基于核心素养的几何单元整体教学实践研究

汪小莲 马振华

[摘  要] 文章以“相似三角形”单元整体教学为例，阐释单元整体教学设计的规划以及单元课时的统筹，指出几何教学中应取“数学学科育人”之势，明“深度学习促数学学科核心素养”之道，优“结构关联建构单元教学”之术.

[关键词] 核心素养;单元整体教学;相似三角形

“双减”背景下，如何彰显数学学科内在价值，落实学生数学核心素养的培育，是数学教学中值得思考与研究的问题. 单元整体教学从学生的认知特征入手，强调知识内容和学习方法的完整性，以此发展学生的核心素养. 对于教师而言，单元整体教学能帮助教师在教学中理清数学知识的脉络，将教书和育人融为一体;对于学生而言，单元整体教学能让学生在最近发展区和现有发展区的不断迭代中发展知识迁移能力，提升数学思维层次. 文章以“相似三角形”单元为例，谈谈对单元整体教学实践的思考.

问题提出

1. 知识点状化，难以促使学生主动学习

现行数学教材大都按公理化的体系以一节课为时间单位进行内容编排. 在日常教学中，部分教师会忽视数学的内在联系、内在逻辑，对知识进行点状化教学，概念、定理一个一个教，有内在联系的知识点被分散在不同课时中. 课上完，学生只会做本节课知识点的相应练习，处于模仿套用阶段，属于低阶思维状态. 点状化知识无法有机呈现其内在关联，学生很难将学到的知识整合成一个整体，从而造成知识提取困难、学习迁移度较低等问题，很难促使学生主动学习.

2. 方法孤立化，难以提升学生的深度思维能力

整体教学使深度学习在课堂上真实发生，而教材内容通常是以一个个“知识点”呈现的，这样容易使教师只是围绕和关注知识点设计教学与习题. 这种教学方式会让学生忽视解题方法的内在关联，使学生的認识仅仅停留在单一记忆和机械掌握的水平，导致学生一遇到综合练习就不知道如何灵活地选择与运用方法，无法对知识进行迁移和应用，难以实现深度学习和数学育人的目标.

基于核心素养的初中几何单元

教学构建

1. 单元整体教学需要明确单元内容和作用

“相似三角形”（浙教版九年级上册）是学完“三角形”“特殊三角形”和“全等三角形”等知识后，需要进一步学习的三角形的相关知识. 在前期几何图形的学习中，学生初步了解了如何获得研究对象，以及如何发现研究对象的基本性质，在此基础上，这一单元对图形关系进行一般化，研究图形与图形形状相同的关系——相似，并以相似三角形为对象研究相似变化的知识结构链（如图1所示）. 从知识的联系上看，相似三角形是学生学习全等三角形之后对图形关系的进一步深化，同时相似三角形的相关知识能为学生以后学习其他几何图形、三角函数等知识打好基础;从方法的联系上看，相似三角形的研究思路和全等三角形一样，都要经历“定义—性质—判定—应用”的过程.

2. 单元整体教学需要基于学生的认知

单元整体教学是以培养数学核心素养和落实数学育人为目标的一种教学方式与策略. 教师在开展单元整体教学时，要从学生熟悉的数学知识和已有认知基础入手，以整体关联为抓手，选取基于学生生活的情境素材，使学生感知数学与生活的密切联系，从而有效地增强学生学习数学知识、运用数学知识解决相关问题的内在动力. 得到相似图形的定义的一般流程是：情境引入、确定研究对象（抽象）、概括本质特征（抽象）、下定义. 对比浙教版的引入和人教版的引入我们可以发现，浙教版跳过了相似图形，直接学习相似三角形的相关知识，没有让学生经历从生活实例中抽象出数学图形的过程，使学生学到的知识缺乏整体性;人教版的引入贴近学生生活，从图形放大或缩小中获得研究对象——相似图形，特殊化研究相似多边形，即聚焦研究相似三角形，并引导学生对比全等图形的学习，启发他们的研究思路，这样的设计有利于发展学生的数学核心素养，提升学生的学习能力.

3. 单元整体教学需要关注知识之间的联系

单元整体教学能使学生的学习更系统，能让学生理解数学知识之间的联系，并在习得数学知识的同时体会到其中蕴含的思想方法. 学习“相似三角形”这一单元之前，学生已经认识与探究了平面几何图形，特别是全等三角形，有一定的推理能力和探究经验. 在抽象出相似三角形的定义之后，学生自然会联想到所学的全等图形的知识，得到相似三角形的研究路径（如图2所示），即从定性到定量研究其性质，优化定义这一判定方法，得到其他几个判定方法，从而整体地认识这一单元的所有知识，积累研究几何图形关系的经验.

4. 单元整体教学重视知识的应用

数学教学活动的出发点是培养学生的实践能力和创新意识. 这一单元伊始的多个生活实例能使学生体会到数学与生活的紧密联系，学完相似三角形的性质与判定方法之后，还需要教师设计相应的活动让学生感受到数学在生活中的应用，做到首尾呼应. 如设计让学生运用相似三角形知识，使用身边简单的工具测量操场上旗杆的高度等活动. 设计这样的活动的目的有两个：一是让学生进一步理解与巩固相似三角形知识;二是提升学生的应用能力，让他们用所学的数学知识解决现实生活中的问题，真正在课堂上引导学生的思维从低阶转向高阶（设计测量旗杆的方案），从而培养学生的核心素养.

在核心素养视角下细化教学

环节

原来的教材中，相似三角形的应用更多的是进行数学知识情境练习，教师只需要讲解课本中的知识内容及解题技巧，使得数学课堂仅仅是教授枯燥的理论知识，即使是跟生活相关的应用题也脱离实际，这样的教学不利于培养学生的数学核心素养. “利用相似三角形解决实际问题”这一知识安排了2个课时. 旗杆是学生最熟悉的情境，教师可以测量学校旗杆高度为任务，让学生参与到自主思考设计方案、实践测量旗杆高度、独立计算旗杆高度、师生交流建立数学模型等活动中. 下面，笔者从提出问题与方案设计、路径规划与实践操作、评价交流与建立模型、认知深化与思维提升这四个环节出发，具体阐述这2个课时的内容安排.

1. 提出问题与方案设计

提出问题：这是校园里常见的旗杆，你能用学过的数学知识及身边简单的工具获得它较为准确的高度吗？好的问题对学生的深入钻研有很大的帮助. 学生几乎天天看到旗杆，对于它的高度，都很感兴趣. 问题中“简单的工具”为得到较为准确的旗杆高度带来了挑战，这是知识与能力的拓展. 在这一环节，教师可布置实践报告作业：设计方案、准备工具、抽象成数学图形，学生可课后或者周末完成. 布置这种把生活问题抽象成数学问题并以方案设计的形式完成的作业，有利于发展学生的数学抽象素养.

2. 路径规划与实践操作

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索和合作交流是学习的重要方式. 实践证明，动手实践操作不仅是提高教学效益的有效措施，还是学生解决问题的捷径. 常规的数学课通常是教师在教室里采用讲授的方式进行，这节课则改变了课堂的场地和教学方式：首先，让学生以小组为单位交流完成的设计方案，进行设计方案的初步优化与选择，小组交流后根据设计的方案进行合理分工（此环节需要5～10分钟）;分工结束后，安排小组成员来到操场进行数据测量和计算，之后对比结果，思考误差产生的原因，继续优化设计方案，体会理论和现实的差距. 教师则在此过程中适当点评和指导，根据小组完成的情况向小组提问，比如：这里有升旗台的高度，是否需要考虑？如何减小测量的误差？假如地面不平，如何解决？假如不能进入升旗台，能否测出旗杆的高度？教师通过整合单元内容，让学生围绕共同主题进行综合性学习，引导他们走向深度学习，从而发展他们的数学核心素养.

3. 评价交流与建立模型

围绕实践报告开展交流展示、自我评价、同学评价能使学生的语言表达能力、合作能力、自信心等得以发展. 解决问题后建立相应的数学模型很有必要，因为其能增强学生的模型意识，且用模型解决新问题能提升学生的知识迁移能力. 到了“利用相似三角形解决实际问题”的第2课时，学生轮流汇报他们的分工情况及小组测量得到的结果. 在这个过程中，各小组成员须负责汇报自己完成的工作，从而促使小组每位成员都积极参与其中. 当一个小組汇报时，其他小组负责评价与补充，教师则引导他们说出设计方案所依据的原理，以及抽象成的数学图形. 就这样，通过学生之间的交流、教师的引导，各小组会得到最终的设计方案（数学模型）. 最后，教师从各个小组得到的结果中提出新问题，分析误差并对模型进行优化.

这节课采用“学生先行，交流呈现，教师断后”的教学模式，教师在整体统筹下推进教学，能让学生建立整体性认知结构，从而真正理解、掌握数学知识.

4. 认知深化与思维提升

课堂的时间有限，无法解决很多相似又具有难度的问题，对此，教师可根据实际情境创造性地改变题目的背景，形成多层次、多角度的数学实际新问题. 在单元整体教学下，教师可引导学生把新旧知识组成知识链，寻求解决问题的方法，并让他们在巩固原有知识的基础上，发散数学思维，从而培养学生的创造力，落实数学核心素养的培养. 当学生通过这两节课亲身经历提出问题、分析问题、解决问题、解后反思的过程后，他们能真正地感知到数学知识的应用价值，此时教师可抛出一个新问题（见下面的问题1）作为探究性作业.

问题1：测量旗杆的高度时，如果我们身边只有尺、测倾仪、镜子、笔等简单工具，且不能进入升旗台，刚才这些方法还能用吗？那旗杆的高度该怎么测呢？

【图3是预设的数学模型之一：测出观测人的眼睛到地面的距离CD=a，第一次仰角∠ACH=α，移动距离CE=DF=b，第二次仰角∠AEH=β，则旗杆高度AB=a+.】

等学生解决“问题1”后，教师可以继续提出问题（见下面的问题2）.

问题2：实际操作时，图3中的D，F，B三点共线不是一件容易的事情. 你有什么代替方案吗？

【图4是预设的数学模型之一：测出观测人眼睛到地面的距离CD=a，第一次仰角∠ACH=α，向上移动距离CG=c，第二次仰角∠AGK=γ，则旗杆高度AB=a+c+.】

基于核心素养的单元整体教学

思考

通过对“相似三角形”单元整体教学的实践和探索，笔者最深刻的感悟有以下三点.

1. 从关注教材转向关注课程标准和学科核心素养

基于核心素养的初中数学单元整体教学设计不是单纯的知识点讲解或解题技能培训，而是从关注教材知识的讲授到关注学生素养的形成. 教师需要思考如何通过特定的主题和目标展开教学活动，并围绕主题将各内容按逻辑联系起来，形成结构化的单元，进而提升知识的整体性与系统性.

“相似三角形”这一单元的整体教学，是通过引导学生类比全等三角形的知识方法和研究思路，从而获得相似三角形的研究路径，过程中渗透了从特殊到一般的思想方法，使得学生从整体上理解了“相似三角形”这一单元的知识结构. 这样的整体教学设计不仅能更好地落实课程标准的要求，还能使学生将原有的认知结构内化为一种整体的、系统的、结构化的、可迁移的学习策略.

教学中，教师引导学生通过小组合作探究的模式，及时记录探究过程，定时交流探究结果，从而使学生形成完整的问题解决方案. 这样的教学设计不仅能让学生感受到知识的体系，而且能有效地提升学生创建知识网络的能力，促进学生数学核心素养的有效提升. 此后，当学生再遇到与此相似的知识，如相似多边形的性质与判定时，他们就能够主动地运用已有的学习经验快速习得.

2. 从落实知识点到培养学生解决实际问题的能力

上述案例，设计的问题情境是测量学校旗杆的高度，并在此基础上相继提出如何测量有障碍物的旗杆高度与有障碍物且地面不平的旗杆高度两个问题. 不管是哪种情况，所采取的研究思路都是“知识准备—测量实践—结果分享—建立模型—反思优化—分析问题—解决问题”. “有障碍物”“地面不平”等因素都会影响所测旗杆高度的准确性. 提出这样的问题，能让学生在解决问题的过程中思维更加严谨，并认识到数学问题的解决是从简单到复杂的过程，使数学知识的应用价值深入学生心中. 这样的学习方式打破了教材中纵向知识和横向知识之间的壁垒，使知识之间实现了纵横交融，把一个个知识串联起来组成结构群. 这种在数学学科的整体视角下建立的结构链之间的关联性结构群，能让学生以深层次思维解决“万变”的生活实际问题. 在这一过程中，学生迁移了数学方法，培养了数学思维，实现了从“学会”到“会学”的转变. 知识对于他们来说，不再是学习显性化的符号，而是将其转化为自身发展、成长的丰富资源.

3. 从简单的思维训练到促进结构化思维迁移

在几何教学中，教师需要建构单元知识之间的联系，并对初中数学内容进行整体架构. 具体的操作方式是：从组成概念的基本要素出发，寻找知识之间的关联点，按从特殊到一般的思路，先掌握一般三角形的相关要素、基本要素之间的联系，再考虑基本要素特殊化后的关系，从而顺利建构初中学段三角形的知识体系. 当从系统的、结构化的视角去认识几何图形时，学生就会运用这种结构化的思维解决类似问题，即“研究对象在变，但研究套路不变”. 这一研究思路能让学生从数学的角度发现问题、提出问题、分析问题并解决问题，从而感悟数学思维的结构化和系统性.