明晰递推式的类型，求数列的通项公式

张尚慧

求数列的通项公式问题，通常要求根据已给的递推式求数列的通项公式.因此在求数列的通项公式时，要重点研究数列的递推式，辨析其类型，选择与之相应的方法进行求解.笔者对几种常见的求数列通项公式问题及其解法进行了归纳，下面举例说明.

类型一： an +1 =pan +AqnpqA≠0、p ≠ q型递推式

对于形如 an +1 =pan +AqnpqA≠0、p ≠ q的数列递推式，在求其通项公式时，可在递推式的两边同时除以pn+1，再将所得式子看作等比数列、常数列，利用等比数列的通项公式，或通过累加求得数列的通项公式.

例1.已知数列an中， a1= 1， an+1=2an +3n ，求数列an的通项公式.

分析：仔细观察递推式的结构特征，可发现该递推式形如 an +1 =pan +Aqn，可在递推式的两边同时除以 2n+1，再将所得的式子构造成公比为1的等比数列，即常数列，就很容易求得数列an的通项公式.

解：在 an+1=2an +3n的两边同时除以2n+1，

整理得 - è（æ） ø（ö）n+1=  - è（æ） ø（ö）n ，

则数列î（ì）- è（æ） ø（ö）þ（nü）是一个常数列，

所以 a1-31=-1，

因此，数列an的通项公式为 an =3n -2n .

类型二：an +1 =pan +An +B（p ≠0和1，A2+B2≠0）型递推式

当遇到形如an +1 =pan +An +B（p ≠0和1，A2+B2≠0）的递推式时，可在递推式的两边同时除以pn+1，然后令 An + B Pn + 1 = x（ ） n + 1 + y Pn + 1 - xn + y Pn，将其整理为数列，再根据待定系数法求得 x、y 的值，将 x、y 的值代入，即可求得数列的通项公式.

解：

所以 an+1 + n +2 = an + n +1

该递推式形如 an +1 =pan +An +B，于是在递推式的左右两边同时除以4n+1，引入待定系数，构造出新数列，将问题转化为新数列的通项公式问题来求解.

类型三： an +1 =f nan + gnf n≠0型递推式

由 an +1 =f nan + gn型递推式求数列的通项公式，要在递推式的两边同时除以 f n，构造新数列，再根据等差、等比数列的通项公式求得数列an的通项公式.

例3.已知数列an的前 n 项和为 Sn ， a1=  ，Sn=n2an - nn-1，求数列an的通项公式.

解：由题意知，Sn=n2an - nn-1，①

∴ Sn +1=n +12an +1 - nn+1，②

我们先根据 Sn与an的关系 an =S（S） ，-S，≥2， 消去，再在地推市的两边同时除以，得到常数列，这样便能很快求得数列的通项公式.

由此可见，由递推式求数列的通项公式，关键在于辨析数列的递推式，选择与之相应的方法将递推式进行适当的变形，如移项、除以某个数、引入待定系数等构造出常规的等差、等比、常数列，這样便将问题转化为常规数列的通项公式问题，使问题快速得解.

（作者单位：江苏省南京市第一中学）