学科融合 数学建模

⦿甘肃省民乐县第一中学 陈国辉

1 引言

在创新新情境数学试题中，数学与其他学科的融合问题是其中最亮丽的一道风景线，巧妙把物理、化学、生物、地理、历史等其他学科中的相关知识与数学知识相结合，合理数学建模，充分体现数学教育的基础性与应用性，以及相关的数学知识、数学方法作为其他学科研究的思想与方法，备受各方关注.

2 数学与物理

例1在线段A1A2的两端点各置一个光源，已知A1，A2光源的发光强度之比为1∶2，则该线段上光照度最小的一点到A1，A2的距离之比为______.(光学定律：P点的光照度与P到光源的距离的平方成反比，与光源的发光强度成正比.)

分析：设线段A1A2的长度为l，A1，A2光源的发光强度分别为k，2k，并设出线段A1A2上光照度最小的一点P到两端点的距离分别为x，l-x，建立点P处的光照度H的函数解析式，利用导数，求H的最小值，进而确定两对应距离的比值即可.

点评：合理巧妙借助物理知识与数学知识加以融合交汇，以生活实际为问题背景，通过数学建模，借助数学中的相关知识来考查数学中的最值问题.问题极具创新意识与应用意识，有效联系知识与实际.

3 数学与化学

例2如图1，C60是一种由60个碳原子构成的碳原子簇，其结构是以正五边形和正六边形组成的凸32面体，它形似足球，因此又名足球烯，则C60结构中正六边形个数为______.

图1

分析：结合C60的结构图确定其对应的每个顶点同时在3个面内，则知正五边形的顶点个数与正六边形的顶点个数之和为60个顶点的3倍，设出两种正多边形的面的个数，建立方程组来分析与处理即可.

故填答案：20.

点评：合理巧妙借助化学知识与数学知识加以融合交汇.以化学中特殊的C60的结构图与生活实际中的足球加以联系，通过数学建模，结合空间几何体中顶点与面的关系，利用方程组的求解来解决立体几何中的相关数学实际应用问题.

4 数学与生物

例3面对秋冬季新冠肺炎疫情反弹风险，某地防疫防控部门决定进行全面入户排查，过程中排查到一户5口之家被确认为新冠肺炎密切接触者，按要求进一步对该5名成员逐一进行核酸检测.若任一成员出现阳性，则该家庭定义为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性相互独立，且概率均为p(0

分析：设出相应的事件A与B.根据相互独立来确定各自的概率，进而建立概率函数关系式f(p)，通过求导，结合导函数的变形与转化，利用条件中当p=p0时，f(p)最大，进而来确定p0的值.

点评：合理巧妙借助生物知识与数学知识加以融合交汇，通过数学建模，结合概率中的相互独立建立概率关系式，综合导数及其应用来确定相应的最值问题，进而确定满足条件中的参数值.

5 数学与地理

例4台湾是中国不可分割的一部分，解放军在台海地区组织实兵演练，展现的是捍卫国家主权和领土完整的决心和能力.如图2为我空军战机在海面上空绕台巡航.已知海面上的大气压强是760mmHg，大气压强p(单位：mmHg)和高度h(单位：m)之间的关系为p=760e-hk(e是自然对数的底数，k是常数)，根据实验知500m高空处的大气压强是700mmHg，则我战机在1 000m高空处的大气压强约是(结果保留整数)( ).

图2

A.645mmHgB.646mmHg

C.647mmHgD.648mmHg

分析：通过阅读理解题目条件，结合关系式p=760e-hk中相关参数的分析，通过特殊的一组数值代入，得到相应的关系式，进而再次代入对应的数值，利用指数幂运算加以转化，从而确定对应的大气压强值.

点评：合理巧妙借助地理知识与数学知识加以融合交汇，通过数学建模，综合指数幂等代数运算，巧妙处理实际生活中的数学问题.

6 数学与历史

例5在《孙子算经》中有“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数.设这个整数为a，当a∈[1，500]时，则符合条件的所有a的和为______.

分析：根据题目中历史问题加以翻译转化，设整数a所表示的关系式a=3m+2=5n+3，m，n∈N*，通过新参数之间关系式的建立，结合分类讨论确定两参数之间的关系，进而合理数学建模，引入等差数列，结合等差数列的求和来确定.

解析：由题目条件，可设a=3m+2=5n+3，m，n∈N，则有3m=5n+1.

当m=5k，k∈Z时，n不存在；

当m=5k+1，k∈Z时，n不存在；

当m=5k+2，k∈Z时，n=3k+1，满足题意；

当m=5k+3，k∈Z时，n不存在；

当m=5k+4，k∈Z时，n不存在；

所以k=0，1，2，3，……，32，共有33个数，且这些数组成以8为首项，15为公差的等差数列.

点评：合理巧妙借助历史知识与数学知识加以融合交汇，通过数学建模，把历史中数学著作问题与实际数学相结合，通过条件的转化确定相应的等差数列，利用等差数列的求和来解决实际问题.

7 结束语

数学与其他学科相融合的创新新情境数学试题，往往紧密联系生活实际，渗透物理、化学、生物、地理、历史等其他学科中的相关知识，数学建模，巧妙转化，以考查考生的基础知识和基本能力为主线，注重数学的基础性、综合性和应用性，强调以核心素养为导向，突出考查数学建模、数据分析、逻辑推理和数学运算等核心素养，深受命题专家的青睐.