从线面平行谈立体几何复习策略

摘要：以线面平行为突破口，梳理其证明方法，对二面角的平面角也做了传统方法和向量法的训练，以此抛砖引玉，希望点燃学生主动总结反思的积极性，也教给学生以方向、思路和方法，从而更好地结构化复习总结，提升学生数学综合核心素养.

关键词：线面平行;二面角的平面角;向量;核心素养

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）07-0068-04

收稿日期：2021-12-05

作者简介：巨小鹏，男，陕西省汉中人，硕士，从事数学教学研究.[FQ）]

将某些方法融入知识进行整合复习，以思维为突破口，让学生觉得有新意，能调动学生复习的积极性，又能启迪学生自觉理解知识的系统结构.立体几何的解题策略无非就是：①利用向量一做到底;②利用纯传统方法;③利用传统方法加向量法相结合.

1 目标学情解析

1.1 教学目标

以线面平行为突破口，梳理其证明方法，复习巩固立体几何解题策略.

1.2 目标内容解析

知识层面：让学生理解线面平行不仅仅单一地从线线平行入手或者面面平行入手，也让学生理解二面角的平面角问题的解题策略;

思想方法层面：让学生深刻理解向量法和传统方法各有优势;从核心素养方面培养学生几何直观和空间想象能力、逻辑推理能力以及数学运算能力.

1.3 学情分析

学生基础较好，学习新知能力较强，富有空间想象能力和逻辑推理能力.

1.4 重难点

重点：掌握向量法和传统方法的立体几何解题策略.

难点：构建抽象结构的空间想象能力并灵活选择解题方法.

2 教学过程

2.1 复习提问

立体几何中证明线面平行有哪些方法？什么是二面角的平面角？

（学生从定义和判定定理出发，也有从向量出发，但是向量法并不全面，暂且不说，给出例题再做补充）

2.2 例题引入

例1如图1，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=3，AC=2，点E是PD的中点.

（1）求证：PB∥平面AEC;

（2）在线段PB上（不含端点）是否存在一点M，使得二面角M-AC-E的平面角的余弦值为1010？若存在，确定点M的位置;若不存在，请说明理由.

（开始点名让学生在黑板板演，然后鼓励学生依次展示分享自己的其他方法，然后补充答案，学生对此印象更加深刻）

2.2.1 第（1）问解析

思路1如图2，连接BD交AC于点F，连接EF.因为ABCD为平行四边形，所以F是BD的中点.

又E是PD的中点，所以EF∥PB.

又EF平面AEC，PB平面AEC，

所以PB∥平面AEC.

思路2 如图3，以点A为坐标原点，射线AC，AB，AP分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系A-xyz，假设EF=λPB存在，则EF=（0，32，-32）=λ（0，3，-3）=（0，3λ，-3λ），可得λ=12.

即存在λ=12使得EF=λPB成立，结合思路1得证.

思路3求出平面AEC的法向量n和向量PB，求得n·PB=0，即得證.

思路4 假设λEA+μEC=PB存在，同样的方法解得λ=μ=12，即利用共面向量定理即可.

（学生最初并没有思路3和思路4，通过引导，思路3就出来了，再点拨鼓励，才有思路4的脱颖而出，此处强调总结向量法解题的策略，思路4应该是最优方法，也是通法，也体现了向量法的优越性.）

2.2.2 第（2）问解析

解法1（向量法）由题意知，如图3，建立空间直角坐标系A-xyz，设M（x0，y0，z0），PM=λPB（0<λ<1），则（x0，y0，z0-3）=λ（0，3，-3）.

得M（0，3λ，3-3λ）.

设平面AEC的法向量为n1=（x1，y1，z1）.

由n1·AE=0，n1·AC=0及

AE=（1，-32，32），AC=（2，0，0），

得n1=（0，1，1）.

设平面MAC的法向量为n2=（x2，y2，z2）.

由n2·AM=0，n2·AC=0及

AM=（0，3λ，3-3λ），AC=（2，0，0），

得n2=

（0，1-1λ，1）.

设二面角M-AC-E的平面角的大小为θ，则

|cosθ|=|n1·n2||n1|·|n2|）

=|2-1λ|

2·（1-1λ）2+12=1010.

化简，得9λ2-9λ+2=0.

解得λ=13或λ=23（舍）.

当λ=13时，PM=12PB.

故PM=13PB时，二面角M-AC-E的平面角的余弦值为1010.

解法2（传统法）连接BD交AC于点F，连接EF.因为ABCD为平行四边形，所以F是BD的中点.

因为AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=3，AC=2，在Rt△PAD中，AE=12PD.

在Rt△PCD中，EC=12PD.

所以在等腰△EAC中，EF⊥AC.

可证得CA⊥面PAB.

可知CA⊥AM.

在面ACM中，过中点F可作FN//AM，

即∠EFN为二面角M-AC-E的平面角.

借助坐标，利用向量，然后解三角形即可.

总结提升第（1）问传统方法思路大概有三种：①利用中点找中位线;②利用平行四边形;③找出面面平行，必要的时候需要割补.但是都离不开中点，不如找中位线方便简单.利用向量求证线面平行方法如上面解答的三种思路，不做赘述，需要提醒的是，求点坐标的时候有两种思路：①向坐标轴作垂线;②利用向量相等，第二种思路常常简便得多，但是容易被忽略.

2.3 变换题型反馈

例2如图4，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.

（1）证明：MN∥平面C1DE;

（2）求二面角A-MA1-N的正弦值.

2.3.1 第（1）问解析

解法1连接ME，B1C，所以ME为ΔB1BC的中位线.

所以ME∥B1C且ME=12B1C.

又N为A1D中点，且A1D

B1C，

所以ND∥B1C且ND=12B1C.

所以ME

ND.

所以四边形MNDE为平行四边形.

所以MN∥DE.

又MN平面C1DE，DE平面C1DE，

所以MN∥平面C1DE.

解法2取AD的中点，连接NG，GB，证明NM∥GB∥DE即可.

解法3连接DE，延长DE交AB的延长线于点G，证明NM是△A1DG的中位线，从而得证.

解法4利用向量思路证明即可.

2.3.2 第（2）问解析

解法1利用向量法，设AC∩BD=O，A1C1∩B1D1=O1，由直四棱柱性质可知：OO1⊥平面ABCD.

因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.

则以O为原点，可建立如图5所示的空间直角坐标系.

所以DF为平面AMA1的一个法向量，且DF=32，32，0.

设平面MA1N的法向量n=x，y，z，

所以n=3，1，-1.

所以cos<DF，n>=DF·nDF·n=155.

所以sin<DF，n>=105.

所以二面角A-MA1-N的正弦值为105.

解法2利用传统方法，且不止一种角度.比如（1）中的解法3中，可证DE⊥面A1AD，即面A1DG⊥面A1DA.

作AO⊥A1D，垂足为点O，可证得∠OMA就是二面角A-MA1-N的平面角，从而解三角形.

也可以在面ADD1A1中过点A作AF⊥DA1，垂足为点F，可证∠AMF为二面角A-MA1-N的平面角，解三角形即可.

也可以利用等体积法求出点A到平面DMA1的距离d，即

sinα=dAM，不做赘述.

总结评注 选取传统方法还是向量法，在于具体分析题中给出的条件，也根据自己掌握的两种方法情况而定，题本身的信息量也多样，给不同基础的学生提供了想象的空间和多维度的平台，同时考查学生分析问题和解决问题的能力，考查学生化归和转化的思想.试题把空间想象能力、逻辑推理能力、空间建系、向量运算、二面角的平面角和作图能力很好地融合在一起.

2.4 作業布置

整理笔记，联想思维对比，总结垂直问题解题策略，让学生自己去揭示解题规律.

3 课后反思

本节课以问题为导向，以例题为载体，充分调动学生的积极性，从不同角度去思考分析，解决问题，从而全面地认识解决一个问题的多层次分析，多层次开拓，对知识进行了梳理，对思想方法进行了优劣对比，有利于对学生空间想象能力和逻辑思维能力的培养，但是对于二面角的平面角稍显薄弱，表现在求二面角的大小分析，角度的范围以及半平面的理解都是学生认识模糊的地方.对于二面角的平面角的求法有五种方法：①利用定义作出二面角的平面角;②利用三垂线定理及其逆定理作出二面角的平面角;③利用射影面积公式法;④利用向量夹角公式;⑤利用法向量.由于时间关系，并没有对此做总结.作为一轮复习，全面综合地分析问题很重要，也需要对学生进行专门地训练，比如对于本节课至少需要做3-6道题对所有的方法进行集中训练，才能在考场上做到游刃有余，省时高效.

教育的主题是唤醒人的超越性，超越需要开阔的精神空间.教书就是“抛砖引玉”，就是“留白”的艺术，就是“授人以渔”，就是鼓励，就是解放手脚嘴巴，就是发现，是欣赏，是激发，是引导，是潜移默化地让思维散开，让精神升华，通过思维的引导让精神变得丰富，在此之间，会有感情的碰撞，学生与学生，老师与学生，以及问题与学生都会产生微妙的感知变化，这种感知会引导大家向着更好的方向发展.

参考文献：

[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2] 教育部考试中心.中国高考评价体系[M].北京：人民教育出版社，2019.

[3] 程靖，鲍建生.“四基”：中国特色数学教育体系的核心理念[J].数学教学学报，2019，28（03）：2-6.

[4] 李铁安，宋乃庆.高中解析几何教学策略——数学史的视角[J].数学教育学报，2007（02）：90-94.

[5] 高立东，孙立文.立体几何专题备考策略与复习建议探讨[J].吉林省教育学院学报（中旬），2013，29（02）：102-103.

[责任编辑：李璟]