高中数学解题中数形关系的应用

吴毓敏

摘 要：众所周知，数与形有着紧密的联系。解答高中数学习题时应用数形关系，可达到简化解题步骤、提高学习效率的目的。教师在授课过程中应注重为学生讲解相关的理论知识，并结合学生所学为其展示相关例题的解题过程，使其能够更好地把握应用数形关系解题时的相关细节，促进其解题能力的进一步提升。文章结合高中数学教学经验，对高中数学中涉及的数形关系做了简单介绍，同时从平面和空间两个维度，优选相关例题，展示了数形关系在解题过程中的具体应用，以供参考。

关键词：高中数学;解题;数形关系;应用策略

中图分类号：G427                                文献标识码：A                                       文章编号：2095-9192（2022）05-0079-03

引  言

数与形关系密切，运用数可对形进行准确计算，而运用形可直观地展示数的逻辑关系，提高解题的直观性。学生在高中数学解题过程中注重数形关系的应用，可少走弯路，迅速发现解题思路，突破相关难题。因此，教师在教学过程中应做好对数形关系应用的讲解，展示针对不同题型应如何采用数形关系进行破题，以更好地拓展学生的视野，使其掌握这一高效的解题方法，促进其解题能力的提升。

一、高中数学数形关系分析

为了使学生更好地应用数形关系解答高中数学习题，教师在课堂上应注重结合具体案例，讲解数形关系的重要性，提高学生学习与应用数形关系的意识，同时还应与学生一起总结归纳数形转化的常用思路以及适合运用数形关系解题的常见题型。

数向形转化的思路有借助函数图像进行转化、借助几何图形性质进行转化、借助向量性质进行转化等;而形向数的转化则主要通过构建平面、空间直角坐标系实现。适合运用数形关系解题的题型较多，主要有函数零点问题、函数交点问题、方程根的问题、向量中参数关系问题以及立体几何中求解轨迹长度等问题。当然，为了使学生在应用数形关系解题的过程中提高效率，教师还应注重讲解相关的注意事项，提醒学生在解题时先动脑分析，然后再作答。如在画函数图像时，应先明确定义域，联系已学的函数图像;针对一些特殊的函数，应灵活运用函数的单调性、奇偶性、周期性知识，以保证画图的准确性。

二、高中数学解题中数形关系的应用

（一）数形关系在平面问题中的应用

1.由形化数

由形化数主要是根据给出的图形，对其進行观察和研究，提取图形中的数量关系，找出图形中的内在属性，对题目进行深层次的思考和解答。

例题：已知二次函数y=ax²+bx+c （a≠0）的图像（如图1），在下列代数式中，①a+b+c;②a-b+c;③abc;④2a+b;⑤b²-4ac，值为正数的个数

是（     ）

A.1个       B.2个

C.3个     D.4个

解：根据图像可以得出当x=1时，y=a+b+c<0;当x=-1时，y=a-b+c>0。因为抛物线开口方向朝上，所以a>0，因为与y轴的交点在y轴正半轴上，所以c>0，因为对称轴x=->0。所以a和b异号，即b<0，所以abc<0，因为对称轴x=->1，所以2a+b<0。因为抛物线和x轴的交点是两个，所以b²-4ac>0。因此②⑤两个代数式的值为正数，答案是B。

点评：此题主要是考查学生对二次函数的图像和性质的掌握情况。因此，在高中数学解题教学过程中，教师应注重对学生数形关系意识的培养，让学生做到胸中有图、见数想图，拓展学生数学思维。面对复杂的函数问题，学生应从图形角度去思考，分析图形中隐藏的数据和数量关系，寻找直观的解题方式。

2.由数化形

高中数学题目类型较多，不少题目的叙述较抽象，理解起来有一定的难度，难以找出其中的有效信息，不利于学生寻找解题思路。因此，面对复杂的数学问题，教师应当引导学生利用数形关系，由数化形，根据题目中的条件，准确画出图形，通过图像展现其数量关系，展示数学式的本质，明确解题思路。