基于改进子域模型的双绕组无轴承磁通切换电机磁场解析计算

崔征山， 周扬忠， 周祎豪

(福州大学 福建省新能源发电与电能变换重点实验室，福建 福州 350108)

0 引 言

磁通切换永磁电机(flux-switching permanent magnet motor，FSPMM)是一种特殊无刷交流电机，因转子结构简单、永磁体置于定子上，可以使永磁散热迅速，降低了永磁退磁的风险。由于电机结构呈双凸性，在定、转子齿尖处具有很强的聚磁效应，提高了永磁体材料的利用率[1-5]。通过改变FSPMM定子绕组的连接方式，或者在定子铁心中叠加一套悬浮绕组结构，可形成一种新的电机，即无轴承磁通切换永磁电机(bearingless flux-switching permanent magnet motor,BFSPMM)。BFSPMM具有FSPMM与磁轴承的优点，在生命医学、化工行业、飞轮储能等特殊场合具有很大的应用前景[6]。

BFSPMM的定子绕组一般分为单绕组[7-8]和双绕组[9-13]结构。双绕组结构中含有功率绕组和悬浮绕组，根据功率绕组与悬浮绕组的放置位置的差异，其又可分为共绕型[9-10]与不共绕型[11-13]。

文献[7]通过有限元法分析一种含有E型齿的6/10型单绕组BFSPMM，通过优化电机结构参数来减小转矩脉动和提高悬浮力，但有限元法在优化电机时存在计算耗时过长问题。文献[8]通过解析法分析六相单绕组BFSPMM的磁场分布，需要先求取定、转子无槽情况下的气隙磁密分布，之后通过复相对磁导函数获得考虑定、转子双边开槽下的磁密，但文中并未考虑电机铁心的饱和效应。

文献[9-10]通过有限元法分析共绕型双绕组BFSPMM，该类电机产生的悬浮力与转子位置角相关，转子的悬浮控制需要获取转子位置角信息。文献[11]分析了一种隔齿不共绕型绕法的双绕组BFSPMM，理论推导绕组配置方式对径向悬浮力的影响，通过有限元法比较转矩电流与悬浮力的耦合关系，但并未对电机内部磁场作深入分析。文献[12]采用有限元法分析含有两种拓扑结构的双绕组BFSPMM，指出当悬浮绕组与功率绕组不共绕型嵌放时悬浮电流对转矩的影响很小，悬浮绕组与功率绕组之间的耦合可以近似忽略。文献[13]采用变结构磁网络法分析了一种不共绕型的双绕组BFSPMM的磁场分布，指出永磁体和功率绕组提供气隙偏置磁场，悬浮绕组产生气隙调制磁场。但该方法中磁通网络划分的疏密程度直接影响计算结果的精确`度，计算过程十分复杂，不利于对电机磁场的快速分析。

文献[14-17]中涉及分布式双层绕组，采用子域模型法分析上下层绕组时，需要假设上、下各层绕组所占的槽面积相等，以此作为划分上下层子域的中心边界。这样会使磁场子域划分的个数增加，增加了电机子域模型中求解变量的个数，带来求解难度的增大。

子域模型法是一种传统的电机磁场解析分析方法，通过将电机磁场划分为若干子域，依据所在子域满足的拉普拉斯方程或泊松方程，结合相邻子域边界条件的连续性进行求解。由于目前子域模型研究大多集中在表贴式永磁电机上，且在子域中一般需要假设铁心的磁导率为无穷大。而对于双绕组BFSPMM由于其复杂的结构，在划分子域以及确定磁场边界条件求解中存在一定的难度，目前对BFSPMM磁场解析法研究的文献十分较少。

电机在设计中需要考虑负载特性，使电机的输出转矩与负载特点相匹配。但电机在实际运行中，由于所带负载具有一定的未知性，当所带负载过大时，电机可能处于过载运行，考虑到铁心材料具有非线性特点，电机铁心可能发生磁饱和现象，而目前对电机的非线性问题的研究近几年已引起众多学者的关注。

本文通过对双绕组BFSPMM分布式双层绕组电流进行等效，提出一种改进的子域模型方法。首先，假设在磁路线性条件下，将电机磁场划分为6个不同的子域，结合相邻子域的边界衔接条件，求解出各个子域的磁场分布。其次，依据磁动势守恒原则，提出一种相对磁导函数的补偿方法，推导出非线性条件下的气隙磁密解析式。最后，利用有限元法和样机实验对所提解析模型作相关验证。

1 解析模型

1.1 电机基本结构

本文所分析的双绕组BFSPMM为三相12/10型，电机结构如图1所示。

图1 双绕组BFSPMM 基本结构示意图

在图1中，三相功率绕组用A、B、C表示；三相悬浮绕组用a 、b、c进行表示，且悬浮绕组采用上、下双层绕组分布方式。永磁体放置在两个相邻U型铁心的中间，并且采用切向充磁方式。为了使转子获得径向悬浮力，需要打破原来气隙磁场的对称性，将空间对称放置的悬浮绕组采用反向串联方式。从图1中的空间对称位置①与②处可以看出，悬浮绕组与永磁体产生磁通密度方向的并不相同，空间位置①与②处的合成磁密幅值不再相等，从而转子获得径向悬浮力。

为了对双绕组BFSPMM磁场进行分析，建立双绕组BFSPMM的子域模型，如图2所示。电机的主要参数见表1。

表1 双绕组BFSPMM主要参数

图2 双绕组BFSPMM子域模型横截面示意图

1.2 子域模型矢量磁位通解

在对电机磁场进行分析时，需要作如下假设：1)在二维平面内，忽略电机的端部效应；2)电机定、转子铁心的磁导率为无穷大；3)永磁体具有线性退磁特性；4)电机各个边界均是沿径向或切向方向；5)线圈导体区域的电流密度为均匀分布。

在二维极坐标系内，将电机划分为6个子域，如图3所示。分别为转子槽子域1i、内部气隙子域2、定子槽子域3j、永磁体槽子域4f、永磁体子域5u、外部气隙子域6。

图3 双绕组BFSPMM子域划分

在极坐标系中，结合电机的几何关系，将转子槽、定子槽、永磁体槽的中心分别表示为：

(1)

其中：θ0表示转子的初始位置角；θi表示第i个转子槽的中心位置角；θj表示第j个定子槽的中心位置角；θk表示第k个永磁体槽的中心位置角。

对于图2中的电机模型，由于悬浮绕组采用上、下双层分布方式放置在永磁体槽中，且悬浮绕组上、下层两侧与定子铁心接触的边界条件相同，各层绕组的中心与永磁体槽的中心相重合。可将永磁体槽中的上、下层绕组电流等效为同一个电流元，即将永磁体槽中的两部分电流以代数和的形式进行累加，显然，经过等效后电流的位置中心仍与永磁体槽位置的中心相一致，如图4所示。

图4 悬浮绕组等效电流

假设悬浮绕组上层的电流为if1，悬浮绕组下层的电流为if2，则等效后的永磁体槽中的悬浮绕组电流为(if1+if2)，即将永磁体槽中双层分布电流等效为单层绕组电流，以平均电流的分析方法等效替代原来的上、下层子域，简化了对永磁槽子域上、下层绕组电流的计算。

设整个永磁体槽所占的面积为S，则该区域所对应的平均电流密度为Jf=(if1+if2)/S。通过将永磁体槽区域的悬浮绕组电流转换为该区域所对应的平均电流密度Jf，最终以平均电流密度的形式进行计算，为后续简化泊松方程的求解奠定基础。

对于三相功率绕组而言，由于每个定子槽中的两个线圈分别属于不同的相绕组，且每相功率绕组是按照集中绕组进行连接，在实际计算时需要将定子槽中两个不同线圈边进行等效，可采用镜像电流法进行等效，如图5所示。

图5 功率绕组镜像电流法示意图

假设对第j个定子槽内两个线圈边电流密度Jj1和Jj2，其分布位置具有下列关系：

(2)

其中：Jj1表示第j个定子槽的第一个线圈边的电流密度；Jj2表示第j个定子槽的第二个线圈边的电流密度。采用镜像电流法将第j个定子槽的电流密度进行等效，展开成傅里叶级数的形式。

(3)

其中：

(4)

这样，对每一个定子槽中两个不同的线圈边可以写成统一的形式进行计算，简化了定子槽子域中电流密度的分析计算。故永磁体槽中的悬浮绕组电流、定子槽中的功率绕组电流已经被等效为独立的电流元。

以矢量磁位A作为求解变量，根据电磁场理论可知，在二维极坐标系下矢量磁位A仅含有z轴分量。电机磁场各个子域所满足的偏微分方程，见表2。

表2 子域属性和偏微分方程

在电机磁场分析中，所在子域区域所接触的铁心边界是对拉普拉斯方程和泊松方程进行变量分离的重要参考，直接影响最终的磁场通项解析式。结合图3中各个子域的分布位置，以及子域的边界条件，采用分离变量法获得相应子域的通解，见表3。对于外部气隙子域6，由于永磁体与外部空气隙相接触，永磁体磁链中会有一小部分与外部气隙相交链，从而形成外部漏磁链。由于磁力线在空间中闭合，无法到达无穷远处，由狄利赫里边界条件假设矢量磁位在R7处为0。

表3中的6个子域共包含18个未知系数，分别为Ai0、Aim；B1n、B2n、B3n、B4n；Cj0、Cjp；Df0、Df1、Df2e、Df3e；Eu0、Eu1、Eu2s、Eu3s；F1t、F2t。而m、n、p、e、s、t为各子域中磁场的谐波次数。在求解具体系数时需要结合相邻子域在分界面上的衔接条件，采用傅里叶级数展开法，可推导出各个子域之间的系数关系。

表3 分离变量法获得各个子域的通解

2 相对磁导函数磁饱和补偿

上述分析在对各个子域进行计算时，假设铁心的磁导率为无穷大。但实际的铁心磁化曲线具有非线性，当电机过载运行时，随着定子绕组中电流的增大，电机铁心可能发生磁饱和现象。由于BFSPMM具有显著的双凸极性，定、转子齿尖具有很强的聚磁效应，磁饱和一般发生在定子齿和转子齿上，而定子轭部和转子轭部很难进入饱和状态[4]。

相对磁导函数主要反映的是电机的定、转子的开槽的效应对气隙磁密的影响。开槽情况下的气隙磁密分布一般是由无槽气隙磁密与相对磁导函数相乘后获得。当电机磁路未发生饱和时，定、转子铁心的磁导率很大，定、转子部分的磁阻可忽略不计，由永磁体、功率绕组以及悬浮绕组产生的磁压降集中在电机的气隙中；而当电机磁路发生过饱和时，铁心材料B-H曲线不再线性变化，此时定、转子铁心饱和部分的磁阻不能忽略。

本文所提出考虑磁饱和的相对磁导函数补偿方法主要体现在：通过将定、转子齿饱和磁阻等效为对应齿前气隙磁阻增加量；对铁心中未发生饱和的部分，铁心的磁导率仍视为无穷大，这样便于对饱和磁密进行补偿。因此，该相对磁导函数通过等效增大定、转子齿前气隙长度来间接反应铁心磁路的饱和情况。在计算相对磁导函数时，由于磁场区域不含永磁体和绕组激励，磁场为无旋场，如图6所示。文献[8]中已对该双凸极结构采用标量磁位进行了充分的分析，这里不再展开讨论。

图6 双凸极结构示意图

在极坐标系内，气隙磁场强度与标量磁位之间具有下列关系：

(5)

其中：Hr为气隙磁场强度的径向分量；Hθ为气隙磁场强度的切向分量。

在图6中，取气隙中间位置的磁场强度为基值，沿着气隙圆周对其电机磁场强度进行归一化处理，便可获得定、转子双凸极下的相对磁导函数，即

(6)

根据转子位置角，确定出定子齿、转子齿重叠结构模式1～k及其对应的定子齿、转子齿之间的重叠角γi(i=1～k), 如图7所示。

图7 定、转子重叠角相对位置

其中：hs、hr为定、转子齿的长度；αs、αr为定、转子齿的宽度。

假设定、转子齿各自的饱和深度均呈线性变化，通过有限元对电机磁密场图的分析，近似认为定子齿饱和深度gsi、转子齿饱和深度gri与第i个定子齿、转子齿重叠结构模式中的重叠角γi之间的关系如下：

(7)

(8)

由于在线性磁路下，铁心的磁导率为无穷大，定、转子铁心不发生磁饱和；当电机进入过饱和时，定、转子铁心会占有一部分的磁压降，可将铁心饱和部分的磁阻等效为对应齿前气隙磁阻增加量，此时等效后的定、转子铁心部分仍是线性磁路。

利用上述子域模型间接计算出对应齿位置的磁通密度，根据铁心材料B-μi曲线关系，查得磁导率为μi。计算出第i个定子齿、转子齿重叠结构模式中定子齿饱和磁阻以及转子齿饱和磁阻[18]，分别为：

(9)

(10)

其中：Asi为定子齿的截面积；Ari为转子齿截面积。

同理，计算第i个定子齿、转子齿重叠结构模式中定子齿饱和段等效气隙磁阻，转子齿饱和段等效气隙磁阻分别为：

(11)

(12)

其中：Δgsi、Δgri分别为定子齿饱和段和转子齿饱和段的等效气隙长度；μ0为真空磁导率。

(13)

(14)

第i个定子齿、转子齿重叠结构模式中总的等效气隙长度为

gi=g+Δgsi+Δgri。

(15)

图8为定、转子齿前对应的等效气隙长度。

图8 定、转子齿前的等效气隙长度

根据所提相对磁导函数磁饱和补偿法，由气隙长度等效后重新构建带有饱和补偿的电机结构，如图9所示。

图9 补偿后的定、转子铁心示意图

在线性磁路条件下，通过上述子域模型可知，矢量磁位与磁感应强度之间具有下列关系：

(16)

其中：Br表示沿径向方向的磁密分量；Bθ表示沿切向方向的磁密分量。

根据等效前后磁动势守恒原则，假设磁路等效前后，电机铁心B-H曲线是线性的，铁心饱和段的磁阻所占有的磁压降全部等效转移到气隙中。当忽略定、转子的开槽效应时，第i个定子齿、转子齿重叠结构模式中的线性磁路无槽气隙磁密Bslotlessi与非线性磁路无槽气隙磁密Bslotless_sati具有下列关系

(17)

根据定、转子开槽时的气隙磁密可以由无槽气隙磁密与相对磁导函数相乘后获得原理，则定、转子开槽时第i个定子齿、转子齿重叠结构模式中的磁密为：

(18)

其中Bsloti为第i个定子齿、转子齿重叠结构模式中的线性磁路开槽下的磁密，由式(16)计算获得；Λsloti是与Bsloti位置对应的线性条件下的相对磁导函数计算数值，由式(6)计算获得。Bslot_sati为第i个定子齿、转子齿重叠结构模式中的非线性磁路开槽下的磁密；Λslot_sati是与Bslot_sati位置对应的非线性条件下的相对磁导函数计算数值，由气隙长度等效后重新构建带有饱和补偿的电机结构(见图9)，之后再由式(6)计算获得。

通过联立式(17)、式(18)可以得出

(19)

通过式(19)可知，饱和气隙磁密分布被间接通过相对磁导函数所反映。

3 磁场计算与有限元验证

3.1 气隙磁密分布

在负载场中，如以转子初始位置角为18°为例， 有意向三相功率绕组分别通入有效值为50A的电流使电机铁心发生磁饱和。采用解析法与有限元法获得电机的径向气隙磁密如图10所示。

从图10中可以看出，针对磁路的非线性特点，在磁密饱和程度严重时，补偿的效果相对明显；受转子位置的差异，在磁密饱和程度较小时，补偿的效果相对较弱，存在一定的偏差。但总体上来看，该补偿方法大体上反应出与有限元法相接近的趋势，具有一定的磁饱和补偿效果，验证该种方法的可行性。

图10 径向气隙磁密分布

由于上述相对磁导函数磁饱和补偿法主要研究的是径向气隙磁密，而切向气隙磁密的幅值相对径向气隙磁密一般较小。为了简化分析，假设在同一位置处沿切向方向的补偿系数与径向方向相一致，所获得的切向气隙磁密如图11所示。

图11 切向气隙磁密分布

3.2 悬浮力

采用麦克斯韦张量法计算转子受到的悬浮力[19]。转子沿x和y方向的悬浮力分别为：

(20)

当有意向a相悬浮绕组中通入40A的电流使电机铁心发生磁饱和，计算转子所受悬浮力Fx、Fy，如图12所示。

图12 转子沿x和y方向的悬浮力

从图12中可以看出，解析法与有限元法获得转子沿x和y方向的悬浮力具有相接近的变化趋势，验证了理论分析悬浮力的可行性。

3.3 电磁转矩

在计算双绕组BFSPMM电磁转矩时，选用麦克斯韦张量法，即

(21)

当有意向功率绕组中通入有效值为50 A的对称电流使电机铁心发生磁饱和时，需要将电机的磁密进行补偿后才能用来计算转矩。

从图13中可以看出，采用解析法与有限元法获得电磁转矩波形具有相接近的趋势，验证了理论分析电磁转矩的可行性。而当未考虑材料的非线性的影响时，解析方法与有限元法获得的平均转矩约为62.5 N·m，因此采用等效补偿的处理方法，可以获得与有限元较为接近的结果。

图13 电磁转矩

3.4 空载反电动势

假设每个功率绕组线圈在定子槽内均匀分布，线圈中耦合的磁链可通过对每个定子槽内的矢量磁位进行积分计算获得。由于功率绕组线圈采用集中式联结，定子槽中的两个线圈分别属于不同相绕组，在进行磁链计算时，需要对两个线圈边分开进行计算。

对于电流密度为Jj1的线圈边，其耦合的磁链为

(22)

对于电流密度为Jj2的线圈边，其耦合的磁链为

(23)

其中在电机定子槽内每个线圈边的所占面积为

(24)

根据式(22)和式(23)就可得到所有线圈边耦合磁链。由于每相绕组耦合的总磁链等于组成该相绕组的线圈耦合磁链的代数和，而对于双绕组BFSPMM，每相功率绕组均是由空间位置对称的4个线圈组串联而成，三相功率绕组产生的磁链为

(25)

其中：

C1=

采用解析法与有限元法获得的A相功率绕组磁链如图14所示。

图14 A相绕组磁链

进一步对A相功率绕组中的磁链进行FFT分析，如图15所示。

图15 A相绕组磁链FFT分析

通过FFT分析可知，采用解析法获得的磁链基波幅值为0.058 1 Wb，THD为0.20%；而采用有限元法获得的磁链基波幅值为0.058 3 Wb，THD为0.42%。因此，通过解析法与有限元法获得磁链基本一致，进一步验证了解析模型分析绕组磁链的正确性。

根据绕组磁链与反电动势的关系，三相功率绕组产生的空载反电动势为

(26)

其中：ωr为电机的机械角速度，θr为转子位置角。当电机的转速为1 500 r/min时，采用解析法与有限元法获得的A相绕组的空载反电动势，如图16所示。

图16 A相绕组的反电动势

从图16中可以看出，解析法与有限元法获得A相绕组空载反电动势波形基本一致。

3.5 齿槽转矩

由于双绕组BFSPMM永磁体放置于定子上，且定、转子结构均为双凸极结构。当转子位置发生改变时，在定子齿处沿切向方向的磁拉力不再相等，从而产生齿槽转矩。对于电机齿槽转矩的计算，是由子域模型法在空载场中获得电机沿径向和切向方向的气隙磁密分量，之后采用麦克斯韦张量法进行计算，如式(21)所示。通过解析法与有限元法获得的齿槽转矩如图17所示。

图17 齿槽转矩

4 样机及实验验证

为了对上述解析模型进一步验证，设计制作出样机及实验平台如图18所示。

图18 样机及实验平台

在空载场下，测试电机的反电动势波形如图19所示。从图19中可以看出，实验测试样机的反电动势幅值略低于解析法和有限元预测结果。主要原因是解析法和有限元法在二维平面内不能考虑电机沿轴向方向的漏磁。分析结果表明，实验测试样机反电动势的幅值相比解析法和有限元法预测幅值低约5.53%。从总体上来看，解析法、有限元法以及实验测试获得的电机反电动势基本一致，进一步验证上述理论对反电动势分析的正确性。

图19 实验测试空载反电动势1 000 r/min

当忽略转子的偏心效应，向双绕组BFSPMM的功率绕组中注入不同的q轴电流时，比较解析法、有限元法、实验法获得的平均转矩状况，如表4所示。

表4 iq电流与平均转矩关系

从表4中可以看出，在相同的iq条件下，解析法、有限元法、以及实验法获得的平均转矩非常接近。由于解析模型中忽略了转子的偏心效应，且实验中存在转轴摩擦转矩，因此转矩理论计算值与实验测试存在一定的偏差，但从总体上可以获得电机转矩随iq电流变化的趋势。

5 结 论

本文建立一种改进的双绕组BFSPMM子域模型，对永磁体槽中的分布式双层绕组电流进行等效，可减少求解变量的个数，简化求解计算的复杂程度。通过相对磁导函数补偿的方法，推导出非线性条件下的气隙磁密解析式。分析了电机的气隙磁密、悬浮力、电磁转矩、磁链、空载反电动势、齿槽转矩等参数，获得与有限元法相接近的趋势。实验测试样机空载反电动势、平均转矩，与解析法、有限元法基本一致，进一步验证所提解析模型的有效性。因此，改进的子域模型为快速分析双绕组BFSPMM磁场分布提供一种简便的措施。