，出现了两种截然不同的结果。

在三角函数的计算过程中，因为三角函数本身具有的周期性质，需要结合已知条件，通过周期值结果相等进行简化运算。三角函数具有周期性的同时还具有奇偶性，又可以借助奇偶性进行进一步化简计算。周期、奇偶条件下的分类讨论，构成了三角函数解题的核心方法。分类讨论作为数学函数思想的重要逻辑方法，可以训练学生思维的全面性和创新性。所以在实际解题过程中，通过相近例题的培训，训练学生的数学思维。

三、数列运算，求解最值

相对函数的其他理论内容及表现规则，数列的规律性是最强烈也是最明显的。使用数列解题的前提要求是理解并记忆数列的通项公式、求和公式，并且牢记数列的单调性。高中数列只存在两种形式，等差数列和等比数列，其他形式的数列均是在该基础上的延伸。数列的变化要求学生具有良好的应变能力，学生有应变能力的前提是打好基础，理解等差数列并不意味着数字一个比一个大，等比数列也不意味着数字呈几何形式上涨，只有打好基础才能在众多繁杂数据中找到之最。

例如等差数列{an}，已知a1=-25，前9项的和S9等于前17项的和S17，问：这个数列前多少项的和最小？求出该值。

该题为基本的等差数列，一般有两种计算方式，一种方法是列出通项公式或者求和公式，利用和相等计算出公式中的公差d，再使用求和公式计算最小值。另一种方法是不直接计算公差d，也不列相应的公式，仅通过S9=S17进行理论推导。

总结1）当公差d<0时，前n项和有最大值;反之，当公差d>0时，前n项和有最小值;2）求解前n项和的最值时，可以直接求，也可以利用数列的单调性求。

当然，数列的最值问题求解方法不仅限于此，有的数列前n项和构成了二次函数，观察二次函数开口方向，利用二次函数特点求解，有的需要通过建立不等式与左右邻项比较求解。不管哪种方法，实际都是函数思想的具体应用。在函数的基础上，利用数列本身的计算逻辑规则，才能快速直达解题重点，解出相应题目。

四、解析几何，确定范围

如果说数列是简单的定点求解，那么解析结合就是数列基础上的范围搜寻。相对其他问题来说，这类问题具有很大的难度，不仅考查学生对每个点知识的掌握程度，同时考查知识的系统性和连续性，以及对知识应用的灵活性。要求学生在实际解题过程中，根据题意，首先寻找对应的知识体系，如椭圆焦点范围，或者双曲线范围等等，通过几何体本身固有性质进行函数列示计算。

所以，几何试题中某个点范围的确定，不再是单纯的函数计算，而是利用函数计算定点的范围。函数作为一种工具，在几何解题过程中起到连接作用，而其解题的本质，依然回归相应几何图形的性质。要求学生在实际习题练习过程中，不要为了函数解题而去解题，几何内涵，才是灵活应用函数的根本。

五、抽象问题，递推赋值

在实际数学解题中，会遇到一些函数题目，但是没有具体的式子，即只能推理，不能直接计算。很多学生遇到这类题目直接表现出害怕没有思路，其实这类题目相对其他题目更容易解答。这类题目一般围绕的重点是方程本身定义域、值域、奇偶性、对称性，利用函数的这些属性进行简单计算，其核心思想就是将抽象的函数具体化，从而快速解题。

在实际解题过程中，抽象函数没有具体的计算式，所以会让学生觉得陌生而无从下手。然而从实际解题的方法和思维模式考虑，抽象函数因为没有具体计算式，反而简化了计算过程，利用函数的逻辑结构，直接进行简化计算。

在高中数学中，函数是一个知识庞大的体系，函数思想是高中数学最重要、最基本的思想之一。上文列举了几个简单函数应用的题目，从题目中可以知道，每个题目并没有用到函数的所有知识，而每个题目都是对函数某个或者某些知识点的升华，所以要求学生在日常学习中，掌握基础知识，在习题演练过程中，学会全面分析题目，再借助题目中提到的知识习题进行综合列式计算，不断总结经验方法，才能真正理解数学。

【参考文献】

[1]陈玉生.数学文化，让课堂更具活力[J].中学数学教学参考，2016（Z3）.