一道斜率为定值模考题的探究与变式

摘要：本文对一道高三模考中的斜率定值问题进行推广与变式，得到椭圆中的几个一般性结论，并通过类比得到双曲线和抛物线中的相关结果.

关键词：斜率;定值;中点;顶点

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）07-0028-03

收稿日期：2021-12-05

作者简介：高继浩（1987-），男，四川省天全人，硕士，中学一级教师，从事中学数学教学研究.[FQ）]

1 试题呈现

题目（2021年5月北京市东城区高三二模）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点为F，左、右顶点分别为A-2，0，B2，0，AF=3FB.

（1）求椭圆C的方程;

（2）设过点P2，1的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，过点N作x轴的垂线，与直线BM交于点D，E为线段DN的中点.证明：直线BE的斜率为定值.

答案：（1）x24+y23=1;

（2）直线BE的斜率为-32.

2 问题提出

改变试题第（2）问点P的坐标后，直线BE的斜率还为定值吗？注意到试题中B，P两点的横坐标相同，利用软件GeoGebra作图发现，若保持点P的横坐标不变，改变点P的纵坐标且点P不与点B重合，则当直线l绕着点P转动时，直线BE的斜率仍为定值.这是否具有一般性呢？

3 推广探究

命题1设B为椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的右顶点，过点Pa，tt≠0的直线与椭圆交于不同的两点M，N，过点N作x轴的垂线，与直线BM交于点D，E为线段DN的中点，则直线BE的斜率为定值-b2at.

证明显然直线MN的斜率存在，设其方程为y-t=kx-a，与椭圆方程联立，消去y整理，得

b2+a2k2x2+2a2kt-akx+a2（a2k2-2atk+t2-b2）=0.

设Mx1，y1，Nx2，y2，则Δ>0，且

x1+x2=2a2kak-tb2+a2k2，

x1x2=a2a2k2-2atk+t2-b2b2+a2k2.

直线BM的方程为

y=y1x1-ax-a.

令x=x2，得

yD=y1x2-ax1-a.

故yE=yD+y22=y1x2-a+y2x1-a2x1-a.

所以kBE=yEx2-a=y1x2-a+y2x1-a2x1-ax2-a，

其中分子

y1x2-a+y2x1-a=kx1-ak+tx2-a+kx2-ak+tx1-a

=2kx1x2+t-2akx1+x2+2aak-t

=[2a2ka2k2-2atk+t2-b2+t-2ak·2a2k·ak-t+2aak-tb2+a2k2]/（b2+a2k2）

=-2ab2tb2+a2k2，

分母

2x1-ax2-a

=2x1x2-ax1+x2+a2

=2·[a2a2k2-2atk+t2-b2-a·2a2k·ak-t+a2b2+a2k2]/（b2+a2k2）

=2a2t2b2+a2k2，

故kBE=-2ab2t2a2t2=-b2at.

考虑左顶点得到：

命题2设A为椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左顶点，过点P-a，tt≠0的直线与椭圆交于不同的两点M，N，过点N作x轴的垂线，与直线AM交于点D，E为线段DN的中点，则直线AE的斜率为定值b2at.

参照命题1可证得.

命题3设B为椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的上顶点，过点Pt，bt≠0的直线与椭圆交于不同的两点M，N，过点N作y轴的垂线，与直线BM交于点D，E为线段DN的中点，则直线BE的斜率为定值-bta2.

考虑下顶点得到：

命题4设A为椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的下顶点，过点Pt，-bt≠0的直线与椭圆交于不同的两点M，N，过点N作y轴的垂线，与直线AM交于点D，E为线段DN的中点，则直线AE的斜率为定值bta2.

4 类比探究

在双曲线和抛物线中有：

命题5设B为双曲线x2a2-y2b2=1a>0，b>0的右顶点，过点Pa，tt≠0的直线与双曲线交于不同的两点M，N，过点N作x轴的垂线，与直线BM交于点D，E为线段DN的中点，则直线BE的斜率为定值b2at.

命题6设A为双曲线x2a2-y2b2=1a>0，b>0的左顶点，过点P-a，tt≠0的直線与双曲线交于不同的两点M，N，过点N作x轴的垂线，与直线AM交于点D，E为线段DN的中点，则直线AE的斜率为定值-b2at.

命题5（命题6）的证明过程与命题1类似，略.

命题7设O为坐标原点，过点P（0，t）t≠0的直线与抛物线y2=2pxp>0交于不同的两点M，N，过点N作x轴的垂线，与直线OM交于点D，E为线段DN的中点，则直线OE的斜率为定值pt.

证明显然直线MN的斜率存在且不为零，设其方程为y=kx+t，与抛物线方程联立，消去y，得k2x2+2tk-px+t2=0.

设Mx1，y1，Nx2，y2，则Δ>0，且

x1+x2=2p-tkk2，x1x2=t2k2.

直线OM的方程为y=y1x1x.

令x=x2，得yD=x2y1x1.

故yE=yD+y22=x2y1+x1y22x1.

所以kOE=yEx2=x2y1+x1y22x1x2=x2kx1+t+x1kx2+t2x1x2=2kx1x2+tx1+x22x1x2=2t2k+2tp-tk2t2=pt.

命题8设O为坐标原点，过点P（0，t）t≠0的直线与抛物线y2=-2pxp>0交于不同的两点M，N，过点N作x轴的垂线，与直线OM交于点D，E为线段DN的中点，则直线OE的斜率为定值-pt.

参考文献：

[1] 高继浩.一道双曲线题的探究[J].中学数学研究（华南师范大学版），2021（07）：33-34.

[2] 高继浩.一道武汉市质检试题的探究与变式[J].数学通讯，2021（15）：32-33.

[3] 高继浩.探究一道两线关系的质检试题[J].中学数学教学，2021（03）：36-37.

[责任编辑：李璟]