稳基础 重能力 求本质——2021年新高考I卷评析*

顾晓峰 (江苏省锡山高级中学 214174)

在经历“八省联考数学”的“惊心动魄”后，2021年新高考数学I卷最终回归平静．没有让学生发懵的三项数列递推，没有陌生的台体公式，也没有抽象难懂的曲率，试卷命题遵循新课标的“四基”要求，秉持“立德树人”的核心目标，在继承2020年新高考I卷(山东卷)命题风格的同时也作出了一些创新．试卷的诸多亮点值得品味与反思，其中呈现出的新动向与新变化也将深刻影响2022年高考数学的复习教学．

1 试卷分析

2021年新高考I卷由教育部考试中心命制，为山东、河北、湖北、湖南、江苏、广东、福建七省使用．同2020年新高考I卷一样，试卷不分文理，且以2017版数学课程标准为本确定考试范围，在试卷结构上大体保持一致，但也出现了一些变化：

(1)多选题分值由原来“部分选对得3分”调整为“部分选对得2分”，增加了该题型的区分度；

(2)压轴填空题变为双空题，既扩大了考查知识的范围，也利于学生逐步探究并尽量得分，在丰富命题形式的同时照顾到了学生心态；

(3)未出现结构不良的开放性试题；

(4)除立体几何题外，解答题中其余考点的位置均发生了变化，其中三角函数题由原来第一题后移至第三题，变化较大．

考试内容整体分布合理，试题坚持体现基础性、综合性、应用性和创新性的特点，难度把握上科学调控，具有很好的选拔性，本文将分三个层面对试题进行评析．

2 试题评析

2.1 稳固基础——立足主干知识方法的覆盖

2

.

1

.

1

考点分布

2021年新高考I卷必修和选择性必修考点分布如表1、表2所示．

表1 2021年新高考I卷必修考点分布

主题单元试题分布主题一 预备知识集合1常用逻辑用语相等关系与不等关系从函数观点看一元二次方程与一元二次不等式主题二 函数函数概念与性质13幂函数、指数函数、对数函数三角函数4,6,10,19主题三 几何与代数平面向量及其应用10复数2立体几何初步3,20主题四 概率与统计概率8统计9

表2 2021年新高考I卷选择性必修考点分布

主题单元试题分布主题一 函数数列16,17一元函数导数及应用7,15,22主题二 几何与代数空间向量与立体几何12,20平面解析几何5,11,14,21主题三 概率与统计计数原理概率18统计主题四 数学建模活动与探究活动数学建模活动与数学探究活动16

2

.

1

.

2

考点分析

与2020年新高考I卷对比，试卷加大了对三角函数、解析几何、导数、概率和空间向量与立体几何的考查，体现命题对核心主干知识的回归．如解析几何涉及了四题，且分别考查了圆、椭圆、双曲线与抛物线，考查形式涵盖了所有题型，难度设置从容易到中档再到较难．试卷不再对相等与不等关系、初等函数和计数原理进行单独考查，弱化了统计、立体几何初步的相关内容，表明命题考虑到了知识的作用，凸显出预备知识与部分基础知识的工具性，符合新课标的要求．

试题不仅对基础知识覆盖全面，也强化了对数学基本思想方法与技能的考查：分类与整合(第4,12,15,19题等)，数与形结合(第7,11,12,16题等)，化归与转化(第5,7,10,19题等)，函数与方程(第7,19,21,22题等)．试题的解决以通性通法为主，淡化特殊技巧，其中第1～6,9～10,13～14,17～18和19～22题的第(1)问均属于容易题，侧重考查了知识、公式、概念和基本性质的直接应用．纵观整张试卷，其稳健固本、立足基础的特点显现得淋漓尽致．

2.2 重视能力——凸出关键能力的考查

关键能力是评价学习者认识、分析与解决问题水平的核心指标，基于数学新课程改革的核心素养要求以及《中国高考评价体系》的理论指引，一般将高考数学关键能力的考查定位于四项：阅读理解、信息整理、语言表达与批判性思维．

2

.

2

.

1

信息阅读与整理

例1

(全国I卷第16题)某校学生在研究民间剪纸艺术，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规格为20 dm×12 dm的长方形纸，对折1次共可以得到10 dm×12 dm,20 dm× 6 dm两种规格的图形，它们的面积之和

S

= 240 dm，对折2次共可以得到5 dm×12 dm, 10 dm×6 dm,20 dm×3 dm三种规格的图形，它们的面积之和

S

=180 dm，以此类推，则对折4次可以得到不同规格的图形的种数为

；如果对折

n

次，那么

dm．本题是以中国数学文化为载体的信息题，首先列举对折3次、4次后的情形，进一步归纳得到对折

n

次后，共有

n

+1种规格的图形，并且每种图形的面积都是从而这实际是一个“等差×等比型”数列，可利用错位相减法求和．本题综合考查了逻辑推理、数学建模与数学运算的能力，难点在于将文字语言(折纸的步骤方法)翻译为图形语言(列举不同规格的图形)，再整理成符号语言(数列的通项与求和)．通过对阅读到的信息逐步整理(筛选、加工和总结)，理解问题的数学意义并选择合适的模型予以解决，是解决创新性问题的必备能力．

2

.

2

.

2

批判性思维

批判性思维是数学理性思维的高度表现，它促使学生面对新问题情境时，能够综合运用已有知识进行独立分析，多角度理解，主动寻找问题解决的途径，并能够审视过程的严谨性与合理性．

例2

(全国I卷第7题)若过点(

a

,

b

)可以作曲线

y

=e的两条切线，则( )．A．e<

a

B．e<

b

C．0<

a

D．0<

b

本题表面上看是几何问题，实质上需要通过设出切点(

x

,e)，然后表示切线并转化为关于

x

的方程e(1-

x

+

a

)=

b

有两个不等根，再构造

f

(

x

)=e(1-

x

+

a

)，画其草图研究它与直线

y

=

b

何时有两个交点．问题的解决需要学生对导数的几何意义与利用导数研究函数单调性的知识深入理解，同时熟练运用数形结合、函数方程的思想对问题进行转化，这对批判性思维能力的要求较高．其实对于一部分学生来说，还可以发现过(

a

,

b

)要能作

y

=e的两条切线，则(

a

,

b

)一定在曲线

y

=e的下方且在

x

轴上方，这就直接得0<

b

．这种“秒杀法”建立在学生于平时的学习中能够拥有充足时间思考并有机会大胆提出不同想法，而这也是批判性思维形成的基本土壤．

例3

(全国I卷第19题)记△

ABD

的内角

A

,

B

,

C

的对边分别为

a

,

b

,

c

，已知

b

=

ac

，点

D

在边

AC

上，

BD

sin∠

ABC

=

a

sin

C

．(1)证明：

BD

=

b

；(2)若

AD

=2

DC

，求cos∠

ABC

．本题第(1)问直接使用正弦定理便可解决，属基础题，但第(2)问将不少学生“卡住”，究其原因是无法整合已知条件．其实，

BA

,

BD

,

BC

分别是

c

,

b

,

a

，点

D

为

AC

边上靠近

C

的三等分点，目标指向∠

ABC

，这些“蛛丝马迹”帮助我们联想起利用向量的“定比分点公式”能将它们整合在一起，再于△

ABC

中对∠

ABC

用余弦定理，联立各关系式最终得出

a

,

c

的关系．除了利用向量知识外，也可以通过作辅助线(如过

D

作

DE

∥

BC

交

AB

于

E

)再算两次余弦值(如cos∠

BED

,cos∠

ABC

)来获得

a

,

c

关系式．本题的难点在于如何通过条件构建两个关于

a

,

b

,

c

,∠

ABC

的关系式，这要求考生能有效识别信息要素间关系，对三角、向量、平几等知识协同应用

.

这是对批判性思维的深度考查．多项选择题是近两年来在新高考中新增的题型，因其需对各选项逐个检查判断或进行比对排除，故能较好地检测学生的批判性思维能力．比如2021全国I卷第11题，一些考生习惯性地以为在选项C与D中应该二选其一，但∠

PBA

无论最大还是最小，

PB

都与圆相切，这意味着

PB

是相同的，故基于理性判断应大胆兼选．第12题可以相对容易地排除选项A和C，在不计算选项D的情况下便可选BD．

2

.

2

.

3

语言表达

如果说阅读理解是信息的输入过程，那么语言表达就是信息的输出过程．高考数学的语言表达强调书写的规范性、过程的条理性与结构的严密性，阅卷教师将依据呈现出的内容来判断学生对基本知识、定理与公式的理解，对思想方法的掌握与理性思维水平的高低，因此语言表达能力显得尤为关键．

图1

例4

(全国I卷第20题)如图1，在三棱锥

A

-

BCD

中，平面

ABD

⊥平面

BCD

，

AB

=

AD

，

O

是

BD

的中点．(1)证明：

OA

⊥

CD

；(2)若△

OCD

是边长为1的等边三角形，点

E

在棱

AD

上，

DE

=2

EA

，且二面角

E

-

BC

-

D

的大小为45°，求三棱锥

A

-

BCD

的体积．本题第(1)问要求准确使用面面垂直的性质定理以及线面垂直的定义，证明过程需做到规范、简明、逻辑链连续完整，这是语言表达的基本要求．第(2)问如若选择建立空间直角坐标系解决，则要求学生能准确表述并证明建系的过程，且由于逆向设问(已知二面角大小)，需先设出

A

的坐标，通过建立方程求得

AO

长，再利用体积公式求解．当然，第(2)问也可以过点

E

作

EF

∥

AO

交

BD

于

F

，过

F

作

FG

⊥

BC

交

BC

于

G

，连结

EG

，再严格论证∠

EGF

为二面角的平面角，并结合有关平几知识推出

AO

的长．无论何种做法，都需要言明从立体几何转化为空间向量(或平几)操作的合理性，且只有流畅而严谨的表达才能清晰地展现思维的过程和结果．

2.3 追求本质——回归原始概念和典型问题的理解

数学是建立在原始概念基础上的学科，数学的学习应是对概念的内涵与外延深入挖掘后再加以应用．倘若失去对概念本质的认识，那么解题便成为“无本之木，无源之水”，因此高考命题不断关注着对数学本源性的考查．

例5

(全国I卷第8题)有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( )．

A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立

C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立

本题考查了相互独立事件的定义，这恰恰击中许多学生备考中的盲点．依据定义，对任意两个事件

A

与

B

，如果

P

(

AB

)=

P

(

A

)

P

(

B

)，则称事件

A

与事件

B

相互独立．从本质上说，事件

A

与

B

相互独立的标准是事件

A

(或

B

)发生对事件

B

(或

A

)发生的概率没有影响，其强调的是对概率的影响，因而在解题时应分别检验两事件各自发生的概率之乘积与同时发生的概率是否相等，也就是必须回归到原始定义，而不能凭生活经验直觉判定．

新高考不仅重视对原始概念的深度理解，还热衷于对典型问题进行再创新．比如2020年全国I卷压轴题考查了直线过定点与“隐圆”问题，2021年全国I卷的压轴题也有“熟悉的味道”．

例6

(全国I卷第22题)已知函数

f

(

x

)=

x

(1-ln

x

)．(1)讨论

f

(

x

)的单调性；(2)设

a

,

b

为两个不相等的正数，且

b

ln

a

-

a

ln

b

=

a

-

b

，证明：本题第(1)问未涉及参数讨论，较好处理，但第(2)问让人望而却步．其实条件“

b

ln

a

-

a

ln

b

=

a

-

b

”具有某种对称感，加之目标出现故对式子两边同除以

ab

，则原式转化为即即若设则问题转化为在

f

(

x

)=

f

(

x

)下，求证2<

x

+

x

x

+

x

>2”部分的证明是“比较常规”的，可利用对称化构造处理(至于“

x

+

x

.

新高考I卷的压轴题并没有避开热点而一味追求标新立异，而是在典型问题上加强变式与延伸，这一点体现了高考试题“题在外，根在内”的特点与压轴题“梯度大，高落差”的特色．解决该类问题的前提是学生能充分理解题目的本质属性，吃透典型问题的思想方法，使得其在解题时可以迅速找到相关模型并有方向地解决．

3 教学建议

2021年是全国新高考I卷命题第二年，试题呈现出的共性特点或许是未来高考数学的风向标，试题表现出的动态变化也提醒我们在教学中需要与时俱进．基于2021年与2020年全国I卷的分析，对2022年高考复习教学提出几点建议：

(1)回归教材，认真回顾和理解概念的生成与发展，关注具有“源于教材但又高于教材”特点的问题．以本为本，保证主干知识复习的全面性，如解析几何中四类曲线都有可能成为考点．

(2)适当弱化新定义型问题的训练，重视数学应用型、数学文化型问题解题素养的提升．如加强学生阅读理解的积极性和有效性，设置与生活文化相关的问题情境并渗透数学知识与方法，培养学生解决实际问题的能力．

(3)2021年全国I卷中有不少试题可从多角度解决(如第4，6，7，12，13，14，19，20题等)，这要求在备考复习中规避“题海战术”，给予学生充足时间思考，重视对问题的源与流进行深入研究，甚至可以举一反三，培养学生的批判性思维．

(4)2020年、2021年全国I卷的最后三道解答题考查的知识点均为立体几何、解析几何与导数，在复习过程中可加强对这三大板块中典型问题的研究．这两年均在解答题的三角题与数列题中的一题上设置了些障碍(2020年数列题、2021年三角题)，学生需增强归纳、总结的探究能力与知识方法之间综合应用的能力．同时，在复习(尤其是一轮复习)中重视师生互动与板演，密切关注学生口头和书面语言表达的严谨性与规范性．