推理有难度 支架来相助

罗永军 鲍雯华

【摘   要】在“圆的周长”教学中对于圆周率的推导，多数教材都保留了基于测量操作的归纳推理，而对利用图形关系进行的演绎推理则采取了谨慎的态度，或绕过，或淡化处理。针对这一做法，教师可尝试设置合适的教学支架，让学生自主探索“圆周率”，在比较了图式、文字说明、实物操作等教学支架的作用后，发现实物操作能极大地帮助学生明晰图形关系，从而完成推理过程。在此基础上，通过观察学生活动，提出了实物操作的相关特点，探讨高效课堂教学的方法，为广大教师、教材编者和专家学者提供一个实践样例。

【关键词】演绎推理;教学支架;实物操作

“我不敢保证结果对不对”，在“圆的周长”教学中，一位学生汇报完“圆的周长是直径的3倍多一点”之后，小心翼翼地补充说明。他的发言得到了很多同学的认同：“因为量的时候会有误差。”学生为什么会对结果产生疑问呢？图形中的数量关系不是一个整数，这对小学生来说是第一次遇到，因此有疑问也很自然。是不是因为测量有误差，所以这个倍数才出现了小数？会不会有一些圆，周长正好就是其直径的3倍或4倍呢？

疑问很自然，回应有点难。因为不管我们如何提高测量精度，也只能测量出某一个具体圆的相关数据，无法得到一般性的结论。测量可以发现事实，但要形成普遍规律，还需要“推理”来证实。小学生能完成这个推理过程吗？如果不能独立完成，教师该如何设置教学支架为学生助力呢？

一、数学分析

用小学生能够理解的数学知识可以推理出圆周率在3～4之间，确实是一个小数。

首先，圆周率一定大于3。如图1所示，我们可以在圆内构建一个正多边形，圆内接正多边形。由于每两点之间的弧长大于边长（两点之间线段最短），如[AB]>[AB]，得出圆周长大于正多边形周长的结论。当圆内接一个正六边形时，如果把顶点连接圆心，就构成了6个等边三角形。因为三角形的边长是圆的半径r，也即正六边形的边长，所以正六边形的周长是6r，即3d，由此可得出圆周长大于3d的结论。

其次，圆周率一定小于4。如图2所示，我们可以在圆外构建外切正多边形，此时，相邻两切点之间的弧长小于折线长，即多边形的边长（如果相等，那么弧与折线将会重合），如[AB]<[AA']+[A'B]。因此，圆的周长小于外切正多边形周长。当圆外切正方形时，正方形边长与圆的直径相等，可得周长是4d，即圆周长小于外切正方形周长4d。

因此，圆的周长一定大于其直径的3倍且小于其直径的4倍，即圆周长与其直径的比值在3～4之间，是个小数。从上面的分析可以看出，证实圆周率是一个小数的关键是需要构建一个圆外切正四边形和一个圆内接正六边形。要想到这一步，对学生来说是一个难点，教材给出了什么教学线索呢？

二、教材分析

在小学，圆周率的学习要求是“通过操作，了解圆的周长与直径的比为定值”[1]。教材是如何体现的呢？我们查阅了人教版、北师大版、苏教版、浙教版和香港现代版等教材，发现教材给出的教学步骤大致有这样几点：①猜测圆周长与其直径长短有关;②测量圆周长及其直径，发现圆周长与其直径的比值（圆周率）是3倍多;③用几何关系推理出圆周率在3～4之间，不是整倍数;④了解数学史，知道圆周率是一个定值。对于以上过程，虽然不同的教材有不同的取舍，但步骤①②④，各套教材都有呈现，差异主要体现在第③步上，具体情况见表1。

从表1可以看出，上述教材的差异集中体现在“推理发现”的处理上。有的教材选择绕过这个难点，如人教版、浙教版教材在“操作”之后直接介绍了圆周率及其相关历史，给出结论：“其实，早就有人研究了周长与直径的关系，发现任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫作圆周率，用字母[π]表示……”有的提供了圆内接正六边形或圆外切正方形供学生推理分析，如北师大版、苏教版和香港现代版等教材（如图3～5）。不过，这3个版本教材的相关内容在编排的顺序呈现上不尽相同，北师大版教材放在课后练习中;苏教版教材放在操作活动前让学生根据图式对圆周率作估计;香港现代版教材则放在探索活动中，希望教师能如此讲解给学生听。

这个推理分析过程是否有必要呢？我们知道，用测量操作的方法虽然简单易行，但是受测量工具和测量方法所限，无法得到精确的测量结果。何况就算我们有办法得到精确的结果，也无法对所有的圆一一进行测量。因此，终究难以回答诸如“圆周率到底是不是一个固定的小数”“为什么圆周率在3～4之间，一定不是整数”等疑惑。要回答这样的问题，就必须跳出测量的局限，利用图形关系来进行推理分析。更重要的是，逻辑推理作为数学核心素养之一，是学生走向未来的关键能力。在操作阶段，学生已经用“数学的眼光”发现了一些值得关注的事实，形成了一些结论，这就是归纳推理。如果能让学生进一步体验从个例发现到规律证实的演绎推理过程，那么“会用数学的思维思考现实世界”等能力将得到充分的培养。因此，这个推理分析过程值得让学生来体验。不过，这个过程小学生能否自主探究出来呢？

三、学生分析

“圆的周长”这一内容放在小学高年级学习，这个年龄段的学生正处于“形式运算阶段”的开始，他们是否具备这样的能力呢？为此，我们随机选取了杭州市上城区某学校六年级一个班35名学生作为样本，做了前测与调查。前测结果如图6所示。

前测分两部分，我们分别调查了学生了解圆周率的前概念水平和利用图形关系推理圆周率的情况。从前测结果看，圆周率的前概念水平有3个层次：①没听说过圆周率;②听说过圆周率（约）是3.14，但不知道具体含义;③知道圆周率的含义以及得到的过程。根据这3个层次我们打算在教学中分别提供A、B、C三种学习单以适当助力。

从调查中可以看出，虽然有学生知道可以用測量的方法来研究圆周率，但没有人想到用图形关系来研究。那么，如果直接给出圆与多边形关系的图式，学生能否自行推理呢？因此在前测的第二部分，我们给出了圆与外切正方形和内接正六边形的图式。即便如此，也只有14.1%的学生能利用图形关系来推理。看来，就算是给出关系图，多数学生也较难完成推理。

但会不会存在另一种可能？也就是因为这两个关系图并不是学生自主构建出来的，没有形成学生的思维起点，所以学生反而不知其所用，不明白为什么要在圆外画一个正方形、在圆内放一个正六边形。如果让学生自主构建这两个图形，完成率会不会有变化呢？

四、教学分析

（一）设计教学

根据上述分析与猜想，我们在教学中运用过程变式[2]的设计，分类分层推进。特别设计了教学支架让学生自主发现圆与正多边形的关系这一关键点。本设计具体教学路径如图7所示。

（二）教学实施

（1）呈现大小不同的3个圆，感知圆周长与直径的关系。

（2）探究圆周长与直径的倍数关系。根据前测结果，分组探究，给A组提供较为详细的实验步骤，B组只提供实验器材和记录单，C组则进行推理探究，C组学习单如图8所示。

（3）A组和B组操作后汇报结果，C组不参加交流，开始自行书写推理过程。

汇报中引出疑问：周长一定大于直径的3倍？真的不会达到直径的4倍？A组和B组开始推理探究，C组結束推理过程的书写，开始独立练习。

（4）A、B、C三个组在推理探究时给出的支架和时间都相同。

支架1——图式（见C组学习单）：直径10厘米的圆。（3分钟后如果学生还没解决，给出支架2）

支架2——文字：如果图形的周长是直径的4倍，那么这可能是什么图形？（3分钟后，如果学生还没解决，给出支架3）

支架3——实物：8根与直径等长的小棒、8根与半径等长的小棒（探究时间3分钟）。

（5）A组、B组结束探究，C组也暂停练习，全班开始交流汇报，并进行总结。

（三）结果与分析

提供不同支架后，全班学生推理探究的情况如表2所示。

从表2可以看出，有了不同支架的助力后，100%的学生能自主构建圆外切正方形来解释π<4，约60%的学生能自主构建圆内接正六边形来解释π>3。

使用不同支架时，A、B、C各组的完成率如图9、图10所示。

从图中可以看出，图式和文字这两种教学支架对于较为简单的推理问题（π<4）有一定的作用，其中C组同学只要有文字提示即可，100%能完成;A、B两组同学的完成率不高，分别是11%和40%;对于较为复杂的推理问题（π>3），仅有C组中16.7%的人能完成。看来，仅有图式和文字还不够。提供实物操作后，学生的推理水平明显提升，能够自主构建圆外切正方形这个关键图形（推理π<4）的人数直线上升：A组完成率从11%猛增到了89%，B组剩余的60%的同学也全部能完成;在自主构建圆内接正六边形（推理π>3）时，B组同学的完成率从0%增加到80%，C组剩余的83%的同学也全部完成。看来，实物操作的助力作用非常明显。

实物操作在解决问题特别是较难问题时，为什么会对学生有如此大的帮助呢？

在观察学生推理（[π]>3）时，有一个现象引起了我们的注意：在提供图式和文字支架后，不少学生先画出了这样的图（图11），然后据此推理：因为圆周长大于三角形周长，而三角形周长等于3d，所以C圆>3d。显然，学生是把弦长当作直径了。等实物到手后，学生动手一摆马上发现了问题所在（图12）。在继续摆放中，学生发现其实在圆内无法用直径小棒来搭建多边形的，于是换用半径小棒，沿着圆周摆放，发现正好可以摆6根，摆成了正六边形。进而想到用等边三角形来分析（图13）。

通过观察学生的活动，我们注意到实物操作与图式和文字提示相比具有以下特点：①操作方便。学生可以快速不断地尝试;②反馈及时。尝试的结果对不对，是继续往下做还是换一种方法，学生需要从尝试的结果来进行调控，因此反馈的快速及时对于探究活动来讲尤显重要。相比之下，文字或图式的主要功能是传递信息，但信息本身只是一个线索，对不同的人的启发程度不一样，而且难以持续互动与跟进反馈，因此对于认知能力特别是阅读与理解能力较高的学生来讲可以“一语道破”，而对于大多数学生来讲效果没那么明显。实物操作时，每一次尝试可以很快得到反馈，摆放是否正确不需要等待教师来评判，学生可以立即判断从而调整自己的行为;③具身认知。实物操作以“动手做”为主，形成了触觉、视觉等多感官协同的具身认知。近代脑科学研究表明，认知对于身体及感觉运动系统有不可分割的依赖性，身体在认知过程中发挥着关键作用。触觉作为人类最早发展的感觉，是获取信息和操控环境的重要通道，对认知判断起着重要的影响。[3]触觉与视觉、听觉等多种感觉协同认知，会让大脑区域之间的神经连接更加活跃，从而使人的思维更灵活。触觉还会带来丰沛的情感，契合儿童好动的天性，因此，在教学中设置实物操作的支架有利于小学生主动探究、积极思考。

包括“实物操作”在内的各种教学支架在数学教学中已被广泛应用，凭经验我们知道有用，但是究竟会对学生产生多大的助力作用？这些支架又是如何影响学生从而产生助力作用的？这些问题长久以来都比较模糊，影响了我们有效教学。本文所呈现的这方面的探索仅仅是提供了一个案例，意在抛砖引玉，希望得到更多一线教师、专家学者的关注、指导，从而使教学从经验走向科学，更好地助力学生的发展。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012：24.

[2]顾非石，顾泠沅.诠释“中国学习者悖论”的变式教学研究[J].课程·教材·教法，2016（3）：86-91.

[3]崔倩.触觉经验对认知判断的影响[D].南京：南京师范大学，2012.

（浙江省杭州市胜利山南小学   310005）