信息整合重组 “因”“果”关联突破——以几何压轴题的突破为例

福建省福州延安中学 陈 炤

1 思维方法综述

几何综合题在中考数学试卷中常作为压轴题出现，重点考查学生对平面几何知识、方法、技巧的掌握，以及对逻辑思维能力的考查.数学解析的思维一般有两种：一是根据几何问题的外部特征，与现有模式进行匹配；二是分析问题的内在结构，应用方法、技巧，反复推理问题条件与结论之间的关联.另外，还可以将两种思维紧密配合，探求所需.

而对于难度较大的几何压轴题，建议采用思维二的推理方式.教学中，建议引导学生对题目中的信息进行整合，然后根据信息进行“推”.顺推为“进”，逆推为“退”，“进”“退”结合，有序推理，探寻条件与结论之间的连接点，以此为起点构建思路.解题时，可将问题条件视为“因”，结论视为“果”.由“因”推“果”则为“顺推”，由“果”溯“因”则为“逆推”.求解几何压轴题时，可采用“顺推”与“逆推”相结合的方式，充分整合信息，挖掘隐含条件，逐步建立条件与结论之间的联系.

2 问题实例探究

2.1 问题呈现

问题如图1所示，在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°，点D位于AC边上，DE⊥AB于点E，BD的中点为M，延长CM，与AB的交点为点F.

图1

(1)求证：CM=EM；

(2)如果∠BAC=50°，试求∠EMF的大小；

(3)如图2，如果△DAE≌△CEM，CM的中点为N，试证明AN∥EM.

图2

2.2 简析前两问

第(1)(2)问属于传统的证明与求角度问题，利用对应条件可直接求解.

(2)已知∠BAC=50°，∠ACB=90°，则∠ABC=90°-50°=40°.由CM=MB，可得∠MCB=∠CBM，所以∠CMD=∠MCB+∠CBM=2∠CBM.

同理可证得∠DME=2∠EBM.所以∠CME=2∠CBA=80°，可推得∠EMF=180°-80°=100°.

2.3 深究核心问

第(3)问是压轴题的核心之问，该问给定了全等三角形及中点关系，要求证明两线平行.可先对题目中的信息进行整合，然后根据“因”“果”推导进行逻辑推理，对条件进行解构重组.

2.3.1 由“因”推“果”——解构重组

条件1：∠DEB=∠ACB=90°.条件2：点M为线段BD的中点.

上述两条件可视为关于四边形CDEB的内部关系分析，DB可视为四边形的一条对角线，该对角线的两个对角为∠DEB和∠ACB.结合圆的“直径对直角”定理，可判断B，C，D，E四点共圆，结合点M为DB的中点，可确定四点位于以点M为圆心，DB为直径的圆上.

条件3：△DAE≌△CEM.

该条件是关于两个三角形全等，根据三角形全等性质，可推知三边对应相等，即AE=EM，DE=CM，AD=CE.

基于上述条件的结构，可形成相应的边、角结论，主要有以下内容.

与边相关：AC=BC，MB=MC=ME=MD=2CN=2NM.

与角相关：∠DAE=∠ADE=∠CEM=45°，∠DEM=∠EDM=∠EMD=60°，∠MEB=∠MBE=∠FMB=∠DCE=30°，∠CBD=∠CED=15°，∠ADM=∠AEC=105°，∠AEM=∠DMF=∠BMC=150°.

2.3.2 由“果”溯“因”——思路探索

所证目标为两条直线平行：AN∥EM.因此，需要思考证明两直线平行的方法.结合教材内容可知，有如下几种思路：

思路1：两条直线平行的三大常用定理，包括同位角、内错角、同旁内角；

思路2：构建两条直线之间的第三条直线，利用定理“平行于同一直线的两条直线平行”；

思路3：由相似特性推导平行，构造“A字型”相似模型，则模型中存在两条直线平行；

思路4：构造特殊图形，主要构造含有对边平行的图形，如平行四边形、矩形等.

3 核心之问整合多解

上述对核心之问进行了信息、结构整合，生成了与角度、边长相关的次生条件，后续就可以直接探寻条件与结论之间的联接方式.不同的联接方式可产生不同的解题思路和方法，下面细致探究.

3.1 直接用平行线的判定定理

两条直线平行有三个判定定理，下面主要利用“同位角相等，两直线平行”探究.可选取∠NAF和∠MEF为同位角.已推知∠MEF=30°，则只需证明∠NAF=30°即可.可采用解直角三角形的方式，具体如下.

图3

3.2 利用平行的传递性质

若所涉两条直线同时平行于同一直线，则两直线平行，在本题中，可在AN和EM之外构造第三条直线，利用平行关系的传递性证明两线平行.

如图4所示，过点C作ME的平行线CP，设CP与BA的延长线的交点为P，则∠CPE=∠MEF=30°.在△ECP和△DAB中，因为∠CPE=∠ABD=30°，∠CEP=∠ADB=105°，CE=AD，可证△ECP≌△DAB.由全等性质可得PE=BD=2AE，即点A为PE的中点.则AN就为梯形MCPE的中位线，进而可推知AN∥CP∥ME，得证.

图4

对于上述证明思路，还可以引入倍长EA，然后证明三角形全等或构造母子型相似模型求解，此处不再过多赘述.

3.3 构造“A字型”相似模型

该问突破的核心是证明两线平行，也可利用具有平行特性的几何模型，如“A字型”相似模型中含有一组平行边，可将所涉两条直线放置在该模型中，或以两条为基础直接构造模型.由上述解构重组可知复合图形中含有众多的线段关系，故可由相等关系证明模型中的三角形相似，再由相似模型推出两直线平行.

3.4 构造含有平行特性的特殊图形

初中几何中含有众多具有平行特性的特殊图形，如平行四边形、矩形、菱形、梯形等，若能证明含有所涉线段的图形为该种特殊图形，则可直接完成两条直线平行的证明.

方法1：依托AN和EM构造平行四边形证明.

过点N作AB的平行线，与EM的延长线的交点设为P，如图5所示.

图5

则可推知∠P=∠MEF=30°，PN=2MN=CM=AE.又知PN∥AE，PN=AE，所以四边形AEPN为平行四边形，由其性质可得AN∥EM.

方法2：依托AN和EM构造矩形证明.

过点A作EM的垂线，设垂足为ME延长线上的点P，如图6所示.

图6

4 解法探究的思考

上述对一道几何压轴题进行了解法探究，特别对其核心之问开展了解构重组，生成了多种解题思路.以问题中条件与结论的关联为引线，对题目信息进行整合，然后结构重组.逻辑思维条理清晰，具有极高的参考价值，下面对解法进行深度思考.

4.1 读题审题，解构信息

几何压轴题解析的首要步骤是审题，即读懂条件，也是“解构重组”的前提.读题过程不是简单的信息与图形的对应，而应透过信息本身，挖掘背后的隐含条件，如中点背后的几何关系，90°角生成的直角三角形，以及三边关系等.教学中，需引导学生把握题干中的核心信息，逐条剖析提取条件，并探索关联条件.必要时，可结合信息条件进行考点定位，关联教材定理，确保推理有据[1].

4.2 探索关联，重组条件

几何问题的突破过程可视为条件与结论的关联探索，在完成信息解构后，需要重组条件，重组结构，如上述依托直角三角形生成了四点共圆，依托全等三角形推理边角关系，生成了一系列的角度、边长条件.对条件的重组实则是整合信息，关联生成.教学中，建议采用图形提取、数形结合的方式，分解图形，由局部探细节，将相关条件聚焦在具体的图形中，重新整合几何特性，并根据几何要素探索结论[2].

4.3 知识联想，生成思路

几何问题的思路探究提倡综合使用“因”“果”推导，由“因”推“果”信息整合，由“果”溯“因”逐步探寻思路.即分为两步进行：第一步，处理、整合条件；第二步，根据信息联想条件与结论构建关联的方法.如上述基于角度、边长条件，探索两线平行的证明思路，生成了定理推导、平行传递、模型特性、特殊图形等策略.教学中，要引导学生充分关注条件与结论的连接点，围绕接点展开联想，必要时，开展知识点的专题探究，以“点”成“线”，由“线”结“网”，构建完整的知识体系.

5 写在最后

依靠直觉分析往往难以突破几何压轴题，思维过程混乱、无序，容易陷入误区.信息整合，结构重组，“因”“果”推导，则可以快速定位知识的关联点，构建解题思路，实现问题的高效解答.复习备考建议深入探究典型问题的解题策略，依托实际问题强化解法，锻炼思维.