例谈目标函数法解答圆锥曲线最值问题的策略

⦿安徽省灵璧中学 高宗杰

与圆锥曲线相关的最值问题是高中数学常见的综合性问题，构建目标函数求解圆锥曲线最值问题，是常见的解题方法之一，也是学生应该掌握的解题策略.笔者从不同例题的不同目标函数构建形式入手分析，分别阐述圆锥曲线最值问题求解的策略.

1 构建分式函数

解：①当矩形的一边与坐标轴平行时，可知矩形面积S=8.

②当矩形的一边不与坐标轴平行时，由矩形和椭圆的对称性，设其中一边所在直线的方程为y=kx+m，则其对边直线方程为y=kx-m.

综上所述，矩形面积的最大值为10，最小值为8.

2 构建二次函数

推广已知P为抛物线y2=4x上的一点，Q为圆(x-6)2+y2=1上的一点，则|PQ|的最小值为______.

3 构建三角函数

当假设变量为角度时，构建的目标函数为三角函数，根据三角函数的有界性找到所求最值即可.解题时，首先找到需要假设的角度，其次表达所求问题，根据辅助角公式转化为Asin(ωx+φ)+B的形式，从而求得最值.具体解题步骤和思路如例3所示.

图1

解：设椭圆的另一焦点为F′，连接AF′,BF′,BF,如图1所示.四边形AFBF′为矩形，可得|AB|=|FF′|=2c，|FA|=2c·cosα，|FB|=2c·sinα.

由椭圆定义，可得

|FA|+|AF′|=|FA|+|FB|=2a.

所以2c·cosα+2c·sinα=2a.

因此，离心率

点评：当问题中未提及角度变量时，可以根据已知条件特征假设相关角θ，也可以用sinθ或cosθ表示相关点的坐标，进而用sinθ或cosθ表示所求的值，从而通过角θ的范围，求得最解.如以下推广例题，构建三角函数求问题的最值.

分析：圆(x-1)2+y2=1的圆心C(1,0)，半径r为1.如图2所示，连接QC,交AB于点H，可得H是线段AB的中点，且AB⊥QC.

图2

通过上述不同解题策略的介绍，不难发现构建目标函数求圆锥曲线的最值问题大致分为三种思路，其中三角函数、二次函数以及分式函数的构建都能够有效求解问题.通过对这些解题思路的分析探究，启示学生应该善于从试题中发现规律、总结解法，只有养成良好的学习习惯，才能收获更多的积累.