“类比教学”在高中数学中的运用——以“函数的零点与方程的解”为例

⦿哈尔滨师范大学教师教育学院 谭 娜

1 类比教学在高中数学教学中的运用

类比教学是一种很重要的教学手段，是教师在教学中引导学生采用类比的方法找到知识间的相互联系进而分析问题、解决问题的一种教学[1]，能帮助学生在新旧知识间搭建桥梁[2].在类比教学中，教师要善于抓住新旧知识的联系，找到合适的类比形式.常见的类比教学法的分类有形式类比、过程类比以及思想类比[3].在教学过程中，教师要根据具体的知识内容，选择不同的类比形式.但无论是哪一种类比形式，在类比教学中都要引导学生发现知识之间的联系，探索新知识的生成过程，从旧的知识规律中发现新的知识规律.

类比教学在各个学科都有广泛应用，特别是在数理科学教学中，它是一种常见且十分重要的教学策略.众多学者在课堂实践中发现类比教学不但有利于学生对知识的吸收，还有助于培养学生的科学思维能力.康颖教授将类比法运用于物理教学中发现，类比教学不但能提高教学效果，更重要的是能让学生掌握类比联想的思维方法[4].

数学具有很强的抽象性和逻辑性，知识与知识之间有许多的联系，类比是发现概念、公式和定理的重要手段.教师在教学中要注重类比思维的渗透和运用，引导学生思考新知识与过去学过的哪些知识相似，找到新旧知识联系的桥梁，借用旧知识中的规律来分析新知识中是否存在相应的规律.在情境引入时，创设类比情境，引导学生在熟悉的知识中发现新知识的情境[5]，此外，在知识生成、解题训练等环节中都可以运用类比教学提高课堂效率.

2 “函数的零点与方程的解”教学设计

2.1 类比教学的运用

本节内容旧教材在探究中提出：“一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数y=ax2+bx+c=0(a≠0)的图象有什么关系？”通过探究活动，由特殊到一般，引出零点的概念，并得出一般函数的零点、函数图象与x轴的交点的横坐标及其对应方程的根三者之间的关系.新教材在预备知识中学习的“一元二次方程的实数根就是相应二次函数的零点”为函数的零点与方程的解的学习奠定了知识基础，以“能否用相应的函数来求解lnx+2x-6=0这种不能用公式求解的方程？”引入课堂.可以发现，新旧教材虽然在知识的编排顺序上有所变化，但是新知识(函数零点及零点定理)都是在旧知识(方程的根、二次函数图象与x轴的交点关系)的基础上进行类比、探究和延伸.

因此，在“函数的零点与方程的解”的教学中，教师可以类比二次函数的零点及其零点存在的特点来学习本节知识，在二次方程及其相应的二次函数关系的基础上建立一般函数零点的概念，进一步探究零点存在定理及其应用，将类比方法和转化思想运用于教学中，培养和发展学生的类比思维能力，达到事半功倍的效果.具体类比见表1.

表1 “函数零点与方程的解”的类比表

2.2 教学过程

图1 “函数的零点与方程的解”教学思维导图

2.2.1 设置悬念，问题引入

在预备知识里我们学习了用二次函数的观点来认识一元二次方程，知道一元二次方程的实数根就是相应二次函数的零点.你能求解方程 lnx+2x-6=0吗？能否采用类似的方法，用相应的函数来研究它的解的情况呢？

设计意图：由熟悉的知识出发，创设类比情境，激发学生的好奇心，引导学生从函数与方程的角度出发，建立函数与方程之间的关系.

2.2.2 类比探究，问题引导

问题1求方程x2-2x-3=0的实数根并画出其对应的函数图象，思考：该方程的根与相应函数的图象有什么联系？

思考1你能类比二次函数的零点得出一般函数的零点概念吗？

思考2函数的零点是点吗？

设计意图：通过方程x2-2x-3=0和函数f(x)=x2-2x-3进一步理解方程、函数、图象三者之间的关系，有利于学生对知识的吸收和掌握，唤起旧知，引发新的思考.从特殊到一般，类比抽象出函数的零点概念，并建立方程、函数、图象三者之间的关系，进一步深入理解函数零点的概念并强调易错点.

问题2下列方程是否有解,并进一步说明其相应函数的零点是什么？

(1)2x-3=0; (2)x2-2x-3=0;

(3)x2-2x+2=0; (4)lnx+2x-6=0.

追问：函数的零点在什么条件下存在呢？

设计意图：趁热打铁，通过求解方程来求函数零点，加深学生对方程的解及其函数零点之间关系的理解.对于第(4)小题虽然无法求解但可以从函数图象去猜零点，为后面函数零点存在定理的探究做好铺垫.

问题3观察函数f(x)=x2-2x-3的零点所在区间，此时函数图象与x轴有什么关系？如何用函数f(x)的取值规律来刻画这种关系呢？(提示：考虑f(a)·f(b)的正负.)

思考3如果函数f(x)在区间[a,b]上满足f(a)·f(b)<0，那么该函数在此区间上一定有零点吗？

设计意图：观察二次函数存在零点时函数图象的特征，引导学生观察零点附近函数值的特点，体会存在零点时函数图象“穿过”x轴.学生合作交流找到零点及其所在区间，探究零点附近函数值的特点，通过二次函数零点存在时的区间端点函数值的特征类比归纳一般函数零点存在定理.

2.2.3 定理辨析，知识运用

问题4如果函数y=f(x)的图象在区间[a,b]上是连续不断的，且在区间 (a,b) 内有零点，那么是否一定有f(a)f(b)<0？

问题5什么情况下函数有唯一一个零点？

设计意图：发散学生的思维，进一步深入理解函数零点存在的条件，说明定理的条件充分而不必要，培养学生的逻辑思维能力.为进一步推广零点存在定理，强调零点存在定理只能判断函数有零点，但不能说明有几个零点；存在唯一零点时，函数必须在区间上单调.在不断地追问和问题串的设置中让学生深入理解零点存在定理满足的条件以及零点存在定理的推论.

问题6你能求解方程lnx+2x-6=0吗？如果有解，有几个呢？

思考4你能判断函数f(x)=lnx+2x-6 的零点个数吗？你能证明函数f(x)=lnx+2x-6 是增函数吗？

思考5由零点存在定理能说明函数有几个零点吗？

设计意图：从开头提出问题到最后解决问题，进一步加深学生对知识的理解和运用，提升学生的数学辨证能力；问题驱动学生的思考，归纳零点存在定理只能判断函数是否有零点，但不能确定零点个数；通过师生共同探究加深学生对定理的理解，在定理探究的过程中提升学生数学抽象和逻辑推理的能力.

2.2.4 反思总结

(1)思考与总结：求解一个方程有哪些方法？什么条件下适合用零点存在定理？本节课中，我们是如何从一元二次函数零点以及零点存在知识类比推广得出一般函数的零点及其零点存在定理的？总结见图2.

图2 “函数的零点与方程的解”类比教学图

(2)课后思考：如果函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2，3)内存在一个零点，你能将这个零点的范围尽量缩小吗？

设计意图：回顾本节课知识形成的过程，体会类比思维在数学课堂的应用，加深学生对函数零点与零点存在定理的理解和运用.在课堂最后提出思考题，为后续学习埋下伏笔，使整个学习过程，形成一个有机的整体，为“二分法求方程的近似解”作铺垫.

3 教学反思

在“函数的零点与方程的解”中采用类比教学，将二次函数的零点与方程的解和函数的零点与方程的解之间相结合，运用类比思维，借助问题串的引导，将新旧知识衔接，找到二者之间的联系.引导学生学会应用类比思维学习新知识，将性质、形式等相近的问题联系起来，转化思路，这样便能灵活地解决问题.特别是在零点定理的探究时，以二次函数为切入点，类比旧知识的规律，得到新知识的规律.

类比思维是一种重要的逻辑思维方式，只有深入研读教材，充分理解教材，才能真正做好育人的工作.类比教学不仅能激发学生的学习兴趣，加强学生对知识的理解，启发学生的思维[6]，还能培养学生的猜想能力、迁移推理能力以及创新性思维能力[7].在数学课堂上，教师需要善于引导学生发现新旧知识之间的联系，培养学生的数学学习能力.