三式类比在初中数学教学中的运用研究

李爱丽

【摘要】在初中数学学习中，类比是一种重要的思想方法。该文提出了简化式、结构式、降维式三种形式的类比，引导学生在类比中寻找知识关联点构建知识网络，关注知识差异性创设合适的类比情境，并在活动中内化这种思维方法，以提高数学教学的效率，促进学生数学关键能力的习得。

【关键词】概念教学  简化式  结构式  降维式

【中图分类号】G633.6   【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2022）02-0111-03

类比是一种思维方法，同时也是一种学习方式，具体是指由于两个对象在某些方面具有相同或者相似的性质，推断出这两个对象在其他性质上也有可能相同或者相似。具体到数学学科中，根据两个知识（概念）的相似性，通过合理推理将其中一个知识的已知特性迁移到另一个知识上。因此，在数学教学中，教师就可以运用这种思维进行教学，将原来抽象的、复杂的、离学生生活较远的知识通过与学生熟悉的、已学的知识进行类比，更生动、立体地呈现给学生，增加数学学习的趣味性，促进学生数学思维的发展。

一、定位：类比的教学价值探讨

在数学教学中，教師要充分挖掘数学中各种知识点之间的关联，让学生在类比旧知识的结构中认识新知识，从原有的知识经验中“生长”出新的知识经验。这种教学法关注学生的数学现实，扎根于学习者已有的认知，促进了学生知识迁移能力的提升，也有利于增强其对知识逻辑性的认识，帮助他们将知识串成链，结成网。这样的教学有其独特的价值。

1.类比是一种思想方法

类比既是一种非常重要的思想方法，也是一种有效的教学方法，在学生发现结论、提出猜想时发挥着重要的作用，在教学中对培养学生直觉思维能力、知识迁移能力及增加课堂教学的有效性方面均功不可没。

2.类比是一种推理方式

“课标”在教学理念中明确提出要发展学生推理能力的要求，而类比推理是一种或然推理，即推理的前提正确，但结论不一定正确，需要经过演绎推理证明。因此教学时，教师既要引导学生关注知识的相似性，也要关注知识之间的差异性。

3.类比是一种学习策略

数学知识是一个联系的整体，特别是有些并列数学知识，如三角形、正方形、平行四边形、菱形等各种图形，就可以合理地运用“类比”让学生感受学习各种图形的策略与路径。引导学生在“类比”中探究，在“探究”中建构新知识，形成稳定、清晰且整体的认知结构，从而让学生感受数学的整体性。

二、实践：三式类比及其策略

在数学教学中，根据数学内容的特点，笔者探索了类比的三种不同形式，以及运用类比的策略。

（一）类比方式

1.简化式类比

简化式类比就是将目标命题进行简化，通过类比命题的证明思路与方法，寻找目标命题的证明思路与方法。在实际教学中多通过“降元”或“降次”来实现。在学习新概念时，先找到比较熟悉的概念，通过探索两者之间的关系，完成从熟悉概念到新概念迁移的过程，在初中代数中比较典型的就是方程学习过程。例如在学习二次函数性质探究时，首先让学生回忆一次函数性质是如何探究的？一次函数探究过程为：教师首先引导学生通过“列表、描点、连线”的描点法画出函数图像，再探究图像的形状、图像经过的象限和系数的关系、图像的增减性与系数的关系。教师由此引入探究二次函数性质时，通过类比一次函数来研究，其具体过程也相似：学生仍通过“列表、描点、连线”得出二次函数的图像是抛物线，同样探究图像经过的象限与系数关系、图像的增减性与系数关系。教师引导学生通过类比研讨及时让学生发现并总结研究函数图像与性质的三部曲：画出函数图像→根据函数图像猜想函数的性质→用数学语言表述二次函数的性质，这个过程就是数形结合思想探讨函数性质。最后学生很自然还会发现二次函数与一次函数的不同点：二次函数存在顶点、对称轴和最值。在这样的简化式类比中不仅可以关注到知识之间的“同”，还可以关注到知识之间的“不同”，而这些细微的“不同”正是体现知识本质属性的核心。

2.结构式类比

这种类比需要从找到的相关已知知识的性质、定义等多方面加以分析，依据知识结构的相似性来寻找已知知识和新学知识之间相似的问题，通过问题的探究，实现对目标命题的全面认识以及能辨析清楚目标命题与类比命题之间的关系，并在这个过程中培养从多角度思考与认识概念的路径与方法。它需要从已知知识的性质与定义等方面加以类比分析，依据结构上的相似性来寻求能够进行类比的问题，然后将已知知识作适当的代换，最终实现已知问题向新学问题的转化。例如：在教学菱形与矩形性质时，教师可以类比平行四边形性质来研究，平行四边形的性质从边、角、对角线、对称性四个方面探究，同样菱形、矩形的性质完全可以从边、角、对角线、对称性四个方面研究，并列出下面表格。

通过列表进行类比和对比得出矩形和菱形特有的性质。类比不仅仅有研究相同点的类比，更重要的是研究几何图形的特有的性质，通过结构式类比，懂得几何图形中四边形的研究主要是从边、角、对角线的位置关系和数量关系，从而得出各自的性质。

3.降维式类比

这一类类比多用于研究由好几面组成的复杂的几何问题，可以先考察并解决一个与它类似的，但是设计的方面少一些的问题，或将其转化为难度较低的问题，使原来复杂且抽象的问题能够具体化、简单化。待问题解决之后，再用解决简单问题或者这几方面较少问题时所使用的方法或结论扩展到复杂且难度高的问题。

在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交AC边于点D，AO的延长线交BC边于点H，当AD=2，CD=3时，让学生探索出以下结论：=，=，△DAO∽△DBA，∠BAO=∠DAO=∠ABD等结论， 而后再引导学生思考下列问题：“如图，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交AC边于点D，当AD=2，CD=3时，若△BOH的面积为S1，四边形CDOH的面积为S2，记λ=，求λ的值。”

在活动探究中，教师引导学生从前面的基本图形出发，通过分析、比较，探究出这种问题的解法。这一过程主要是通过类比将图形进行分解，实现降维的目的。

（二）类比策略

在运用三种形式类比学习数学概念过程中，教师要寻找合适的类比关联点，创设合适的类比情境，在数学活动中内化数学的思想方法。

1.寻找关联点，构建知识网络

学生通过类比的探究活动，构建数学体系中相关联的知识网络，就能在适宜的结构中生长，形成稳定、清晰且整体的认知结构。如几何中典型的是多边形和平行四边形的学习，它们都可以将三角形作为类比源，类比是为了转化，将新问题转化为已知问题。又如在总复习中，利用关联点，在类比中重新构建起知识网络这个方法非常有用，在特殊四边形的复习中，教师可以将平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的判定纵横联系起来，建立起一张有关图形的知识网络图。然后再分组讨论，通过“类比式”综合分析，探究出平行四边形和特殊平行四边形的判定主要从边、角、对角线这三个视角来考虑，根据边的位置关系和数量关系、角的数量关系、对角线之间的关系来推断是何特殊平行四边形。通过这样寻找合适的關联点，建立起一张系统的知识网络图，这样既减少了学生在知识掌握时的死记硬背，还能清晰地掌握各种图形之间的差异与联系。

2.关注差异性，创设类比情境

在类比教学中，教师要能够识别出知识的核心本质，充分关注知识相同点的同时，更要关注到知识的不同点。教学中，将类比内容适时地呈现给学生后，重点探究新旧知识之间的差异，在“异”中进行新知识的学习，完成新知识结构体系的搭建。例如“相似三角形的性质的应用”这一实际应用对于初中的数学学习来说是一个重点，也是难点。在教学中，我们抓住相似三角形的性质，可以通过创设不同情境来探究其性质。请看下面一组情境：

（1）小聪的影子问题探究中，影子落在平地上：在同一时刻，小聪测得他在地上的影子长为1米，距他不远处一支竖直旗杆的影长为5米，已知小聪的身高为1.6米，求旗杆的高度。

（2）影子落在竖直的墙面上：小聪在某一时刻测得1米长的竖直放置的竹竿的影长为2米，在同时测量旗杆的影长时，旗杆的影子有一部分落在墙上（如图），小聪测得旗杆落在地面上影长为25米，留在墙上的影高为4米，求旗杆的高度。

（3）影子落在台阶上：小聪在某一时刻测得1米长的竖直放置的竹竿影长0.5米，在同时刻测量旗杆的影长时，旗杆的影子有一部分落在第一级台阶上（如图），测得此影长为0.5米，一级台阶高0.3米，此时落在地面上的影长为4.4米，求旗杆的高度。

（4）影子落在斜坡上：如图，当太阳光线照射过来时，旗杆AB的顶端A的影子落在斜坡E处，小聪测得旗杆在地面上的影长BD=20米，斜坡上的影长DE=2米，斜坡与水平地面的夹角为30°。同一时刻一根1米长的直立的竹竿的影长为3米，根据这些数据求出旗杆的高度。

（5）影子落在球体上：在一半径为60cm的半圆形障碍物前600cm（BF=600cm）有一竖直的柱子，已知落在半圆上的影长为20cm，同时，一直立70cm竹竿的影长为180cm，求柱子AB的高。

以上教学中通过测量旗杆高度这一大情境，利用相似三角形的性质求旗杆高度。但在这一情境中，又有影子落在平地、竖直墙面、台阶、斜坡、球体上五个不同的地点，也就是创设了五个小情境。通过这五个小情境探究同一类问题，让学生通过类比的方式得出解题的方法与解题的思路，以及所用的数学思想，拓展了学生的思维，激发了学生学习数学的兴趣，提高了课堂效率，同时也能灵活地应用相似三角形的性质。

3.根植活动中，内化思维方法

课堂中教师不仅要设计各种有效的探究活动引导学生进行类比，同时也要在随堂作业设计、课后作业拓展等各个环节中培养学生的类比意识，教师要致力于还原数学知识的产生和发展过程，在多元化的教学活动中让学生充分经历充满质疑、判断、比较和推理的过程，将数学的思想、研究的方法根植于学生心中。例如：课堂练习的设计，针对学生学习过程中的重点、难点、易错点，根据类比意识研发小专题，让学生学得精、学得深。例如在教学二次函数对称问题时，根据学生易错题：

抛物线y=2（x-3）2-1关于x轴对称的抛物线解析式设计了这样的例题：

例题：已知二次函数y=2（x-3）2+3，求它的图像关于x轴对称的抛物线的解析式。

在教学完例题之后，立即设计这样一组题跟进巩固：

变式1：已知二次函数y=-2x2-4x+1，求它的图像关于原点对称的抛物线的解析式。

变式2：已知二次函数y=2x2-4x+1，求它的图像关于直线x=3对称的抛物线的解析式。

变式3：已知二次函数y=2（x-3）2+3，求它的图像关于y轴对称的抛物线的解析式。

变式4：已知二次函数y=-2x2-4x+1，求它的图像关于直线y=-1对称的抛物线的解析式。

通过这样的一题多变，多题一解的联系中，引导学生在纵深类比思想中对思维进行训练，提高各方面的思维品质。

可见，在初中数学教学中，合理地应用不同形式的类比，能够让学生更深刻地认识核心概念，并且还能够将这个概念放在整个知识体系中去理解与应用，积累更多学习数学概念的方法，进一步培养学生的数学思维。

参考文献：

[1]袁健.指向数学学科核心素养的概念图教学设计模式探究[J].中学数学，2021（2）.

[2]胡小英.结构相似性类比推理在中学数学教学中的应用[J].内蒙古师范大学学报（教育科学版），2014（12）.

[3]陈勇.类比推理在初中数学教学实践中的应用研究[J].西部素质教育，2016（23）：247.