数学课堂教学“四三三”立体式优化策略

段志贵 张雯 邹翔如 胡梦迪

【摘要】数学课堂教学的优化体现在对课堂教学“怎样评价”“优化什么”和“怎样优化”等问题的解决过程之中。文章提出数学课堂教学的优化要立体式推进，以“评价·修正·构建”为导向，以评价课堂教学四个基本点为前提，以修正目标制订、内容筛选和方法选择三条主线为引领，以构建“情境—认知”系统、“问题—动力”系统、“师生—文化”系统三个子系统为重点，着力建设促进学生全面发展的生态课堂。

【关键词】数学课堂教学;优化策略;生态课堂

长期以来，受应试教育的影响，中小学数学课堂教学存在许多问题。诸如，有的课堂对学生主体关注不够，有的课堂过度情境化，有的课堂重点不突出、结构臃肿、效益低下，还有的课堂评价方法单一，不能有效地激发和调动学生的学习兴趣。更为突出的问题是一部分教师想上好课，但又不知道如何优化课堂教学，找不到优化课堂教学的路径。针对中小学数学教师普遍存在的课堂教学“怎样评价”“优化什么”和“怎样优化”等问题，笔者和课题组成员进行了持续20多年的研究与实践，旨在探索一条指导广大中小学数学教师进行课堂教学优化的行之有效的策略。

一、主张：探索课堂教学优化新模式

所谓课堂教学的优化，是指对现有课堂教学进行的改进和加工，使之更切合学生学习的需要、教师教学的需要及教学质量提高的需要。深入研究课堂教学的优化策略，就是要系统地研究课堂教学的学理基础、存在问题以及创造性解决教学问题的具体策略和方法。为此，我们借鉴日本课例研究PDCA循环理论[1]、美国威金斯等的UbD理论[2]设计课堂教学优化过程，以崔允漷的有效教学基本框架[3]和裴娣娜的目标、内容、进程、方式、反思“五要素说”[4]为分析课堂和优化教学的理论依据，着力解决广大中小学数学教師在课堂教学评价与优化过程中存在的不会评价、不懂优化和不清楚怎样优化的问题，提出数学课堂教学的优化要以构建数学生态课堂为目标，以“评价·修正·构建”为导向，采用“四三三”立体式优化策略不断改进和完善课堂教学。其中，四个基本点的评价是课堂教学优化的原动力，三条主线的修正是课堂教学优化的推动力，三个子系统的构建是课堂教学优化的驱动力。“四三三”立体式优化策略的操作流程构成了一个正四面体实践模型（如图1）。

二、起步：从改进课堂教学评价入手

优化课堂教学的起点是学会课堂教学评价。许多专家在好课标准上都有自己的主张[5-8]，虽然专家们的侧重点各有不同，但这些主张的共同指向是：学为主体的生本理念（学生观）、内生动力的知识生长（学习观）、教学相长的师生互动（教学观）以及平等和谐的课堂生态（课堂观）。据此，我们将这些共同指向提炼为日常教研评课或个人反思的四个维度，亦可称为数学课堂教学评价立足的“四个基本点”，即以促进学生发展为出发点，以关注知识生长为着力点，以实现教学相长为着眼点，以构建生态课堂为归宿点[9]。

（一）立足课堂教学评价的出发点，看是否促进了学生整体的全面发展

核心素养理念下的教育，本质上就是要发展学生的综合素质。在教学目标上，要从注重知识教学为主转变为以学生发展为本;在教学内容上，要根据学生的需要建构知识;在学习方式上，要努力做到以学生自主学习为主。许多教师在课堂中虽然也设计了学生自主探究的活动，但没有启发学生为什么要学习这一内容，怎么去思考知识的发生、发展，相关概念或知识点之间存在什么关联等，只是单一地训练学生的解题能力或计算能力，而忽略了他们提出的疑惑等，无法激起学生进一步学习研究的兴趣。以初中数学“合并同类项”一课为例，如果教师对于为什么要学习“合并同类项”这一节课，为什么要定义同类项这个概念，合并同类项和乘法分配律之间有什么联系和差别等问题熟视无睹，课堂上只是训练学生的计算能力、解题能力，那么学生没有体会到学习这节课的必要性，也就不能真正全方位地提高学习兴趣和数学核心素养。

此外，评价课堂教学是否做到了助力学生全面发展，体现在教师能否关注到学生学科知识的学习理解，促进学生的身体健康及全面发展;是否启发学生体会到学习内容的价值与意义，激发他们的学习兴趣，提高学习的积极性、主导性和创造性。

（二）立足课堂教学评价的着眼点，看是否激发了学生学习的内在动力

一节好课，学生肯定是主角。没有学生内在动力的真正激发和调动，就不会是真正好的课堂。对学生的学的评价，要集中在学生是不是学得主动，能够积极思考和活学活用上。教师教的评价，亦服从于学生学的评价，重点看是否能促进学生的理解，是否有利于学生的自主学习。有的教师课堂上能够科学地传授知识，讲解相关概念、公式等，然而常常以教为中心，使得学生学习被动，缺乏自主学习、建构知识的过程。对学生学的评价，则要指向帮助学生更好地了解自我学习成果，一般包括自评、他评两类。有的教师课堂提问只停留在机械型、识记型的层面，学生缺少思维的发散性，对自己学习成果的判断只来自教师“对”或“不对”的回答，难以从中获得更大的进步。

数学课堂教学首先应该给出学习这节课知识的必要性，激发学生学习兴趣，再从学生的最近发展区出发，设计具有一定思维含量，能引发疑问的问题，最好是开放性问题，让学生在自主探究与相互讨论中，逐渐发现问题，生长思维。

（三）立足课堂教学评价的着力点，看是否形成了教学相长的有效互动

课堂上，教师与学生是主人公，无论是学生的学习状态，还是教师的教学状态都应受到关注。学生的学习状态一般包括五个方面：参与状态、交往状态、思维状态、情绪状态、生成状态。教师的教学状态则要从四个方面考虑：数学素养、教学设计、师生交往、课堂注意。师生共同的状态在于交往。交往即是互动，它能够较深刻地反映出课堂教的是否适切，学的是否深入，教学活动是否有效。在教学中，有些学生对教师的提问虽然都能积极回应，师生、生生之间相处也融洽，但学生完全按照教师的指示行动，缺少与同学的交流，也缺少自己独立的思考，更不用说对教师提出质疑。因此，这样的课堂无法形成教学相长的有效互动。真正有效的课堂教学，教师要选择恰当的问题启发学生思考，时刻注意他们的反应。这一过程也是教师学习的过程。例如在初中“锐角函数”一课中，教师给出了三角函数的概念，但是学生对于为什么要定义锐角三角函数，明明用线段比定义的概念为什么称之为函数等问题感到困惑并提出疑问，这时教师应高度重视学生的问题并积极和学生一起探究。教师要跳出课前预设的限制，重视课堂知识学习的理解性与发展性，注重学生学习过程中的知识生成，把学生的学习愿望和兴趣真正激发和调动起来。

（四）立足课堂教学评价的归宿点，看是否建构了平等和谐的课堂生态

课堂生态中的“生”，生命之意;“态”即形态、样子[10]。课堂生态是指课堂生命（学生及教师）及其生存空间或环境的状态[11]。数学教学的目的不仅是数学知识的传授，还应着眼于学生多方面素质和能力的提高。相对于学科知识的获得，数学教学活动所具有的文化氛围及其融合的情感因素，能够促进学生的科学理性发展，这对于一个人的成长具有十分重要的意义。因此，让学生在课堂上自然生长，也是对人性的一种解放[12]。同时，平等和谐、相互尊敬的课堂生态，本质上就是追求自然、真实的课堂。

对课堂教学的客观评价，一方面，要建立师生间的平等关系，促进课堂和谐氛围的养成。在教学中，教师应主动将课堂的主导权交给学生，让学生发挥自身的学习主体地位，激发他们学习的主观能动性。另一方面，要注重各种教学元素（诸如兴趣、历史、文化等）的融合，尊重学生天性，发展学生个性，创设自然和谐的课堂生态。比如在“勾股定理”的教学中，教师可以引入数学史和名家证明、组织小组合作交流、介绍人文情怀与价值追求等，让学生的好奇心、理性精神、探究意识、意志品质等在知识的学习过程中充分得到解放和生长。

三、指向：修正课堂教学优化主线

教学设计一般指的是依据课标要求以及学生特点，科学合理地选择教学方法、组织教学内容、安排教学程序。课堂教学相关的因素很多，有教师、学生、教学目标、教学方法、教学内容、教学环境、技术手段等，它们都在一定程度上影响着教学的安排和组织。基于循证研究的手法，我们采用德尔菲法咨询了有关专家，并与一线教师进行交流，总结梳理出课堂教学优化的主线主要包括目标编制、内容筛选和方法选择。

（一）优化课堂教学要让目标编制更贴近学生需要

教学目标是教学所要达到的具体标准，教学目标的明确与否直接关系到整堂课教学的成败。诚如布鲁纳所说，任何学科可按照某种正确的形式教给任何儿童。目标设计不要拘泥于某个知识点，要强调单元整体教学，引入大概念，指向问题解决。为此，教师要认真研究课程标准要求，洞悉各章节之间的内在联系，明确该课程总的教学任务和目标，将每一节课的局部跟整体联系起来。教学目标的分解不应拘泥于知识点的理解与掌握，而要放眼在知识背后的能力培养和素养提升上。对数学课堂而言，教师要结合教学内容教会学生用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界，培养他们的数学素养，提高他们的数学应用能力。

以高中“弧度制”教学为例，在之前的学习中，学生已掌握了用角度制來衡量角的大小，熟悉了角度制的应用。根据这个认知现状，教师首先要确定“弧度制”的教学目标，并指向大概念“除了用角度制度量角的大小，还有其他的度量方法吗？”引导学生通过回忆角度制的弧长公式，观察发现当角度一定时，弧长与半径的比值保持不变;然后再从一系列的探究活动中，让学生理解用弧长与半径的比值可以衡量角的大小，从而掌握角度、弧长以及半径三者之间的数量关系。在具体目标的制订上，教师还要注意学生情感、心理上的发展，并明确可观察、测量、评价的方法，不简单、笼统地用“了解”“理解”“运用”刻画，要说清楚，“理解”到什么程度，“运用”到什么水平。要依据因材施教的原则，研究每一节课的具体教学内容和学生应掌握的程度，研究学生学习规律，分析各种可能出现的情况，使制定的目标要求既具体又可适度调控。

（二）优化课堂教学要让内容筛选更切合目标需要

教学内容是教学的根本，应值得教师特别关注。教学内容可以是教材某章某节内容，但不能限定于教材。教材提供了一种教学蓝本，只是一种教学路径。为完成内容，教师可以依据教材进行组织，也可以根据目标要求和自我教学特点，有选择地加以利用，正所谓“不是教教材，而是用教材去教”。一般来说，一节课教学内容的优化设计，要考虑教学任务与该内容在整个数学知识体系中的地位与作用，以促使学生形成完整的知识结构;应抓住有助于促进学生能力和素养提升的最主要、最突出的部分加以拓展延伸，并安排教学活动。

具体地说，选择教学内容时，一要考虑课程标准和教材，仔细研读相关资料的内容，找准知识的本质;二要考虑学生的学习实际，让他们从原有的知识基础或者生活经验出发，带着思考，生成新知识;三要考虑知识的内在逻辑，数学是系统化、结构化的整体，每个知识点都处在相互联系的网络当中，教师应揭示这些联系，既可以让学生以旧探新，更好地理解知识，又能让学生形成知识结构，提高思维能力。

同样，我们以“弧度制”一课为例。本节课的重难点在于理解弧度制的概念与意义，弄清1弧度的含义，角度与弧度的换算等。因此，教师应从学生熟悉的角度制出发，根据角度制的弧长公式引导学生探究“弧长、半径都是十进制的实数，那么角度是否也可以用一个十进制的实数度量呢？”，进而通过研究圆的问题模型，找到“角度一定，弧长与半径比值一定”的关系，得到弧度制的概念。此外，教师还可以类比量绳、角度制度量角的方法，让学生真正弄清楚弧度制如何度量角的大小，并推导出弧长公式与扇形面积公式。这样学生不仅能掌握结论性的知识，也能从过程中体会到引入弧度制的价值与意义。

（三）优化课堂教学要让方法选择更适切教学需要

确定了教学目标和教学内容，还要选择适切的教学法。同样的教学内容在不同教师的执教下差异很大，其原因除了教师的知识水平和教学态度，还有教学方法的因素。有的内容是基础性知识，只需要简单识记或一般理解就行，适宜采用整体性、结构性教学方法进行系统讲授或图示讲解;有的内容需要应用、分析，则可以采用引导式讲解，或问题教学法;有的内容要求较高，理解和掌握有难度，则适宜采用发现式、探究式教学法。教学方法的使用不是孤立的，应该被寓于特定的问题或情境之中;也不是单一的，应该与其他方法综合在一起。多种方法的交错使用不仅能及时检查学生的知识掌握，也能在一定程度上照顾到不同基础的学生，实现差异化教学。

在教学中，教师应把课堂还给学生，让学生自主参与数学学习活动，真正成为学习的主人。就“弧度制”一课的教学而言，可选用以引导探究为主的方法，如发现法、探究法等，并辅之以讲授法、讨论法，在学生自主探究的基础上，引导他们发现角度一定时，弧长与半径比值的关系，进而给出形式化的弧度制定义，促进他们对弧度制的理解。

四、重构：建设课堂教学生态系统

现代教育強调以人为本。生态课堂贯穿这一理念，尊重规律，关注学生的现实需要和未来发展，尽显教育的本来面貌。与传统的课堂不同，生态课堂强调课堂教学要以学生为中心，尊重每一个学生个体的感受和需求，实现课堂教学与学生发展的内在统一。建设生态课堂是优化课堂教学的目标。基于典型课例的分析，我们先后采用问卷调查、访谈以及其他实证研究方法，确定课堂教学优化的主导要素，提出课堂教学的优化设计要以目标编制、内容筛选和方法选择为三条主线。基于课堂教学优化目标，提出构建数学生态课堂三个子系统，即“情境—认知”系统、“问题—动力”系统以及“师生—文化”系统，如图2所示。真正优质的课堂，理应是这三个系统都非常健全，也只有这三个系统相辅相成，才能建成真正的智慧型生态课堂。

（一）建构课堂教学“情境—认知”系统

从知识传授的视角看，任何课堂教学都不能没有知识讲解，所以数学课堂教学“情境—认知”系统的构建成为生态课堂构建的必备要素。学生的认知特点表明，数学教学从具体出发能够使学生更容易学习。在教学中，特别是新授课，几乎都会有教学情境，这些情境有的是与学生经验相联系的生活实际问题，有的是在之前的知识上生成的数学问题[13]。但无论是哪种类型，情境创设的目的都是让学生能够亲身体验、感知数学的认知过程。有效的数学情境是一节数学好课的重要基础，能够影响学生学习的积极性和求知欲，将他们引入学习的佳境。

优化课堂教学，重要的是要形成知识教学的“序”，即知识教学的逻辑系统。为此，我们提出了构建数学课堂教学“引—垫—现—练”的逻辑架构。比如，在高中“弧度制”的教学中，教师通过创设生活情境，展示摩天轮旋转形成角的实例，提出“怎样度量角”的问题，既与上节课的问题联系在一起，又能激起学生的探究欲，这是“引”。在概念发现环节，教师首先创设数学情境，利用圆的问题模型，引导学生探究并得出角、弧长、半径的关系，这是在“垫”。后续通过相关内容的分析，生成弧度制的概念，这就是“现”。在拓展延伸的环节，教师再次运用问题情境让学生思考或有指向的训练，帮助学生利用类比的方法，真正弄清弧度制如何度量角，这便是“练”。

建构“情境—认知”系统，就是要突出和加强课堂教学主线的设计，不但要重视学生对结论的掌握情况，更要注意过程，注重揭示数学知识的内涵，引导学生掌握所学内容的数学知识及其蕴含的数学思想方法。在这条主线上，要注重教学难点的突破，要让学生在原有的知识基础上，在暴露知识的发生过程中，明确教学难点的本质特征。通过由表及里的深入剖析，让学生明了难点内容（结论）是在什么条件下产生的，是怎样产生的，它与相关的数学知识有何联系与区别，它应用于什么范围等。

（二）完善课堂教学“问题—动力”系统

从人才培养目标看，教育不应拘泥于知识传授，而应该加强能力的培养，而“问题”的牵引是能力培养的重要路径。因此，“问题—动力”系统也是生态课堂的重要组成要素。然而，问题驱动不是在引入环节设计一个问题那么简单，也不是教师满堂提问，问题应该是有效的、必要的，能够激起学生思考，促进他们思维发展的。“问题—动力”系统的构建要着重于抓住核心问题的设计，教师首先在自己的头脑中建立起知识的结构，思考“为什么引入”的问题，再从学生的最近发展区出发，设计包含一定思维含量，能引发学生疑问的问题，最好是开放性问题，让学生在问题解决的过程中，生成知识。

问题设计一般包括情境性问题、分析性问题、巩固性问题以及总结性问题四类[14]。在高中“函数的概念”的教学中，教师可以采用以下四个步骤具体组织实施。

1创设情境性问题，诱导学生产生疑惑

教师可以先带领学生复习初中的函数概念，再根据这一概念，提出一个能让学生产生思维矛盾的问题：如果无论[WTBX]x取怎样的值，y一直是一个常数，x、y究竟是不是函数关系呢？由此激发学生进一步探究函数概念的好奇心。利用数学问题，引发学生思考，不仅使其自主进入数学学习活动中，也让其初步感知函数概念，为接下来的问题解决与概念提炼做好铺垫。

2设计分析性问题，诱导学生生成概念

教师可以通过设计学生容易解决的实际问题，诸如人口数据表、自由落体随时间变化下落的距离、工资情况图示等，引导学生利用集合语言阐述上述问题的共同特点，使学生经由思考、讨论，理解和掌握函数概念的本质。同时，教师还可以进一步给出用图象语言和文字语言描述的问题，帮助学生从对应的角度，比较完整地生成函数概念。

3利用巩固性问题，诱导学生加深理解

函数概念的得出并不是教学的终点，此时学生对知识的理解还不深刻，教师应该继续利用几个巩固性问题引领学生辨析[15]，诸如何为定义域？何为对应关系[WTBX]f ？何为值域？何为“每一”？何为“唯一”？引导学生体会到函数定义域的必要性;认清为什么要引入集合对应关系;认识到值域是集合[WTBX]A在对应关系的作用下生成的，可以看作集合B的一个子集;理解定义中这两个词语蕴含的抽象性与严谨性。

4提出总结性问题，诱导学生提炼本质

教师可以设计以下总结性问题[16]，诸如，本节课学习了哪些内容？能举例说明什么是函数吗？课上是怎样得到函数概念的？还有什么问题吗？等等，引领学生理解函数概念的本质，淡化函数概念的形式;关注函数概念的形成过程，进一步感悟数学抽象的基本思想;初窥函数知识体系的全貌，激发继续学习的欲望。

因此，“问题—动力”系统的构建要注意以下问题：一要注意问题的启发性，多设置能抓住教学内容的内在矛盾及其变化发展的思考题，为学生提供思考的机会;二要注意问题要有趣味性，要让学生在兴趣的驱动下生疑，在解惑的过程中掌握知识;三要注意提问的预见性，事先预想学生在解决问题时可能出现的状况，据此设计教学方案;四要注意问题的难度性，问题应在学生的最近发展区，要保证学生经历思维发现的过程，而不会感到高不可攀。此外，也要注意问题提出的语言、形式、层次性等，尽量用开放性的问题代替封闭性的问题，用生成的问题代替预设的问题，让学生在自主探究中理解知识。

（三）优化课堂教学“师生—文化”系统

从健全人格的要求看，数学课堂应该充满人文素养，要努力建立师生平等、合作交流的优质课堂。因此，“师生—文化”系统的构建也是生态课堂建设不可或缺的一项内容。生态课堂中的每一个因素都是重要的，教师和学生都要各自扮演好自身的角色，甚至连教学的环境都要被凸显出来[17]。优化课堂教学，建设生态课堂，就要努力在课堂建立起浓厚的人文情怀，让课堂充满师生间尊重与关爱、讨论与评价、引导与激励的氛围，主要有以下三个方面。

1要让课堂在对话交流中融合尊重与关爱之情

在课堂上，教师应关注每一名学生的发展。每一名学生都有成长的愿望，都应该被尊重，无论他们的成绩好或坏，性格是否受到大众歡迎，都应该得到关照。建设生态课堂，就要努力营造和谐愉悦的课堂教学氛围，着力培养学生良好的学习兴趣，重视情感因素的教育价值，加强课堂师生、生生之间的情感沟通。要把师生情感的和谐与融洽作为其追求的一种心理环境，从理性与情感统一的高度来驾驭和实施教学活动。在具体教学过程中，教师应以幽默智慧的教学语言激活学生的学习力、思考力，让学生轻松掌握每一节课的精髓。

2要让课堂在互动交往中体现讨论与聆听之意

教师与学生最主要、最重要的交流就是课堂上的师生互动。师生互动一般包括三个维度：教师目标导向行为、学生影响学习行为和教师反馈与评价行为。在数学课堂上，教师展示、提问、讲解、质疑，学生表达自己的想法、回答问题、提出问题，教师再次反馈评价或者追问。在这样的互动过程中，学生与教师之间发生了即时的交流，不仅学生能受到启发，碰撞出灵感的火花，教师也能从中发现课前预设的不足，进而改进教学。这种对话，实质上也是对学生数学语言的锻炼。通过对话，学生不仅学会表达自己的见解、聆听并学习他人的经验，还能活跃思维、拓展思路，激发数学学习的热情。

3要让课堂在教育引导中体现唤醒与激励之法

与初中不同，高中数学知识灵活度更高，难度不断加大，一部分基础薄弱的学生可能学得费劲，这就需要教师在课堂上注意收集学生的课堂表现，通过提问等方式，及时了解学生的理解与掌握情况，对教学内容灵活地做出适当调整。教师在课堂上准备的习题也要难易适度，使学生能够循序渐进地完成教学目标，体验到学会的成就感，建立对本门课程的自信心。高中数学教师也要注意教学语言的锤炼，力求精确生动，可以穿插一些相关的生活趣事，生动活泼地将数学知识与生活的联系呈现在学生的面前。

综上所述，课堂教学的优化从改进课堂教学评价起步，以目标、内容和教学方法的修正为指向，以重构课堂生态系统为努力方向。这一优化策略是融合课堂教学评价、优化主线和优化目标的系统工程，凸显了生本思想、渗透先进理念、适切教学需要的基本方略。多年来的实践证明，这是实现数学课堂教学优化的一条基本路径，沿着这一优化路径，将能有效地提升教师素养，促进教师专业成长。

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