一道模拟试题的解法探究与变式

甘肃省武威市凉州区东关小学 顾兴德

1 引言

好的考试题凝集着命题老师的智慧，体现着课改要求和命题导向．这些试题往往给考生较大的发挥空间，可以较为公正地检测考生的学习成绩．在平时的学习中，深入探讨这些试题的多种解法，可以培养数学思维的深刻性、灵活性；对这些题目进行变式探究，可以加强知识间联系，实现方法和技能的融会贯通，从而提高解题能力，并促进创新精神和探究意识的发展．本文以一道中考模拟试题为例进行多向探究，供同学们学习参考.

2 题目呈现

(2021湖北黄石中考模拟)如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC, ∠DCB=75°, 以CD为一边的等边△DCE的另一顶点E在腰AB上.

图1

(1)求∠ADE的度数；

(2)求证：AB=BC；

3 解法探究

本题以特殊而常见的几何基本图形：直角梯形和等边三角形组合创设问题，探求其中的特殊角、相等的线段．题目设置了具有层次的三个问题，由浅入深，引导同学们探究，有利于增强解决问题的信心．关注了学生的个体差异，体现了课标中“以人为本”的理念．第(1)问较简单，只要根据等边三角形的性质，求出∠DEC=60°=∠ECD，则∠BEC=75°,便知∠ADE=∠AED=45°，由此知道AE=AD．第(2)问在前问的基础上，继续观察、分析这个基本图形，要证AB=BC，只须说明∠BAC=45°，因此辅助线的作法是：连接AC，至此易看出△AEC≌△ADC(SSS)，问题得以解决．本题的难点在第(3)问，虽然猜测到DF=CF，但怎样将已知条件与结论进行有效转化，不少同学望“题”兴叹．下面重点对它作详细的分析探究.

思路一：注意到∠FBC=30°且AD∥BC，可构造新的三角形与△BFC全等来求解.

解法1：如图2，延长AD，BF交于点G.

图2

因为AD∥BC，∠FBC=30°,由两直线平行，内错角相等知∠G=30°.

在含30°角的Rt△ABG中，

①

又∠BFC=∠BCF=75°，得

BF=BC=AB

②

解法2：如图3，连接AF，分别延长AD，BF交于点G.

图3

思路二：注意到图形中隐藏着另一个等边三角形ABF，可构造出新的三角形与△ADF(或△BCF)全等.

解法3：如图4，连接AF，在BC上截取BM=AD，连接FM.

图4

由已知条件知∠ABF=60°，又AB=BC=BF，则△ABF为等边三角形.根据对称性∠DAF=∠FBC=30°，易证△ADF≌△BMF(SAS)．再由全等性质知DF=FM，∠FMB=∠ADF=105°,则∠FMC=75°=∠BCD，即FC=FM.

解法4：如图5，连接AF，延长AD到点N，使AN=BC，连接NF.

图5

思路三：要证F为CD中点，根据平行线分线段成比例定理逆向思考，只须构造平行线即可.

解法5：如图6，分别过点D，F作BC的垂线，垂足分别为点H，G，则DH∥FG.

图6

图7

思路四：三角函数法．在直角梯形内构造垂线，在直角三角形中，用等角的三角函数值表示CF，CD.

解法7：过点D，F作BC的垂线，垂足分别为点H，G(如图6所示) ，易知∠HDC=∠GFC.

又DH=AB=BC=BF=2FG，

即DH∶FG=2∶1.

思路五：构造平行线，由三角形的中位线的逆定理求解.

解法8：如图8，过点F作FM∥DE交EC于点M，连接BM.

图8

思路六：构造平行线，由梯形中位线的逆定理求解.

解法9：如图9，过点F作FH∥BC交AB于点H，连接AF.

图9

解法10：如图10 ，过点F分别作AB，BC的垂线，垂足为H，G.

图10

思路七：图形中存在多条线段与CD相等，又含有30°的特殊角，通过构造直角三角形，利用三角形相似得出边之间的关系求解.

解法11：如图11 ，过点F作FH⊥BC于点H.

图11

解法12：如图12， 过点C作CG⊥BF于点G.

图12

思路八：由△CDE是等边三角形，要证F为CD中点，只要证EF是高即可.因此，进一步只要证∠FEC=30°即可.

图13

思路九：由直角梯形一组邻边AB=BC想到补成一个正方形，再只要证FG为Rt△CDG的斜边CD上的中线即可.

解法14：如图14，过点C作直线AD的垂线，垂足为点G，连接AF，FG.

图14

易证△ABF是等边三角形，则AF=BF，因此点F在AB的中垂线上.而四边形ABCG是正方形，则点F也在CG的中垂线上，所以

CF=GF

①

得∠FGC=∠FCG=15°，因此∠DGF=75°.又∠FDG=∠DCB=75°，所以∠DGF=∠FDG，可得

DF=FG

②

4 变式探究

(1)条件与结论互换，建立原命题的逆命题.

建立并讨论几何命题的逆命题，是几何命题教学中最为常见的一种演变方法.

变式1把原题目中的条件“∠FBC=30°”与结论“DF=FC”互换后，命题仍然成立.

其证明过程可类比上面的14种方法进行，此处略.

(2)变更部分条件后的结论探究.

原题目是以等边三角形进行探讨，若换成等腰直角三角形会怎样呢？

变式2如图15，在直角梯形ABCD中，AD∥BC,AB⊥BC,E是AB上一点，△CDE是等腰直角三角形，∠CED=90°,F是CD的中点． 求证：△ABF是等腰直角三角形.

图15

变式3把“变式2”中的条件“F是CD的中点”与结论“△ABF是等腰直角三角形”互换，命题成立.

(3)减少条件后的结论探究.

如果适当减少原题的一些条件，所得的图形中又蕴藏着什么特性呢?

变式4如图16，在直角梯形中，∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=10,点M在边BC上，使得△ADM为正三角形.

图16

(1)△CDM与△ABM的面积和是______；(2009年上海新知杯数学竞赛题)

(2)S△CDM∶S△ABM=______.(2010年四川省初中数学竞赛题)

图17

(2)DM2=x2+x2，AM2=102+(10-x)2.

说明：如果把“变式4”中的“AB=BC=10”换成“AB=BC=a”，其他的条件、所求的问题都不变，怎样解答？同学们试一试.

5 结语

好题普遍具有思维广、内涵深的特征,它们通常人口宽,生成性强,适合开放性教学.本题中的梯形，等边三角形是学生常见的图形,如何利用富有创意的好题，生成新的知识生长点,促进学生思维的开发,值得一线教师深人思考与实践.解题教学中,教师应放手让学生参与探究,一题多解、一题多思，有助于学生开阔思维视角,形成发散性思维,提高问题研究的敏锐性.