例谈解析几何中的定值问题

⦿福建省莆田第六中学 苏雪晶

1 引言

定值问题和定点问题是解析几何高考题中的热点题型.本研究重点探究定值问题中如何转化，优化运算，提高解题效率等问题.定值问题一般涉及与曲线上的动点、线系等有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标、长度比值，掌握了定值求值规律和技巧，会更好地解决这一类问题，做到由此及彼、触类旁通.

2 定值问题题型分析

解题过程中，要总结解题方法，理解解题策略，通过有效的方法来分析，达到掌握通性通法，面对相关问题都可以轻松应对.在解题时要引入核心变量，将所求表达式用核心变量表示，通过推理、计算，消去变量，从而得到定值.定值的确定是解题的根本，也是解题的最终目标.当然实践是检验真理的唯一标准，我们要深入掌握这类题型的解题方法，必须勤加练习，积累解题经验，优化解题过程，不断调整解题策略，下面让我们通过几个典型例题来小试牛刀.

2.1 题型一：斜率定值问题

(1)求抛物线C的方程；

(2)抛物线C上一点A的纵坐标为1，过点Q(3，-1)的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点(均与点A不重合)，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值.

解析：(1)抛物线C的方程为y2=x.(过程略)

(2)因为点A在抛物线C上，且纵坐标yA=1，所以A(1，1).

设过点Q(3，-1)的直线方程为x-3=m(y+1)，即x=my+m+3.

①

式①代入y2=x，得y2-my-m-3=0.

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由韦达定理得

y1+y2=m，y1y2=-m-3.

因此，k1k2为定值.

反思：解答时要明确解答的思路，这点并不困难，难点在于联立方程后结合条件化简运算.在解题时，不仅要明确题目中的已知数据和要求，还要掌握联立方程后结合韦达定理进行化简运算，提高计算能力，掌握计算技巧.

2.2 题型二：面积定值问题

(1)求双曲线C的方程；

(2)直线l与x轴正半轴相交于一点D，与双曲线C右支相切(切点不为右顶点)，且l分别交双曲线C的两条渐近线于M，N两点，证明：△OMN的面积为定值，并求出该定值.

(2)因为直线l与双曲线C右支相切(切点不为右顶点)，所以直线l的斜率存在且不为0.

(8-k2)x2-2kmx-m2-8=0.

由直线与双曲线右支相切得，Δ=4k2m2-4(8-k2)(-m2-8)=0，即8-k2=-m2.

反思：本题考查了双曲线方程的求解以及直线和双曲线(或其渐近线)相交时产生的相关面积定值问题.解答时要注意结合图形的几何特征合理使用公式.本题需要选择表示三角形面积的最佳路径，从而将面积转化为坐标关系继而解答，化简整理时，运算比较繁杂，要十分细心.

=(λ-1)[fn-1(λ,1)-fn-1(w,1)]+(u-1)[fn-1(u,1)-fn-1(w,1)]+

2.3 题型三：相关比值定值问题

(1)求椭圆C的方程；

(2)证明：由题意可知，F(1，0)，直线l的方程为y=k(x-1).

(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0.

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则

于是直线MN的方程为

反思：解题过程中要明确解题方法和其中包含的数学思想.

认真审题，分析解题用到的数学思想方法，学会借助韦达定理来表示每一条线段长.当解题思路明晰时，会发现线段长都用核心变量表示出来后就能求出定值.分析时要寻找题目中已经给出来的已知信息，判断不同数据之间的逻辑关系，在推理中把握联系，形成客观性认识，明确思路，快速解题.

3 总结

以上几种思维策略是高中数学中常用方法，对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置(如直线斜率不存在或为0)或者对称关系求出定值，进而给后面一般情形指明方向；运算中尽量利用变量之间关系(如点的坐标符合曲线方程等)做到整体代入，设而不求，简化运算.要想在高考中运用自如，需要在平常的解题过程中多加实践，不断理清思路，积累经验，提升逻辑思维能力和运算能力，最终达到对此类题型熟能生巧、胸有成竹.