新颖背景设置 创新意识应用

⦿甘肃省民乐县第一中学 展斌国

1 引言

创新类问题是历年高考数学试卷中的一道亮丽风景线，几乎每年高考试卷中都能见到她们的“倩影”.此类新颖问题在原有数学基础上结合定义、性质、公式、方法等视角加以创新，通过综合与类比等思维的应用，巧妙把相关的数学知识、数学思想方法与数学能力等加以合理融合，达到创新能力与创新应用的统一，数学知识与数学能力的综合，真正达到创新应用的目的.

2 定义创新

分析：结合创新定义，利用待定系数法来分析与处理.通过改变相应的二次曲线方程以及已知点的情况，抓住关系，引入系数，利用方程的转化，结合方程的判别式，通过解答二次不等式的方式来破解取值范围，从而确定相应的最值.

点评：破解此类创新定义类问题时，关键是抓住题目中的定义，结合新规则的信息迁移，以及考生的阅读理解、获取信息、处理信息等能力，充分挖掘新定义的实质，寻找新规则的内涵，找出新规则的特点，依规则便可快速解题.

3 性质创新

分析：结合创新性质，设出对应的函数关系式并建立相应的不等式，借助合理的运算与数论知识来分析，进而确定对应的参数值.

故填答案：332.

点评：破解此类创新性质类问题时，关键是建立创新性质所对应的函数关系式、不等关系式等，寻找问题破解的切入点，有效融合创新意识与应用意识，合理破解相应的创新问题.

4 公式创新

例3“无字证明”是数学的一大创新应用，其是将数学命题(公理、公式等)用简单、有创意而且易于理解的几何图形直观呈现出来.请根据给出的平面几何图形写出该图(如图1)所验证的一个三角恒等变换公式：______.

图1 图2

分析：借助“无字证明”的创新设置，通过几何图形的呈现加以直观分析，结合几何图形中线段的关系与三角函数的关系加以抽象与验证，提升对公式的理解与记忆.

解析：如图2所示，令AC=1，∠ACB=α，∠BCE=β，则在Rt△ABC中，可得BC=cosα，AB=sinα.

在Rt△BCE中，BC=cosα，∠BCE=β，可得CE=cosαcosβ，EB=cosαsinβ；

在Rt△AFB中，AB=sinα，∠ABF=β，可得BF= sinαcosβ，AF=sinαsinβ.

则CD=CE-DE=CE-AF=cosαcosβ-sinα·sinβ，AD=EF=BF+EB=sinαcosβ+cosαsinβ.

而在Rt△ADC中，CD=cos(α+β)·AC=cos(α+β)，故cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ；

AD=sin(α+β)·AC=sin(α+β)，故sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.

故答案为：cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ或sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.(答案不唯一)

点评：破解此类创新公式类问题时，关键是借助平面几何图形中线段的长度关系，结合直角三角形的三角函数定义加以合理推理论证.合理借助“无字证明”的创新设置，把三角恒等变换公式的推导直观化，方便理解与记忆，把公式、图形、应用等有机融合，考查知识与能力的同时，考查直观想象、逻辑推理等核心素养.

5 方法创新

例4根据下面公式的推导过程：

sin 3θ=sin(2θ+θ)=sin 2θcosθ+cos 2θsinθ=2sinθcos2θ+(1-2sin2θ)sinθ=2sinθ(1-sin2θ)+(sinθ-2sin3θ)=3sinθ-4sin3θ.

解答下列问题：

(1)证明：cos 3θ=4cos3θ-3cosθ；

分析：通过题目条件中公式的推导过程，类比对应的证明方法来推导三倍角余弦公式；并利用公式的应用合理化简函数f(x)的解析式，寻找函数f(x)有零点的充要条件，进而确定实数m的取值范围.

解析：(1)cos 3θ=cos(2θ+θ)=cos 2θcosθ- sin 2θsinθ=(2cos2θ-1)cosθ-2sin2θcosθ=2cos3θ-cosθ-2(1-cos2θ)cosθ=4cos3θ-3cosθ，即cos 3θ=4cos3θ-3cosθ；

=3-4cos2θ+mcosθ-5

=-4cos2θ+mcosθ-2.

点评：破解此类创新方法类问题时，关键是通过阅读相关的方法加以合理类比与应用，知识的拓展等来综合处理.

6 结论

创新类问题经常借助定义、性质、公式、方法等方面的创新与应用，结合约定的规则与要求，综合数学知识、数学思想方法等加以合理融合，借助合理的推理论证、数学运算等加以分析与处理，有效达到综合考查数学知识、数学思想方法和数学能力，以及解决数学问题的目的.具有较好的高考选拔性，很能体现考生的创新意识与创新应用.