谈高中数学写作资源的开发*

仓万林 李 红 (江苏省江阴市要塞中学 214432)

数学写作又称WTL(通过写作来学习)，是一种新型的学习方式．借新课程改革的东风，数学写作活动的教育价值有了新的内涵．开发合适的数学写作资源，对数学写作活动具有重要意义．如果将数学写作作品中的素材看成一桶水，那么写作资源的开发就相当于去寻找水的源头．2017年5月，“数学写作”学校联盟成立，目前全国已经有20多个省份的100多所学校加盟．下面结合“数学写作”学校联盟成员的经验，谈谈高中数学写作资源的开发问题．

1 研读教材

教材是师生在教和学过程中最容易得到、也是最常用的材料．笔者在数学写作活动中反复呼吁教师和学生们应充分合理使用教材，与其感叹时间不够用却又沉湎于题海战术不能自拔，不如就地取材，认真研读教材，尤其是新版的人教A版数学教材，是数学写作素材的重要源泉．

1.1 教材章首

数学教材在历次版本的更新换代中，其可读性也越来越强，许多图片也升级为彩色印刷，更加贴近中学生阅读的实际．在这个读图的时代，这些元素都是必需的．教材的封面、主编寄语(谈数学的作用和学习之法)、本册导引、目录、章首语等内容中有大量隐性的数学课程元素，阅读这些内容可以培养数学学习的大局观，让学生从宏观上认识学习的内容、结构、方法，促使学生的视角从士兵向将军转化，提升数学学习的能力，帮助学生更好地亲近数学、理解数学，改变部分学生对数学学科的刻板印象．在奶粉行业的营销中，大家都说婴儿的第一口奶特别重要．笔者在指导学生读书的时候，特别是起始年级，舍得花时间和学生一起看这些似乎和数学解题无关的因素，甚至连这本书的价格是多少这一细节也不放过，因为这也是有意义的——教材价格与学生们购买的大量教辅图书价格相比有很大差异，这是学生们在今后的建模问题中推敲模型合理性、可靠性的一个重要指标．

笔者曾经在了解学情的阶段布置过这样的作业题：

作业：我的数学之路

认真阅读课本上主编寄语谈到的数学学习方法，你有什么体会？或者你认为在数学学习中最重要的方法是什么？简单介绍自己的数学学习情况，比如有哪些困惑或者特殊的学习经历、需要老师提供什么帮助等．200字以上，文体不限，欢迎更为完整的作品，一周时间完成．

当然教材中还有很大篇幅的数学史和数学文化类阅读材料，在帮助学生更好地理解数学的同时，也是数学写作的素材来源．

1.2 教材概念

概念是数学学习中的重要内容，李邦河院士曾经说：“数学是玩概念的，技巧不足道也．”在新教材中，我们惊喜地发现，许多概念后面都有一些围绕概念理解的思考题，引导学生更好地理解概念，如“函数的单调性”一节，后面就留下了这两个思考题．

(1)设

A

是区间

D

上某些自变量的值组成的集合，而且对任意

x

,

x

∈

A

，当

x

<

x

时，都有

f

(

x

)<

f

(

x

)，我们能说函数

f

(

x

)在区间

D

上单调递增吗？你能举例说明吗？

(2)函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出在整个定义域内是单调递增的函数例子吗？你能举出在定义域内的某些区间上单调递增但在另一些区间上单调递减的函数例子吗？

笔者在布置学生预习时，顺便让他们看了苏教版教材上的练习题8：

下列说法正确的序号是

．(1)若定义在

R

上的函数

f

(

x

)满足

f

(2)>

f

(1)，则函数

f

(

x

)是

R

上的增函数；(2)若定义在

R

上的函数

f

(

x

)满足

f

(2)>

f

(1)，则函数

f

(

x

)是

R

上不是减函数；(3)若定义在

R

上的函数

f

(

x

)在区间(-∞,0]上是增函数，在区间[0,+∞)上是增函数，则函数

f

(

x

)在

R

上是增函数；(4)若定义在

R

上的函数

f

(

x

)在区间(-∞,0]上是增函数，在区间(0,+∞)上是增函数，则函数

f

(

x

)在

R

上是增函数．

学生们可以对照函数的定义，结合函数图象深入思考，对加深概念理解很有作用，功夫在无形中增长．这个概念理解过程就是数学写作的素材之一．

1.3 教材例题(习题)

新教材中的例题和习题，其设计形式和开放程度较以前版本有了很大的变化．认真研读教材后，可能会深刻影响到今后的教和学．学生们在学习中发现，部分问题(包括例题的解答)和自己的认知有很大的差异，将其梳理出来，就是很好的批判性学习和写作的素材．如人教A版教材第206页例5：

求函数的单调递增区间．

分析 令当自变量

x

的值增大时，

z

的值也随之增大，因此若函数

y

=sin

z

在某个区间上单调递增，则函数在相应的区间上也一定单调递增．

解

令则因为单调递增区间是且由得所以函数的单调递增区间是这个例题的解法很有违和感，学生们花了不少时间琢磨其通性通法，并整理成文，很有收获．这就是数学写作活动中一个典型的批判性视角的解题研究文章的素材，开发类似资源对培养学生的探究能力很有帮助，能有效提升学科核心素养

.

目前的教和学，并没有跳出传统经验的“坑”，经验成为学习的障碍，这些都值得深刻反思．如果我们认真对待教材上的例题和习题，会发现这还真不是一个忽悠人的“坑”，而是一个“矿”，一个“富矿”，更是数学写作中的宝贵资源．

2 课堂生成

课堂是数学学习的重要阵地，受制于时空等多种因素的制约，许多内容教师往往讲不透，这时候教师常说“这个问题，同学们可以课后思考一下”，这意犹未尽的部分也是数学写作的重要来源．很多时候，学生们的个性化学习就是这样形成的．

案例

基本不等式中的素材拓展．

基本不等式是高中数学的难点和重点之一，现在放在第二章，许多教师和学生还是很不适应的(这个可以讨论)．在基本不等式教学中，笔者和学生共同探讨的写作素材方面包含而不仅局限于：

(1)第39页上基本不等式的无字证明，从赵爽的勾股图出发，无字证明基本不等式．

(2)基本不等式中的“1”的代换和配凑问题．

(3)基本不等式中的难言之隐，一换了之——换元法面面观．

听课过程中的点点滴滴和疑问都可以成为写作的重要出发点，也是写作的重要资源，在此基础上，学生们可以学会思考和深度思考．

3 数学文化

经过若干年的预热，数学文化逐渐为大众认可．比如湖北卷2015年高考中的“鳖臑”问题，仍然是人们“怼人”的经典方式之一，成为一种社会文化现象．数学文化也是数学写作的一个重要来源．

海伦公式亦叫海伦-秦九昭公式，相传这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德得出的，而因为这个公式最早出现在海伦的著作《测地术》中，所以被称为海伦公式．它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，表达式为其中

a

,

b

,

c

分别是三角形的三边长，已知一根长为8的木棍，截成三段构成一个三角形，若其中有一段的长度为2，则该三角形面积的最大值为

．

解析

由海伦公式可知不妨设

a

=2，则

b

+

c

=6，则当且仅当4-

b

=4-

c

，即

b

=

c

=3时等号成立，故答案为

某学生在课后进行了深入思考，发现这是一个简化加工过的问题，原问题中三角形的动点的轨迹是以两定点为焦点的椭圆，椭圆方程为由椭圆的几何性质有界性，很快可以解决问题．

这些以数学文化为背景的试题，其中最经典的案例就是阿波罗尼斯圆，以此为写作素材的作品很丰富，限于篇幅，本文不再赘述．

4 数学游戏

很多游戏之中蕴含着丰富的数学原理，比如部分扑克牌中的游戏，可以用数学知识、特别是数论知识来解释，学生还可以上网查阅．现在许多学生宅在家里过春节，微信抢红包是少不了的常规活动，常见的微信红包方式都可以用数学模型来解释，不仅仅是看运气或某品牌手机或网络速度．比如谈祥柏先生作品中的一个有意思的材料，故事选自《谈祥柏趣味数学详谈》丛书的《数学福尔摩斯》分册．

山不在高，有仙则名；水不在深，有龙则灵．在日本有座名不见经传的吉野寺，这个寺庙的历史倒也蛮悠久的，方丈曾经游览过许多中国的著名寺庙，看来读万卷书和行万里路都做到了．当然，我们关心的是方丈的数学最强大脑．方丈的秘诀是这样的，任意给出八个数，比如下面的形式然后有

“零”的谐音即为“灵”，方丈解读为一切皆“灵”．有这么厉害的方丈，这寺庙的香火想不旺都很难，放在今天也是网红寺庙了．

有学生在阅读后发现，这是一个数学恒等式呀，我们完全可以按方丈的规则来说明问题，和字母的取值没有关系．

将这八个数一般化得到下面的运算学生都会做(只需给出二阶行列式的定义)，细心一点，妥妥的送分题嘛！

原来，这是必然成立的结论！

以数学游戏为题材的数学写作，真正实现了寓教于乐．

5 其他形式

除了上面这几种常见类型外，科普活动、社会实践活动等，也是数学写作活动重要的素材来源．

数学写作中写作资源的开发体现了其学科融合的特色，在数学写作中，数学学科核心素养、综合能力等都将得到提升．