谈谈阿氏圆的几个性质及其应用

刘美玲

阿氏圆是古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollous⁃ nius，约公元前262年～约前190年）最先发现的.已知A、B 是平面上的两点，若 =a（a ≠1），则 P 的轨迹是一个圆，这个圆叫作阿波罗尼斯圆，简称为阿氏圆.我们可利用几何画板来作出阿氏圆.任取两点 A、B，在 AB 所在直线上任取一点 C，以 A 为圆心，AC 的长为半径画圆.构造比值 a =  ，以 B 为圆心，以 a ∙AC的长度为半径画圆，两圆交于 P、Q 两点，P 点、Q 点的轨迹即为阿氏圆，如图1所示.

阿氏圆是一种特殊的圆，有很多重要的性质，下面我们利用几何画板来进行研究.

性质1：阿氏圆与直线 AB 的两个交点按定比a 内分 AB 和外分 AB .

可用几何画板画出 P、Q 点的轨迹（阿氏圆）与直线 AB 相交于 M、N 两点，如图2所示.分别测量 MB 、 AM、NB、AN 的长度，通过计算可得=  =a ，即可证明性质1.

由该性質可知，如果知道了圆上一点到直径上两定点的距离比，那么就可以知道圆上另一点到两定点的距离比.

性质2：若 P 为阿氏圆上任一点，阿氏圆与直线 AB 交于M、N，则 PN，PM 分别是∠APB 内外角的平分线.

可用几何画板画出阿氏圆与直线 AB，并连接 PM 、PN ，如图3.对∠ APN、∠ APB、∠ APM、∠ APJ 分别进行测量，可得∠ APN = ∠ APB ， ∠ APM =∠APJ .

性质3：非等腰三角形ΔABC 三边上的三个阿氏圆的圆心 Oa、Ob、Oc三点共线.

我们用上面绘制阿氏圆的方法，依次作出非等腰三角形ΔABC 三边上的三个阿氏圆，通过计算直线OaOb的斜率与直线ObOc的斜率是否相等，即可证明性质3.

根据图4中的结果进行计算可得两直线的斜率相等，所以性质3成立.

性质4：非等腰三角形ΔABC三边 a ，b ，c 上的阿氏圆半径分别是 Ra ，Rb ，Rc，则 Ra = abcRb = abcRC=  .且若 a >b >c，则+ =  .

可以在图4的基础之上作图，因为圆 Oa、圆 Ob 、圆Oc分别经过A、B、C三点，分别测出OaA、ObB、OcCabcabc的长度，即为 Ra ， Rb ，Rc .再量出a2-b2，建立等式关系即可.

由图5中的数据，可得+ = + = = ，说明上述性质是成立的.

利用几何画板的作图、测量功能，可以轻松作出阿氏圆，计算出结果，证明上述性质成立.在解题时，灵活运用阿氏圆的性质，能快速找到解题的思路，使问题顺利得解.

例1.已知抛物线 C ： y2= 8x 的焦点为 F ，准线与x 轴的交点为 K，点 A 在 C 上，且AK = AF ，Δ AFK 的面积为（）.

A.4   B.8   C.16   D.32

分析：本题直接求解较为困难，不妨采用数形结合法，根据题意画出图形，问题的本质就会自然而然地呈现在我们面前.首先建立直角坐标系，绘出抛物线C 的图象以及 F 、K 点的位置，如图6.设 A（x，y），由题目条件AK = AF ，可得 A 是阿氏圆与抛物线 C 的交点，求得阿氏圆轨迹方程为：=   ，化简得 x2+y2- 12x +4=0，则阿氏圆与 y2= 8x 交点为 A（2，±4），所以 SΔAFK = FK ∙yA=8 ，故答案选B项.

解答本题主要运用了阿氏圆的定义，根据其定义建立关系式，求得 K 点的轨迹方程，通过分析图象确定 A点的位置，再根据三角形的面积公式求得问题的答案.

例2.在平面直角坐标系xOy中，点 A（0，3），直线 l：y =2x -4，设圆C 的半径为1，圆心在 l 上.若圆C 上存在点M，使MA =2MO，求圆心C 的横坐标 a 的取值范围.

分析：由 MA =2MO 可以判断，点 M 是阿氏圆上的点.求得阿氏圆的轨迹方程为： x2+（y +1）2=4.而圆 C 是圆心在直线 l 上，半径为1的圆.绘制如图7所示的图形，因为 M 也在圆 C 上，所以 M 即为圆 C 与阿氏圆的交点，由图8可知圆C 的圆心在 O1、O2之间运动.设圆 C的圆心坐标为（ x ，2x -4），则1≤ ≤3，即 0≤ x ≤  .

解答本题主要运用了阿氏圆的定义以及性质3、性质4.首先根据题意确定 M 点为阿氏圆上的点，得到M 点的轨迹方程，然后利用阿氏圆的性质3、性质4确定圆心 C 的横坐标的取值范围.

总之，当遇到有关两点一圆的问题、动点到两定点的距离之比等于定比的问题时，可以利用阿氏圆的定义或性质将问题进行巧妙地转化，这样有助于提升解题的效率.

（作者单位：湖北省武汉市光谷实验中学）