探究数列的核心考点

夏淑花

(山东省济南市章丘中学)

数列问题是高考常考的一类题型,属于每年必考内容,因此了解数列的常考题型是非常有必要的.本文主要通过例题对数列常考内容进行梳理,并总结每类试题的解题方法.

1 数列的通项公式

例1(2021 年全国乙卷理19)记Sn为数列{an}的前n项和,bn为数列{Sn}的前n项积,已知＝2.

(1)证明:数列{bn}是等差数列;

(2)求{an}的通项公式.

数列的通项an与前n项和Sn的关系是an＝注意an＝Sn-Sn-1的条件是n≥2,还须验证a1是否符合an(n≥2),若符合则合并,否则写成分段形式.若已知关系式中既有an又有Sn,可考虑消去Sn,或消去an.

2 数列的性质的应用

例2(2021年全国甲卷文9)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S2＝4,S4＝6,则S6＝( ).

A.7 B.8 C.9 D.10

由等比数列的性质可知S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,所以4,2,S6-6 成等比数列,所以22＝4(S6-6),解得S6＝7.故选A.

若Sn≠0,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列,特别注意其前提条件是Sn≠0.在运用等比数列的前n项和公式时,必须注意对q＝1与q≠1分类讨论,防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误.

3 数列的基本量

例3(2020年全国Ⅰ卷文10)设{an}是等比数列,且a1＋a2＋a3＝1,a2＋a3＋a4＝2,则a6＋a7＋a8＝( ).

A.12 B.24

C.30 D.32

设等比数列{an}的公比为q,则a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝1,a2＋a3＋a4＝a1q＋a1q2＋a1q3＝a1q(1＋q＋q2)＝q＝2,因此,a6＋a7＋a8＝a1q5＋a1q6＋a1q7＝a1q5(1＋q＋q2)＝q5＝32.故选D.

对于等比数列基本量的计算问题,要明确已知什么,未知什么,然后再根据等比数列的通项公式或前n项和公式灵活运算.

4 数列的证明

例4(2021 年全国甲卷文18)记Sn为数列{an}的 前n项 和,已 知an＞0,a2＝3a1,且数列}是等差数列,证明:{an}是等差数列.

当n≥2时,有

由①-②,得

经检验,当n＝1 时也满足③,所以an＝(2n-1)a1(n∈N*),当n≥2时,有

所以数列{an}是等差数列.

对于等差数列或等比数列的证明问题,常出现在高考解答题中,学生要能够熟练掌握等差数列和等比数列的常见证明方法.

5 分段数列

例5(2021年新高考Ⅰ卷17)已知数列{an}满足a1＝1,an＋1＝

(1)记bn＝a2n,写出b1,b2,并求数列{bn}的通项公式;

(2)求{an}的前20项和.

(1)由题意得b1＝a2＝a1＋1＝2,a3＝a2＋2＝4,b2＝a4＝a3＋1＝5,因此有

所以数列{bn}是以2为首项,3为公差的等差数列,所以bn＝3n-1.

(2)由(1)可得a2n＝3n-1(n∈N*),则

当n＝1时,a1＝1也满足上式,所以

所以数列{an}的奇数项和偶数项分别为等差数列,则{an}的前20项和为

若an＝bn±cn,且{bn},{cn}为等差数列或等比数列,可采用分组转化法求{an}的前n项和.

6 数列求和

例6(2021年全国乙卷文19)设{an}是首项为1的等比数列,数列{bn}满足bn＝,已知a1,3a2,9a3成等差数列.

(1)求{an}和{bn}的通项公式;

(2)记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和,证明:Tn＜

(1)因为a1,3a2,9a3成等差数列,所以6a2＝a1＋9a3,因为{an}是首项为1的等比数列,设其公比为q,则6q＝1＋9q2,所以q＝,则

数列的常见求和有分组求和、裂项相消法求和以及错位相减法求和,对于此类问题,要熟练掌握常见的求和方法,对于错位相减法求和问题,应特别注意将两式“错项对齐”.

(完)