图说数学教育研究方法

【摘要】数学教育研究方法是开展数学教育研究所采用的途径和手段，是达到数学教育研究目的的重要保障。研究者通过图说数学教育研究的逻辑起点、理论模型、方法分类、“五股化”实证研究、“四析法”思辨研究、“三维坐标系”写作规律等问题，帮助中小学数学教师形象、直观地理解数学教育研究方法，提高数学教育研究水平。

【关键词】数学教育;研究方法;实证研究;思辨研究

《数学写真集（第1季）——无需语言的证明》一书由许多“无需语言的证明”的图片组成，书中许多“证明”——图形令人拍案叫绝，充分显示了：有什么比用插图来展现一个个重要的数学知识点更好的主意呢？[1]笔者受到启发后，想到图说数学教育原理，希望可以借助图形帮助读者直观理解许多复杂、深奥的数学教育原理。本文专门图说数学教育原理中的数学教育研究方法。数学研究有数学方法论，我国著名数学家徐利治先生在国内较早提倡数学方法论，其代表作是《数学方法论选讲》[2]。相应地，数学教育研究也有方法论，其已经成为高校数学教育专业的一门重要课程，即数学教育研究方法（论），甚至有的高校还用“教育研究方法”课程取代传统的“教育学原理”课程[3]。所谓数学教育研究方法，是指开展数学教育研究所采用的途径和手段，它是达到数学教育研究目的的重要保障，通常会在研究过程与成果中体现出来[4]。当前，数学教育研究方法受到普遍重视，已成为中小学数学教师的学术基础之一[5]。文章从数学教育研究的逻辑起点、理论模型、方法分类、“五股化”实证研究、“四析法”思辨研究、“三维坐标系”写作规律等方面展开论述。

一、数学教育研究的逻辑起点

数学教育研究的逻辑起点预示着数学教育研究的目标和方向，制约着数学教育学理论框架的建构和学科体系的定位，也是选择数学教育研究方法的逻辑基础。

南京师范大学喻平教授在与其博士生导师单墫教授合作的文章中指出，数学教育学有两个逻辑起点：一个是教育学，另一个是数学教学。数学教育学既是对教育学理论演绎的结果，也是对数学教学实践归纳的结果（如图1）。将两者有机结合，就会形成有理论张力的数学教育学体系[6]。

我国著名数学家、计算机科学家张景中院士则独辟蹊径建构了数学教育研究的逻辑起点：教育数学。所谓教育数学，就是对数学成果进行再创造，使之成为符合教育基本规律的数学经典教程。数学教育工作者再对经典教程进行教学法加工，使之成为课堂上的数学教材（如图2）。教育数学具有数学与教育的双重属性，它不是原始形态的数学成果，而是服务教育的数学。目前，教育数学已发展成为一个专门的学科[7]。

以上两种观点都与南京大学郑毓信教授关于“数学教育的基本矛盾”的论述相吻合：数学教育的“数学方面”和“教育方面”的辩证统一是数学教育的基本矛盾[8]。也就是說，开展数学教育研究，要紧扣数学与教育两个维度，不可偏废。

二、数学教育研究的理论模型

数学教育研究的结果往往追求数学教育理论的建构，具体包括理论的概念界定、模型建立、指标体系等内容。其中，模型是理论最直观的刻画、最凝练的表达。

华东师范大学鲍建生教授将模型建立的常用方法分为水平模型、过程模型、分类模型、因素模型等（如图3）。扬州大学李新老师以核心素养的结构模型为例，介绍了教育理论模型的四种类型：层级并列型、整体交互型、系统立体型、同心辐射型[9]。这些研究都值得大家借鉴。

笔者对30多个常用数学教育理论模型进行分析，将理论模型建立的常用方法细分为树形图、韦恩图、流程图、雷达图、几何体、坐标系、对称图等，并给出了相应的案例描述[10]。研究者应根据具体的逻辑关系选择合适的模型来建构理论，以增强理论的传播力与应用性。

三、数学教育研究的方法分类

数学教育研究方法的发展水平是数学教育学科发展水平的重要标志，制约中国数学教育科学发展的一个重要因素就是其研究方法不“锐利”。

华东师范大学牛伟强博士等研究者梳理了数学教育的研究方法及其分类[11]，笔者将其用图4表示。总的来看，数学教育研究方法分为两大类：思辨研究与实证研究。思辨研究主要解决“应然”问题，注重概念、理论与观点等内容的构建，通过逻辑推理来回答概念性、规范性的问题;而实证研究主要关注“实然”问题，基于收集与分析数据信息得出研究结果[12]。以上两类方法又可细分为若干方法：思辨研究包括理论思辨、文献研究、历史研究、经验总结等;实证研究包括统计调查、内容分析、实验研究、叙事研究、个案研究、行动研究、田野调查等。其中，统计调查、内容分析、实验研究也叫量化研究;叙事研究、个案研究、行动研究、田野调查也叫质性研究。

这些方法对中小学教师而言确实有点多，有的方法还需用到一定的统计学知识与数据分析软件，不易掌握。鲍建生教授对此给出的建议是：这些方法并不需要高深的理论知识，用几次就熟悉了[13]，即在用中学。而且各个研究方法本身没有优劣之分，只有适合与否，正如北京师范大学曹一鸣教授所言，要从问题出发，选择最合适的研究方法进行研究方法的总体设计，即“问题为先、方法从之”[14]。

长期以来，在传统的思辨研究范式主导下，理论研究常常具有较大的争议性、不确定性。近年来，随着对科学化、规范化研究方法的不断探索，数学教育研究逐渐摆脱思辨研究的束缚，开展了实证研究新范式。总的来说，数学教育研究方法的发展趋势是由定性研究、思辨研究向量的研究、质的研究发展，以及由单一的、孤立的研究方法向多种研究方法相结合的发展[15]。

数学教育研究方法是与时俱进、逐步拓展的，比如鲍建生教授提倡数学教育设计研究。国际上的设计研究兴起于20世纪90年代，21世纪初国内教育技术研究者开始关注设计研究，后来逐步引入教育研究领域。数学教育领域的设计研究包括设计、实施、反思三个循环迭代的阶段（如图5）。不难看出，设计研究注重过程中的方案反思与修正，而常规的研究方法总是采用固定的程序完成既定的研究。而且常规的研究方法是要通过系统地改变学习状况来检验事先提出的假设，设计研究的目标则是考查在什么状况下导致了不同的效果[16]。

四、“五股化”实证研究

实证研究一般包括以下五个步骤：（1）选取有价值且尚未解决的问题开展研究;（2）开展较为完备的文献综述;（3）设计研究方法并论证可行性;（4）充分收集实证数据、材料并进行统计分析;（5）依据有关理论表述研究结果。[17]我国著名数学教育家张奠宙先生用“五股化”形容这种模式固化的实证研究，这非常贴切，我们用图6直观表示“五股化”实证研究。

张奠宙先生指出，数学教育博士论文必须下功夫做“五股化”的实证研究，与国际研究规范接轨。当然数学教育研究还面临着许多规律尚不明晰却又不得不进行研究的问题，这时只好借助经验和思辨加以解决。实证研究好比西医，思辨研究好比中医，两者都需要，两者可以互补[17]。也就是说，教育研究方法不能搞非此即彼的二元对立，避免只懂方法不懂方法论。鉴于实证研究的技术性要求较高，建议有条件的教师可以专门阅读实证研究的书籍或参加系统培训。

五、“四析法”思辨研究

根据中小学数学教师做研究的客观需求与教学任务繁重的实际情况，笔者给出一个简单实用的数学教育研究方法——“四析法”思辨研究，具体包括以下四个步骤：（1）纵向视角的历史寻析;（2）横向视角的路径探析;（3）内向视角的意蕴解析;（4）整体视角的辩证分析。[18]

纵向视角的历史寻析，是对问题已有的研究按时间顺序进行梳理分析，即考察问题的古往今来;横向视角的路径探析，是对问题已有的研究路径进行横向比较分析，做好中外互鉴;内向视角的意蕴解析，是对问题的本质、特征、方法、意义等内生因素进行有逻辑的思考解析，提出内容深刻、形式美观的理论或主张，做到内外兼修;整体视角的辩证分析，是对问题已有的研究（包括自己的研究）进行整体客观评价，做好正反两方面的分析，并提出展望。

“四析法”思辨研究融合了思辨研究与实证研究的优点，且便于操作，适合中小学数学教师开展数学教育研究。“四析法”思辨研究可用如图7所示的鱼骨模型来表示。

六、“三維坐标系”写作规律

数学教育论文是数学教育研究（过程和结果）的常见表现形式，为此笔者谈谈数学教育论文的写作规律。“兴趣驱动、能力支撑、方法引领”构成中小学数学教育论文的“三维坐标系”写作规律（如图8）。具体来说，开展中小学数学教育论文的写作，最核心的动力是兴趣驱动，最基本的能力是普遍联系与辩证分析，最根本的方法是分类整合[19]。

开展数学教育论文写作的动力来自许多方面，有可能是指导教学实践的需要，也有可能是发展教育理论的需要，抑或是人事考核的要求，但最核心、最持久的动力一定是研究者自身的兴趣，即对数学教育研究的挚爱与奉献精神。

除了兴趣驱动，支撑数学教育论文的写作还需要两种基本的能力：一是普遍联系的能力，二是辩证分析的能力。普遍联系是唯物辩证法的基本观点。任何事物都不是孤立存在的，它总是和外界事物有着千丝万缕的联系。事物的联系具有普遍性和多样性。分析一个问题时，要注意其与其他相关问题的联系。比如，2016年，我国教育领域兴起核心素养的研究，笔者随即将“数学核心素养”与之前的“数学素养”“数学核心词”联系起来，开展文献研究，梳理“数学核心素养”发展脉络，写成文章《我国数学核心素养研究进展——从数学素养到数学核心词再到数学核心素养》[20]，目前该文已被其他文章引用130多次（来自中国知网的2022年1月6日的数据）。再比如，看似毫不相关的两个问题，即如图9的面积魔术（曾出现在高中数学教材[21]及《义务教育数学课程标准（2011年版）》[22]当中）与对数比较大小：log53，log85，log138（2020年高考全国Ⅲ卷理科数学试题），竟然都是关乎斐波那契数列性质的问题。

辩证分析强调用全面、联系、发展的观点看问题，反对用片面、孤立、静止地观点看问题。因此，较强的辩证分析能力，将有助于我们深刻认识数学教育问题，高质量地开展数学教育论文写作。但具体到数学教育论文的写作环节，还需要写作方法的引领，即分类整合。分类就是先找到不同研究观点的“同类项”;整合就是将“同类项”进行合并，提炼共性、挖掘规律。正所谓分类见重点、整合见规律[19]。

综上所述，本文介绍的数学教育研究方法，其实每位数学教育研究者都在有意或无意、或多或少地使用，但研究质量却因研究方法的不同而千差万别。北宋诗人苏辙曾说“无以待之，则十百而乱;有以待之，则千万若一”，讲的正是研究方法的重要性。系统了解和理解数学教育研究方法的分类、适用对象、基本步骤，不仅能帮助我们解决数学教育研究中的“怎么办”问题，还能提升我们驾驭数学教育研究任务、工具、路径的能力。期待中小学数学教师能够灵活选用数学教育研究方法，提高自己的数学教育研究水平，形成自己的数学教育研究方法论。

参考文献：

[1]尼克森数学写真集（第1季）：无需语言的证明[M]肖占魁，徐沙凤，译北京：机械工业出版社，2014

[2]徐利治数学方法论选讲[M]武汉：华中工学院出版社，1988

[3]刘祖希访史宁中教授：谈数学基本思想、数学核心素养等问题[J]数学通报，2017（5）：1-5

[4]陈桂生略论“教育研究方法”[J]当代教育论坛，2006（7）：17-18

[5]刘祖希中小学数学教师的学术基础与研究指向：从教研活动的双重属性说起[J]教育研究与评论，2021（5）：40-53

[6]单墫，喻平对我国数学教育学研究的反思[J]数学教育学报，2001（4）：4-8

[7]张景中张景中教育数学文选[M]上海：华东师范大学出版社，2021

[8]郑毓信郑毓信数学教育文选[M]上海：华东师范大学出版社，2021

[9]李新核心素养结构的四种类型比较研究[J]上海教育科研，2016（8）：29-32，20

[10]刘祖希图说数学教育理论模型的建构[J]中小学课堂教学研究，2021（5）：60-64，67

[11]牛伟强，张丽玉，熊斌中国数学教育研究方法调查研究：基于《数学教育学报》（2011-2015）的统计分析[J]数学教育学报，2016（6）：88-92

[12]余庆纯，汪晓勤基于数学史的数学文化课例研究[J]中小学课堂教学研究，2021（1）：5-9

[13]鲍建生与时俱进：教师成为研究者[J]中学数学月刊，2007（1）：1-5

[14]刘祖希2017年高中数学教师工作室协作体论坛暨“高中数学名师工作室丛书”启动仪式简讯[J]数学通讯（教师版），2017（6）：50

[15]顾泠沅，杨玉东反思数学教育研究的目的与方法[J]数学教育学报，2003（2）：10-12

[16]李卓，鲍建生论设计研究：“内涵”“类型”“过程”与“应用”[J]数学教育学报，2020（5）：52-57

[17]张奠宙，宋乃庆数学教育概论[M]3版北京：高等教育出版社，2016

[18]刘祖希“四析法”与中学数学教研[J]中学数学教学参考，2016（34）：1

[19]刘祖希，罗建宇兴趣驱动能力支撑方法引领：浅谈中学数学教研论文写作的基本规律[J]中学数学杂志（高中版），2016（7）：16-19

[20]刘祖希我国数学核心素养研究进展：从数学素养到数学核心词再到数学核心素养[J]中小学教材教学，2016（7）：35-40

[21]人民教育出版社课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心普通高中课程标准实验教科书数学2必修A版[M]北京：人民教育出版社，2004

[22]中华人民共和国教育部义务教育数学课程标准（2011年版）[M]北京：北京师范大学出版社，2012