例谈拉格朗日乘数法在解多元函数最值中的应用

汪佳婕

(海宁市南苑中学)

多元函数范围问题是近年来各类考试中的热门问题,这类问题不仅形式多样,而且涉及知识面较广、难度大、综合性强,对思维能力要求较高,涉及函数、不等式、线性规划、导数等高中重要知识,体现了函数、化归与转化及数形结合等数学思想.换元法、基本不等式法、判别式法、导数法、放缩法是解决这类问题常见的基本方法,这些方法灵活多变,学生往往不能合理运用或因计算量较大导致半途而废.拉格朗日数乘法在求解多元函数最值问题时,解法简单,便于操作,可以更好地拓宽学生的解题思路.

1 试题呈现与解法探究

例1(2010年四川卷理12)设a＞b＞c＞0,则2a2＋10ac＋25c2的最小值是( ).

本题所给的多项式项数多,涉及变量多,既有整式又有分式,如果不利用配凑等变形技巧,很难求出最小值,配凑的实质是对表达式进行恒等变形,是一种有目的的定向变形.

故选B.

利用配凑法解题对学生的逻辑思维能力要求较高,学生常常不知如何下手.特别地,对于一些较复杂的多元函数最值问题,虽然解题方法多种多样,但是技巧性强.高等数学中的拉格朗日乘数法操作简单,为学生解决多元函数最值问题提供了一种有效的方法.

拉格朗日乘数法求函数z＝f(x,y)在条件φ(x,y)＝0下极值的一般步骤如下.

1)构造函数L(x,y)＝f(x,y)＋λφ(x,y)(λ为参数).

2)对L(x,y)求偏导,并令其等于0,与附加条件φ(x,y)＝0联立得

3)由上述方程组解出x,y,则点(x,y)就是z＝f(x,y)在条件φ(x,y)＝0下可能的极值点.

下面用该方法解答例1.

以上问题属于无条件极值问题,解法2可以看成是拉格朗日乘数法的雏形,但仍然能够看到利用拉格朗日乘数法带来的方便性与可操作性.

2 拉格朗日乘数法的应用

2.1 单一条件极值问题

例2若a2-＋2b2＝1,则a2＋b2的最小值为________.

2.2 多条件极值问题

例3 已知实数a,b,c满足a＋b＋c＝0,a2＋b2＋c2＝1,则a的最大值为________.

构造L(a,b,c)＝a＋λ(a＋b＋c)＋μ(a2＋b2＋c2-1),联立

2.3 其他知识隐藏下的极值问题

构造L(x,y)＝|b|2＋x2＋y2-4x-5y＋xy,联立解得x＝1,y＝2.所以x0＝1,y0＝1,此时|b|2＋1＋4-4-10＋2＝2,所以|b|＝.

例5(2021年浙江卷理17)已知平面向量a,b,c(c≠0)满足|a|＝1,|b|＝2,a·b＝0,(a-b)·c＝0.记平面向量d在a,b方向上的投影分别为x,y,d-a在c方向上的投影为z,则x2＋y2＋z2的最小值是_____.

构造L(x,y,z)＝x2＋y2＋z2＋λ(2x＋y--2)＝0,联立

3 反思与感悟

高考数学命题遵循《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》,从解题策略来看,高考更注重通性通法,淡化特殊技巧.但是认真分析各地高考试题后,又不难发现有很多问题利用通性通法对技巧性思维性要求太高,适当补充一些高等数学中的方法可以提高学生的思维水平,激发学习兴趣,更好地培养学生的核心素养.

(完)