例谈多元最值问题的九种策略

白亚军

(甘肃省永昌县第一高级中学 737200)

多元最值问题，指的是含有两个或两个以上变元的式子的最值求法问题，因为含有多个变元，所以学生害怕学习这一类问题，而这一类问题可以考查学生的综合能力，所以学生在平时的学习中，不要一味追求某一种解法，要学会从不同解法中汲取不同的思想方法，提高自身的数学核心素养．

1 利用不等式的性质

点评不等式的基本性质在高中数学中的应用是非常广泛的，一定要牢记不等式的基本性质.

2 利用绝对值不等式

例2求函数f(x)=|x2-a|在区间[-1,1]上的最大值M(a)的最小值．

解析注意到f(-1)=f(1)，且2M(a)≥f(0)+f(1)=|a|+|1-a|≥|a+1-a|=1,

点评本题主要根据绝对值不等式|a|+|b|≥|a±b|求最值，根据不同情况选取.

3 利用均值不等式

A．max{n(n),n(n+1)}>1

B．max{n(n),n(n+1)}<1

解析因为n(x)=x2+px+q的图象经过两点(α,0),(β,0)，故n(x)=x2+px+q=(x-α)(x-β).

所以n(n)=(n-α)(n-β)=(α-n)(β-n),n(n+1)=(n+1-α)(n+1-β).

点评通过已知条件转化构造和为定值，再利用基本不等式使问题自然获解.

4 利用柯西不等式

解析设

点评柯西不等式往往不能直接使用，需要对数学式子的形式进行变化，拼凑出与一般形式的柯西不等式相似的结构，才能应用.

5 分类讨论

点评对于多元函数最值问题，有时需将题目条件中包含的全体对象分成若干类，再分类讨论.

6 待定系数法

点评当运用不等式性质较难达到目标时，有时可引入参数作为待定系数，再根据题意解决问题.

7 构造函数

例6 设a,b,c∈R，f(x)=x3+ax2+bx+c(-1≤x≤1)，求min{max|f(x)|}．

设x=cosθ,θ∈[-π,π]，则

点评根据题设或所具有的特征构造出满足条件或结论的函数，借助于函数性质解决问题.

8 利用韦达定理

例7若a,b,c>0且a+b+c=12，ab+bc+ca=45，求min{max{a,b,c}}．

点评一定条件下求某些代数式的最大值、最小值，如果将其与一元二次方程中的根与系数关系及根的判别式联系起来，将会给我们提供一种十分巧妙的解题思路.

9 数形结合

例8设f(x)=min{2x,16-x,x2-8x+16}(x≥0)，其中min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值，则f(x)的最大值为( ).

A．6 B．7 C．8 D．9

图1

解析画出y=2x,y=16-x,y=x2-8x+16的图象，观察图1可知，当x≤2时，f(x)=2x;当27时，f(x)=16-x,f(x)的最大值在x=7取得为9，故选D．

点评数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻画与图形巧妙地结合.

通过以上多元最值问题的剖析，最基本的处理策略就是减元，研究一元函数的思想方法是研究多元函数的基础，在任何情况下，学生都要扎实抓好基础知识、基本技能、基本思想方法的落实，在教学中做到“点点”落实，否则“欲速则不达”.