小学数学教师的统计推理信念研究

董瑶瑶， 刘 坚

(北京师范大学 中国基础教育质量监测协同创新中心， 北京 100875)

一、研究背景

在大数据时代，人们的生活和职场中充满着大量的数据。如何运用数据作出理性判断成为公民必备素养[1]。时代的发展也对学生的素养提出了新的要求。国际经济合作与发展组织指出：“学生作为未来公民应该熟悉大数据的性质，并能在变化和不确定的情境中做出明智的决策。”[2]对此，统计推理(Statistical Reasoning)的核心内容是在数据处理过程中运用统计做出理性判断并进行批判性说理，在科学预测(如天气预报)和理性决策(如疫情风险评估)中发挥着重要的作用，是学生在大数据时代适应未来职场和社会的必备能力。

自21世纪起，美国、新西兰、日本、新加坡等发达国家的数学课程标准或教学大纲等都对中小学生的统计推理做出了要求。例如，美国于2000年颁布的《学校数学教育的原则和标准》明确要求“学生能基于数据进行推断和预测”[3]。新加坡2012年颁布的《小学数学教学大纲》要求“学生能使用数据做出明智的决策和预测”[4]。我国《义务教育数学课程标准(2011年版)》明确要求第二学段的学生“能解释统计结果，根据结果做出简单的判断和预测”[5]。随着新一轮课程标准修订进程的推进，《义务教育数学课程标准(预审稿)》用“数据意识”代替“数据分析观念”成为小学数学核心素养。而统计推理的核心是用“数据说话”并自圆其说，是学生数据意识的充分体现。培养学生的统计推理能力，既能发展学生的数据意识，又能促进小学生合情推理能力的提升。

然而，“统计”的课程内容本身就处在小学数学课程中的“弱势”地位[6]，学生在学校中的统计学习机会有限，有关统计推理的学与教更是数学教师的“盲点”和“难点”所在。已有研究关注了数学教师对数学推理、问题提出的信念[7-8]，但对统计领域的教师信念研究缺乏。数学教师信念涉及数学教师如何认识数学中各素养的内涵，以及如何进行数学的教与学，在教师成长道路上具有认识论层面的指导意义。我国中小学统计教学的推进必然需要教师信念的支持，这样才能更好地将小学统计教学转化为课程生产力，从而推动学生统计思维和数据意识的发展。已有许多研究者开展了数学教师信念研究，主流观点认为数学教师信念包括教师对数学本质、数学教学、学生数学学习的信念[9-12]。其中，数学信念是信念系统中的核心要素并能支持教师教学实践[13]。

综上，本研究将从数学教师对数学本质、学生数学学习、数学教学这三个方面来研究小学数学教师的统计推理信念，具体包括教师对统计推理的本质、学生学习、教师教学这三个部分。因此，本研究共有以下三个研究问题：

1.小学数学教师认为统计推理是什么？

2.小学数学教师认为学生如何学习统计推理？

3.小学数学教师认为怎样进行统计推理教学？

二、研究设计

(一)研究对象

采取目的抽样法和方便抽样法，兼顾性别、教龄、职称和学历等因素，共选取三位“能促进学生统计素养发展”的小学数学教师作为个案研究对象。三位教师的基本信息如表1所示。

表1 研究对象的基本信息

(二)资料收集方法

在国际教师信念研究中，访谈法是最普遍的资料收集方法[14]。因此，本研究采用半结构化访谈的方法对教师进行一对一的在线访谈，并对访谈过程进行录音。以访谈提纲中的问题为访谈内容的主轴，再随着研究对象的回应继续追问，以深入收集研究对象的信息。其中，借鉴了Xennfontos和Andrews，以及宋乃庆等人的研究[15-16]，本研究的访谈提纲围绕教师对统计推理的本质、学生学习、教师教学的认识这三个部分展开，共有5个访谈问题。

(三)资料分析方法

结合Gustavo等人和杜宵丰等人在数学教师信念研究中的资料分析方法[17-18]，本研究将基于教师信念的理论框架进行资料分析，主要包括以下四个步骤：(1)对每位教师的访谈文本进行逐一分析，判断和筛选教师信念(信念是指“个体对命题真实或虚假的判断”)的部分。(2)根据“统计推理本质信念、统计推理学习信念、统计推理教学信念”这三个主题，将访谈资料初步分类为A、B、C三类。(3)在A、B、C三类资料的基础上，以教师谈论不同的、有意义的话题为界限，运用逐词编码、逐句编码和逐个事件编码等方式将文本切割成更小的段落，并以此形成分析单位，由阿拉伯数字依次编号，如A-1表示数学信念下的第1个分析单位。(4)将具有相似性质或共同含义的分析单位合并，或将多重意义的分析单位切割，逐渐形成类别并命名。这个过程相当于在A、B、C这三个一级维度下进一步划分二级维度。

三、研究结果

(一)教师关于统计推理本质的信念

三位被访谈的教师表示很少接触“统计推理”一词，但结合统计教学经验和对数学课程标准中“数据分析观念”的认识，三位教师均尝试解读统计推理的内涵并给出了相关案例。

D老师疑惑这个词是不是指“数据推断”，并认为统计推理是“通过一组或几组数据进行全面多角度的分析，描述数据的信息，进而做出推断”。以“身高预测”这一问题为例，D老师进一步说明了她对统计推理的理解：“比如预测身高这个例子，11岁的孩子可以收集自己之前的身高数据，然后让他预测12岁时的身高是多少？通过观察自身已有的身高数据，尝试做出折线统计图，并在此基础上进行身高预测。或者知道更多同学的身高变化趋势，了解更多的同龄人身高，在多组数据的对比中来推理和预测。”

L老师先从推理的定义入手解读统计推理的内涵，她认为推理是指“对未知的猜测”，而统计推理是指“对数据进行收集和分析后，对未发生的事情进行估计、预判、合理的预测”。进一步地，L老师以“天气预报”为例来说明统计推理的内涵：“比如我们可以考虑风向、云层因素的影响，通过大数据进行统计推理，从而预测未来的天气。”

C老师结合已有文献，认为统计推理可以定义为“人们用统计观点进行推理并能理解统计信息的方式”。同时，他还认为统计推理包括从样本推断总体，并从这个视角出发举例：“如为了解全国住户对电视机的需要量，就根据收入的多少等情况把住户分成若干类(若干层次)，从每类中随机抽出一定数量的住户作为样本进行调查，将所得需求量的结果，应用统计学中的计算方法推算出全国的需求量。”

(二)教师关于统计推理学习的信念

首先，三位教师均从学生视角出发，肯定了统计推理对学生学习和发展的意义。D老师和C老师从统计学习视角来理解统计推理的意义。如D老师指出：“统计推理可以培养学生的数据意识和对数据随机性的体会，能让学生体会到解决身边的问题是有价值的。”L老师则更多从社会的角度思考统计推理的学习价值：“现在处于数据时代，淘宝会基于个人喜好，根据大数据进行推送，学习统计推理能帮助学生更好地融入社会，并学会‘用数据去说话’。”

对于学生在学习统计推理时可能存在的困惑，三位教师从不同方面表达了观点。D老师认为学生是否真的能用“数据说话”是会存在困难的，有的孩子更容易联系生活实际来“说道理”。D老师还指出，“学生在实际的数据收集过程中会遇到困难。比如我们做统计推理时需要扩大样本范围，对于学生来说，收集自己班数据或许是容易的，但是调查其他班、其他年级就相对较难了。”L老师认为数据本身的质量会影响学生的统计推理，她指出：“我认为学生进行统计推理时，会受到数据范围和数据来源的干扰。”C老师则认为“学生往往对事件发生的可能性不能够进行判断”。但实际上，C老师一定程度上混淆了“概率”和“统计”的区别。概率学习是“自上而下”的，往往有一个理论值；而“统计学习”是“自下而上”的，是从数据出发不断得到可靠结论的过程。

(三)教师关于统计推理教学的信念

结合统计推理的教学策略和可能面临的教学挑战，三位教师各自表达了不同的观点。

D老师认为，统计推理的教学需要让学生经历完整的数据处理过程：“首先，要创设情境，从学生熟悉的素材出发，唤醒他们的已有经验；其次，让学生经历数据的收集、整理和分析过程。因为课时受限，学生往往难以在一堂课中经历整个统计过程，因此可以充分利用课前课后的时间，也可以让学生分成小组去做课题、做调查或做访谈等。”D老师认为自身对统计推理的内涵理解还比较浅显，因此开展实际教学将会面临较大的挑战：“我自身对统计推理的认识不多，研究少，经验就少，懂得也少。”

和D老师类似，L老师也强调了统计推理的教学需要创设贴近学生生活的现实情境，由此激发学生的统计学习动机。同时，L老师的观点也同D老师一样，认为统计推理的教学需要让学生经历统计的全过程。此外，L老师特别地提到：“要引导学生用统计的眼光看问题，让他们思考——统计有什么用？当然，要去观察数据的规律，对数据进行分析。”对于统计推理教学的难点，L老师认为目前主要存在技术上的困境：“我们要如何获得较大量的数据呢？如何让学生快速收集和汇总数据呢？这些很大程度上需要依赖于信息技术手段。”

C老师对统计推理教学策略有更全面的认识，同前两位老师一致，他强调了创设真实情境和经历统计全过程的重要性，并指出“要注重学生以合作的方式来共同解决统计问题，并逐步渗透‘大数据’背景下的教学思路”。但是C老师也提出了自己的困惑：“现在还没能真正把握统计推理教学的重点突破口在哪里。”对此，统计推理的教学对C老师来说也具有较大挑战。

四、讨论与建议

(一)统计推理是什么

教师对数学本质的认识很大程度上关乎着他们的数学教学和对学生数学学习的认识。本研究所访谈的三位小学数学教师对统计推理内涵的解读包含“统计”和“推理”这两个视角，且认为统计推理往往指向做出推断和预测。如有的从“统计”视角出发，认为统计推理包含“数据推断”或“样本推断总体”。也有的从“推理”视角出发，将统计推理指向对已有数据的推理。总的来说，三位老师对统计推理内涵的直观判断较为准确，基本指出了统计推理的本质所在。

然而，对统计推理内涵的解读往往需要兼顾这两个视角。一般情况下，统计推理可以界定为“学生能运用已有数据对统计中的不确定性问题做出合理推测的推理过程”，它既需突出统计的“不确定性”(包括对不确定问题的推断和预测)，同时，统计推理又是一个推理过程，往往包含“推测数据之外信息”“运用数据解释推测”“反思推测不确定性”这三个认知要素。结合图尔敏论证模型，可进一步解读统计推理的本质和各要素之间的关系(见图1)。其中，“Data(数据)”和“Warrants(论据)”指向“运用数据解释推测”这一要素，需要学生结合情境、个人经验，归纳或类比已有数据以形成数据证据。“Claim(论断)”指向“推测数据之外信息”，是学生运用数据证据所做的论断。“Qualifier(限定)”和“Rebuttal(条件)”均指向“反思推测不确定性”，需要学生用不确定性语言作为限定词来表达推测，并考虑数据的随机性来思考推测适用的条件或者情境，通过进一步反思证据强度来分析推测不确定性并尝试提高推测的可靠性。

图1 基于图尔敏论证模型的统计推理内涵解析

(二)统计推理怎么学

对学生统计推理学习价值和困惑的认识是数学教师进行有效统计推理教学的基础。结合三位老师的访谈结果，统计推理的学习被认为兼具统计学习价值和社会价值。此外，了解学生统计推理的学习困惑对教师来说也至关重要。本研究通过对三位优秀的小学数学教师的访谈发现，小学生或许会在“如何更好地收集数据”“如何用数据说话”方面存在困惑，这也是小学生学习统计推理的重难点所在。下面将针对这两个问题展开讨论。

一方面，在统计推理中，数据的“量”和“质”很大程度上影响着学生能得出怎样的结论。“数据收集”涉及数据的来源，需要学生对统计目的、样本选择和抽样方式有所思考。与数学课程中“数与代数”“图形与几何”领域不同的是，统计所得结论往往具有或然性。这也就意味着，统计推理需要对结论进行反思，这时又会回到原有的统计目的上——现有数据多大程度上能够达成统计目的？为了提高结论的可靠性，还可以收集哪些数据？由此可见，“如何更好地收集数据”这一问题应贯穿于统计推理的始终。

另一方面，“如何用数据说话”往往是在解释统计推理所得结论时发生的，认识学生“用数据说话”的“进阶过程”有助于教师引导学生突破统计推理学习难点。基于已有研究，小学生最初主要基于个人经验得出“个人假设”，所以他们可能会忽略不支持其个人假设的相关证据，这也是小学生“用数据说话”时的初级水平。进一步地，学生才会关注到局部的数据特征，如个别极端值(如“最小值、最大值”)、数据出现的频次(如“大多数”)，以及更具相似性的数据。更高水平的学生则能关注到数据整体特征，如集中程度、整体趋势、规律模式等[19]，或者是对数据进行数量化的表征[20]，如运用百分数、平均数等统计量数作为数据证据来说话。

(三)统计推理怎么教

在认识了统计推理“是什么”“怎么学”的基础上，数学教师对统计推理“怎么教”才会更有把握。对于统计推理的教学问题，三位小学数学教师主要提出了“创设真实情境”“经历统计过程”“引入信息技术”等多样化的教学策略，但同时也普遍认为统计推理的教学对小学数学教师而言将会是较大的挑战。下面将结合三位教师提出的统计推理教学策略展开深入讨论。

1.创设真实情境

选择一个真实的现实情境是统计推理的前提[21]。情境要素驱动着统计问题，一个有吸引力的真实情境可以激发学生的统计学习兴趣和动机，驱使着他们探究统计问题。当小学生面对难以理解的情境时，他们会难以基于数据做出结论。而面对熟悉的、容易理解的情境时，他们的结论是根据数据的特征或关键特征得出的。因此，基于学生熟悉的、可理解的、有吸引力的现实情境来进行统计推理教学，让学生“有话可说”，是非常有必要的。

2.经历统计过程

和“数据分析观念”的培养一致，统计推理教学也应注重学生对描述数据、整理数据、表征数据、分析数据等统计全过程的经历。通过“自下而上”的“数据驱动”的过程，让学生在数据的收集、整理、分析过程中不断得出更上位的结论。同时，学生对统计过程的经历应是一个循环的过程，往往不是“一次性”的，而是需要不断回到某一环节进行迭代的过程。

3.引入信息技术

在统计推理教学中融入信息技术可提高教学的效率，有助于学生的计算、制图和数据模拟试验[22]。许多国家的教师已将信息技术充分融入中小学统计教学和统计推理教学中，最为常见的技术工具为TinkerPlots(见图2)。

图2 TinkerPlots软件的界面示意图

TinkerPlots是一种创新的数据分析、数据可视化和概率建模工具，旨在为4～9年级学生的统计推理提供数据和技术支持[23]。当教师将TinkerPlots嵌入至统计推理教学中时，烦琐的“数据收集”“数据表征”环节将实施得更加高效，学生可以在简单友好的界面中获得想要的数据，也可通过TinkerPlots中的绘图工具快速绘制出点状图、扇形统计图等，从而更直观地表征数据。▲