基于数学核心素养视角下赏析一道高考真题

胡 娜

(河北省石家庄市第一中学)

母题(2021年新高考Ⅱ卷)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来,设一个这种微生物为第0代,经过一次繁殖后为第1代,再经过一次繁殖后为第2代……,该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列,设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数,P(X＝i)＝pi(i＝0,1,2,3).

(1)已知p0＝0.4,p1＝0.3,p2＝0.2,p3＝0.1,求E(X);

(2)设P表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率,p是关于x的方程:p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一个最小正实根,求证:当E(X)≤1时,p＝1,当E(X)＞1时,p＜1;

(3)请根据你的理解,说明第(2)问结论的实际含义.

(1)利用公式计算可得E(X).

由题意P(X＝0)＝0.4,P(X＝1)＝0.3,P(X＝2)＝0.2,P(X＝3)＝0.1,则

(2)利用导数讨论函数的单调性,结合f(1)＝0及极值点的范围可得f(x)的最小正零点.

设f(x)＝p3x3＋p2x2＋(p1-1)x＋p0,因为p3＋p2＋p1＋p0＝1,故

若E(X)≤1,则p1＋2p2＋3p3≤1,故p2＋2p3≤p0.因为f′(x)＝3p3x2＋2p2x-(p2＋p0＋p3),所以

故f′(x)有两个不同的零点,设其为x1,x2,x1＜0＜1≤x2,当x∈(-∞,x1)∪(x2,＋∞)时,f′(x)＞0.当x∈(x1,x2)时,f′(x)＜0,故f(x)在(-∞,x1),(x2,＋∞)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减.若x2＝1,因为f(x)在(x2,＋∞)上单调递增且f(1)＝0,而当x∈(0,x2)时,因为f(x)在(x1,x2)上单调递减,故f(x)＞f(x2)＝f(1)＝0,故1为p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一个最小正实根,若x2＞1,因为f(1)＝0且在(0,x2)上单调递减,故1为p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一个最小正实根.

综上,若E(X)≤1,则p＝1.

若E(X)＞1,则p1＋2p2＋3p3＞1,故p2＋2p3＞p0,此时

故f′(x)有两个不同的零点,设其为x3,x4,且x3＜0＜x4＜1,当x∈(-∞,x3)∪(x4,＋∞)时,f′(x)＞0;当x∈(x3,x4)时,f′(x)＜0,故f(x)在(-∞,x3),(x4,＋∞)上单调递增,在(x3,x4)上单调递减,而f(1)＝0,故f(x4)＜0.

又f(0)＝p0＞0,故f(x)在(0,x4)存在一个零点p,且p＜1,所以p为p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一个最小正实根,此时p＜1,故当E(X)＞1 时,p＜1.

(3)利用期望的意义及根的范围可得相应的实际含义.

意义:每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1,则若干代临近灭绝,若繁殖后代的平均数超过1,则若干代后被灭绝的概率小于1.

【数学建模】本题所设计的模型有两个,一是涉及期望的计算,这里是概率统计问题中的常见数学模型;二是函数的零点问题,这通过概率与导数的有机结合,较好地呈现出了利用导数研究函数的零点问题.

【数学运算】对于一道复杂的数学问题,要想正确解答,要能够正确运算每一步,这里要能够正确根据期望公式进行计算,要能够正确利用导数公式进行求导,同时明确概率的和为1,只有在正确计算的基础上才能够完整解答所给问题.

【数据分析】根据第(2)问的实际含义,联系实际,能够用数据说话,较好地对学生的数据分析能力进行考查.

【逻辑推理】根据概率和为1进行变量代换,较好地检测学生的思维能力,根据导数研究函数的单调性和零点能够较好地检测学生的逻辑推理能力.

第(2)问除上述解法外,还可以这样解答.

由题意知

当E(X)≤1时,f(1)≤0,f(x)的正实根x0≥1,原方程的最小正实根为p＝1;当E(X)＞1,f(1)＞0,f(x)的正实根x0＜1,原方程的最小正实根p＝x0＜1.

追踪练习

贝诺酯为对乙酰氨基酚与阿司匹林的酯化产物,是一种新型的抗炎、抗风湿、解热镇痛药,主要用于类风湿关节炎、急慢性风湿性关节炎、神经痛及术后疼痛.药监部门要利用小白鼠扭体实验,对某厂生产的该药品的镇痛效果进行检测,若用药后的小白鼠扭体次数没有减少,扭体时间间隔没有变长,则认定镇痛效果不明显.

(2)若该药品对每只雌性小白鼠镇痛效果明显的概率均为p,现对6只雌性小白鼠逐一进行检测,当检测到镇痛效果不明显的小白鼠时,停止检测.设至少检测5只雌性小白鼠才能发现镇痛效果不明显的概率为f(p),求f(p)最大时p的值.

(1)由题意,随机变量X的可能取值为-4,-2,0,2,4.因此

X的分布列如表1所示.

表1

(完)