派的精确表达

一个月之前，我在市立图书馆等待一个朋友。他在找他想要的资料，而我只能闲逛。这是一件苦差事，因为他一进图书馆就想跑厕所。据他解释，这是一种十分正常的生理现象，也有着十分确凿的科学依据。可我不太理解，只知道这意味着我得在图书馆里等很久，而我本身不是一个好读书者，所以我只能走进一些可能会有旧书、怪书的角落里，只有这样才能让我不那么无聊。果然，我找到了一本很旧的书，关于欧洲数学家的野史，其实这么说也不太准确，因为大半本书都关于一些十分原始的数学学派。既然是野史，大多数的笔墨都着重于他们如何举办各种奇妙的聚会，掺杂了诸多让人摸不着头脑的宗教和性爱仪式，更像是某种地下组织。在书的最后几十页，才开始涉及一点儿现代数学，是一个关于欧拉的故事，那个故事倒让我着迷。着迷的程度就是在离开图书馆之后，我还常常想起。我觉得应该把它用一支永不褪色的水笔写在肚皮上或者屁股上（因为这两个部位有着较大的面积），让它跟着我一辈子。我后悔那天没有这样做。两周以后，我再次回到图书馆的老位置，翻来覆去走了几个来回，却没能找到它。今天上午，也就是又过了两周，我再次回去寻找，依然不见。我当时没有关注书名，只能零星地报出一些关键词，期待管理员能帮我找到它，或者告诉我它什么时候被借走了，但是毫无收获，也许那本书太难被关键词化了。它就这样和我失去了联系。

那本数学野史说，欧拉的人生大致可以分为三个阶段，其中在少年时期，他经常做梦。据说，这是大数学家的共有特质，因为数学这门学科就有很多神性，倘若一个人太谙熟于现实的逻辑和人事，那他身上的神性就会一点点减弱，直至消失，变为庸俗。做梦则可以通过打破现实的逻辑来时不时唤醒神性。欧拉是大数学家中的大数学家，自然神性颇多，起源就在于他少年时期经常做梦，甚至做得已经不知所以了，到了难以分清什么是现实、什么是梦境的地步。所以，在周围的人眼中，欧拉就是一个眼帘半张半合、嘴角印着口水，做起事情来浑浑噩噩，似乎随时准备从梦中惊醒的小屁孩;等到了老年，欧拉眼袋下垂，唾液的分泌有点不受控制，时常溢出，眼神也再次徘徊于梦醒之间，似乎生命又回到了原点。因为无欲无求，他就不再拥有梦境了，他整天坐在一张藤椅上回忆着少年时期的梦，梦里无穷的细节重新翻滚出来，他就开始在纸上写点什么东西。在两者之间，是时间漫长且具有质感的中年，那段时间，欧拉在数学上建树颇多，写了这样那样的数学书，每一本都足以让他名垂青史。可是鲜有人知的是，在研究数学之外，欧拉心中最想做的事情，是去一趟中国。

欧拉曾写下数学史上最重要的一个方程，那个方程的主角就是圆周率。通常，我们也赋予它一个松软的外号—派。每个方程都自有灵性，似乎被谁偶得也是冥冥中注定的，而之所以是欧拉写下来，就是因为他花了很长的时间思索，派到底是什么。对于普通人来说，派就是圆的周长除以直径，但除来除去竟得到一个无理数，小数点后面有无穷个没有规律的数字。既然是无理数，那么正如它的名字一样，没有什么道理可言，不必深究。但欧拉是一个大师，他企图写下这一串无穷无尽的、看似毫无规律的数字，去抚摸其内在的肌理，他觉得这是窥探上帝秘密的窗口。于是，他每天都在试图把派的精确表达往后推进几位。

一日晚饭后，欧拉照例在巴塞尔的街头散步，但是这一天，街上出现了一个来自中国的行脚僧人。谁也不知道这个僧人是怎么走到瑞士去的。总之他穿着袈裟在路上一边摆弄孔明锁，一边化缘。欧拉对孔明锁产生了兴趣，就和这个行脚僧人攀谈了起来。这个行脚僧人见到老外对自己国家的智力玩具感兴趣，就顺藤摸瓜开始大谈祖国在科学上的伟大成就。一开始，他说到蔡伦的造纸术和道家炼丹炉里的火药，这些欧拉都不感兴趣，欧洲的纸张和大炮已经很先进了;直到行脚僧人开始在地上画起了圆圈，说起中国在圆周率计算上的深远造诣，欧拉顿时来了兴致，让他展开讲讲。所以，行脚僧人开始说起祖冲之和圆周率的故事。瑞士身处欧洲多个国家之间，语言混杂，德、法、英语都行得通，欧拉说法语，可是行脚僧人的法语不太好，他只是在路上边走边学，勉强可以应付生活，对语法的结构还不了解，甚至不知道对于人名，应该音译而非直译。比如祖冲之，只要歪歪扭扭地说成“租冲志”就行，可是僧人开始一个字一个字地翻译这个名字，“祖”他翻成了祖先，“冲”在法语中也有对应的动词，“之”让他有点犯难，因为在中文里，之是一个指代词，他想了半天，将其翻译成了“它”。另外，中国他也不知道怎么说，只能说成中间的国。所以，欧拉听到的故事版本是这样的—中间国有一个叫祖冲它的人，利用割圆法，把圆周率算到了小数点后面七百多位。听罢，欧拉大受震撼，直至回到家里，他也想不明白，为什么有人可以用这么原始的方法把派算得如此准确。而自己则用着更加摩登的手段，每天稳定地将派往后推进，如今也只是到了小数点后的两百多位。他觉得在遥远的中间国，有一个祖冲它已经洞悉了趋向无穷秘密的方法。

第二天，欧拉又来到那个街头，想找行脚僧人继续探讨祖冲它和中间国，可是没有找到，之后的许多时间，欧拉经常在街上等待僧人，但他再也没有出现过。在漫长的等待中，求知欲本能似的在欧拉心里膨胀，他下定决心，要去一趟中间国，找祖冲它探讨圆周率的奥秘。可是因为行脚僧人只和欧拉匆匆见过一面，谈话的时间也不是很长，所以僧人还没有来得及告诉欧拉，祖冲之是中国人的祖先，在一千多年前就去世了;另外，行脚僧人在向老外介绍科研成果的时候，有添油加醋的成分，以彰显中国在科学上的建树。在历史上，祖冲之只是把圆周率算到了小数点后的七位。

总之，那件事情之后，欧拉就开始计划着远航去中国。那个时候欧拉正值壮年，是欧洲最富盛名的数学家，他有很多事情要做，比如说当教授，给学生上课;在数学杂志社审稿，并把成果都写成书;每天，他还要硬抽出一个小时，将一个无理数往后推进……无疑，欧拉是很忙的，但对于这一成不变的生活，他已经没有什么过多的想法，每天都像在圆上行走一样，周而复始。有时候，他不免希望有一把刀从这个生活之圆上豁开一條口子，让他逃离出去，哪怕是坠落也好。总之，在这个一成不变的轨道上，任何偏离都富有激情。关于圆周率那未知的一切，就是这份渴望的来源。所以，欧拉不介意放个长假，去中国和祖冲它聊聊天，而且他每一天都在切实地为去中国做准备。

起初，作为试探，欧拉在下班之后就去莱茵河边走走，碰到一些船夫，他就搭上几句话，等他觉得和船夫建立了一种相当肤浅的友谊之后，他就会突然说道，有时候，我会想去中间国，那里有个人叫祖冲它，很聪明。每次这个时候，船夫就停下手中的动作，带着诡异的微笑看着欧拉，沉默不语。因为没有一个船夫知道中间国在什么地方，要说哪个国家在中间，对他们而言，瑞士就已经很在中间了，更不用说让他们知道谁是祖冲它。所以他们出于礼貌，笑而不语。于是，欧拉就觉得瑞士的船夫知识面不行，因为身处欧洲的中间，没办法直接出海，导致船夫们没有走过国际航线，见识不免短浅了些，所以这种问题还是得找英国的水手讨论。

他也的确这么做了，那个时候，欧洲的学术圈近乎是一个整体，所以欧拉很轻易就获得了去英国交流的机会，或许不止一次，在这期间，他结识了一个真正的英格兰水手。用欧拉自己的话说，这个年轻的英格兰水手身上仿佛流淌着麦哲伦的血液，大海和探险是他生命的全部。欧拉将其视为知音，因为当他提到想去中间国看望祖冲它的时候，这位英国小伙子没有露出诡异的微笑，而是神情严肃地对欧拉说，很好！让我们看看怎么去。显然，这个小伙子也不知道中间国是什么，但是他相信大数学家欧拉。他们开始了分工，小伙子留在英格兰寻找，或者建造、或者联系人租借，反正无论用什么方式，去弄到一艘可以远渡东方的船只;欧拉则回到瑞士，把每天研究派的一小时分割成两块，拿出一块来研究世界地图，因为地球是一个球体，欧拉还需拿出许多几何学知识在一个球面上找出从一点到另一点的最短距离航线。

那本数学野史写到这里，出现了很多张插图，是欧拉和这个水手通信的影印图片。可以看得出来，他们每隔一段时间互相写信，报告各自的进展。在图片的旁边，也颇为体贴地给出了信件的中文翻译，在这些信件中，我可以感受到欧拉对这项宏伟的计划充满了信心，而且信心随着时间的推移，呈现出增加趋势。另外，他还里程碑式地推断出所谓的“中间国”应该是中国或者印度。但与此同时，来自水手那里的进展非常之少，他总是说快要准备就绪，但很少谈及什么实质性的内容。但大致的方案是这个水手将去借一艘船并雇佣一些短工型水手，因为正好要去东方的货商很少，不能恰好携带他们，所以欧拉和他只能自力更生。

在球面上找到最短航线还不算完，欧拉还有很多东西要准备，既然他想去和祖冲之聊聊圆周率，那他起码得多加练习，熟练使用祖冲之的割圆法，这样见了面才能有的聊。所谓“割圆法”其实很简单，甚至用原始来形容也毫不为过。就是用一个正多边形来近似地代替圆，三角形是最简单的多边形，但它的三个角还非常锐利，和圆一点儿也不像，六边形的角度则颇具钝感，看上去自然就圆滑了些。可以想见，等你画出一个正两百边形或者正一千边形的时候，几乎就成了一个圆。这个方法的好处在于，可以用一个更加敦实的多边形，来代替那难以捉摸的圆。但它也有缺点，正多边形实在是很难画，且难度随着边的数量增加而趋向极大。就这样，欧拉每天晚上都戴着老花眼镜画多边形，转动着一张几米见方的纸，一笔一笔重复着。重复的事情有时候也有一种魅力，一旦进入惯性之中，那种状态似乎可以一直延续下去。画着画着，欧拉时常感觉不到夜已经深了，自己的眼睛正无比酸涩，那一段时间里，他的视力下降很快，等他双眼朦胧着从书桌抬起头的时候，整个巴塞尔已经走进夜晚静谧的深蓝色之中。但他的心情沉入豁达的愉悦，仿佛做这件事情让他摆脱了时空的桎梏，若有似无地和祖冲它相连。同时，画得越多，他就越是敬佩这个远方的同行。因为纵使他不懈努力，画出了正六十四边形，正一百二十八边形，也只能把派算到小数点后的七位，欧拉觉得这已经是一种极限了。可他隐约之中感受到了割圓法背后更为宏大的张力，对欧拉来说，他所掌握的数学知识犹如精巧的工具，在绝大多数时候，可以帮助他轻松地接近答案，但想切实触碰到真理，则须抛去一切工具，质朴地思考，像僧侣一样打坐参禅，进而开悟。割圆法正是如此，所以，与其说祖冲它用这样简单的方法把派算到了七百多位，不如说他领悟到了七百多位。欧拉坚定地怀想，祖冲它一定比他更懂得那小数点后的无穷是怎么一回事。

除此之外，欧拉还是一个懂礼节的人，他觉得祖冲它将要给自己讲解圆周率了，那自己也不该空手去。他听说东方的数学知识非常匮乏，但欧拉并没有因为这个歧视东方，因为一个地方在科学上比较贫瘠，他们就很有可能从别的方向上获得更多的哲学，中间国的现代数学是不怎么样，但他们有着世界上最懂得圆周率的人。从出发前的几年开始，欧拉就着手写一份数学大讲义，这一份讲义涵盖了欧拉所懂得的全部知识。更重要的是，这份讲义从四则运算开始写起，也就是说，任何一个会加减乘除的人，都可以顺着那份讲义获得欧洲数学的一切，欧拉想把这份礼物带给祖冲它。欧拉确乎是很忙的，没人弄得明白他又从哪里抽出了这么多时间写这份讲义，但是他写的时候很畅快。对他来说，这个礼物不再是一个礼节，更是一种发自内心的期盼，就像一个孩子，迫切地想把自己看到的蜘蛛织网的画面告诉他的朋友，把这份知识传播出去。因为在欧洲，所有人都在期待着欧拉创造出新的知识或者发表下一篇论文，但却没有人愿意和他谈谈简单的圆周率。在无数个漆黑的夜晚里，欧拉将派向后推进了一个小时，等他放下钢笔，戴上眼镜，看见空荡荡的屋子重新变得清晰的时候，他就感到一阵孤独。所以他愿意花很多的精力，准备一份用心的礼物给祖冲它，因为祖冲它说不定能理解自己。用中国的话讲，黄金万两容易得，知心一个也难求。

等一切都准备好，站在伦敦的港口时，欧拉刚好五十岁。那个英格兰小伙子也已经成了英格兰中年人，带着七八个像流浪汉一样的人，在码头等欧拉。在他们的身后，是一艘让人找不到什么形容词的普通小船。可一个饥饿了很久的人看到食物就快乐了，并不管食物是什么。要去中国这件事，欧拉已经渴望了二十年。他一看见船也就乐了，别的东西都没太在意，拎着他的数学讲义和维生素C片就上去了。没过多久，伦敦消失在了视野之外，他们就置身于蔚蓝色的大海上，就这样，欧拉要去拜访一个他以为还活着，其实已经去世一千多年的;他以为把圆周率算到小数点后七百多位，其实算到七位的;他以为叫祖冲它，其实叫祖冲之的中国人。

欧拉的打算是从大西洋往南走，绕过非洲，再走个印度洋就到了。出发之前，欧拉就已经计算過，一路上什么时候该面向什么角度。即便如此，船上的生活对他来说绝对不能称之为好。欧拉作为一个数学家很在行，但是对于航海却是新手，加之他们的船又有些小，船越小在海上越是颠簸，所以当天晚上，他就被颠得有些神魂颠倒，吐个不停。这样的日子持续了将近一个月，那个英格兰人掌握着船舵，就按照欧拉的计算结果开船，而欧拉的大部分时间，就是扶着栏杆呕吐。也正是由于他的绝大多数时间都在煎熬中度过，海面上偶得的片刻宁静会让他感觉格外美好。每当宁静降临，欧拉就捋捋自己因为疲惫而邋遢的头发，端一张小椅子摆在船尾，娴静地坐在上面看四周重复透明的水波。正如雄浑的自然风光常常给闭门论道的人某种启示，眼前没有尽头的海面也让欧拉感到深邃。作为一个数学家，他常常要和“无穷”打交道，比如一个假想的无穷大的数字。可是那一刻，欧拉觉得曾经遇到的那些无穷有点儿纸上谈兵，无尽的海面才是切实可感的。但这偶然的领悟又立马幻灭在疑惑之中，因为他又走火入魔似的想到了派。诚然，派是一个约等于三的数字，自然是有限的，可是在小数点之后，无限个数字会缀连出去，仿佛一条没有尽头的小径，欧拉越来越不明白，这个有限的数字里蕴藏的无穷究竟会把他带向什么地方。

一个月之后，欧拉才习惯了颠簸，不再晕船，但也出现了新的问题。因为每天吃饼干和腌香肠，欧拉有点屙不出屎来，整个人好像被软木塞塞住了，面色蜡黄，失去了思考的能力。终于，在将近两个月的时候，他们在船上看见了岸，据欧拉出发前的计算，这应该是非洲的最南部，再过去就是印度洋了。所有人都兴奋不已，终于可以靠岸吃点乱七八糟的非洲水果通通便了，可是等他们真的靠岸的时候，欧拉再一次感到震惊，因为那地方分明还是伦敦。后来，欧拉查了一些资料，因为地球的自转作用，北半球所有移动的东西都会右手边转弯，你要是每逢一个路口就右转，那自然是要回到原点的。这个物理知识其实欧拉之前也知道，有经验的水手会在移动时预留一个偏转的角度，可是他毕竟没有经验，计算角度的时候就把这一茬给忘了，等他想明白已是后话。那天他上了岸，吃了两碗蔬菜沙拉，找了面镜子，看到自己头发干枯，面容黄瘦，无限的疲惫涌上心头。总之，人老了经不起折腾，再加上知识分子本就是一个有软弱性的阶级，所以当那个英国小伙再问欧拉，咱们还去不去中国的时候，欧拉摇了摇头。

人生常常会因为某一件事而使结构发生根本性的变化。对于欧拉，就是那次航海。此后，欧拉总是给自己心理暗示，自己的人生和一个圆联系在了一起，仿佛在圆上行走，无论怎么样都要回到原点。从英国回到瑞士之后，不知道是不是因为长期吃腌制香肠的身体还没有缓过劲来，欧拉明显觉得自己老了，做什么都有点力不从心。他渐渐推却了一些学术的任务，花更多的时间静坐在家中的书桌前，加之有了那样的心理暗示之后，他的内心就时不时回忆少年，而且这份回忆非常用力。欧拉以前每天花一小时研究派，是为了每天都把派的精准数字往后推动三四位，现在欧拉每天花更多的时间回忆往事，是为了每天都把这份回忆推向生命的原点。这么做，仅仅为了一个宿命论式的暗示而已，聪明的人有时候就是这样倔强。

于是，故事又要回到欧拉的少年。少年欧拉的梦，内容相当丰富，而少年的心思又还很纯净，没有欲望来把梦弄得紧张兮兮的，所以欧拉做梦的时候就好像在溪中漂流，洒脱自在。普通人之所以可以区分梦境和现实，是因为我们每天只做几分钟的梦，却要面对十几个小时的现实，所以我们了解现实胜于了解梦境，现实是可以触摸的，梦境则超乎逻辑又难以捉摸。可欧拉不一样，他每天做梦十二个小时，醒十二个小时，弄不清梦境和现实孰轻孰重，有一次，他在梦中从一个干草垛上一跃而下，轻盈地落在地面上，下一秒钟他就醒了，发现自己躺在一个干草垛上，便一跃而下，摔得骨头都差点散架。从此以后，欧拉变成了一个胆小鬼，做什么事都战战兢兢，分不清什么能干什么不能干。因为梦做多了，他的脑子里难免有太多互相矛盾的逻辑交织在一起。这种情况到中年才有所好转，人到中年，就变得务实，添了诸多世俗的欲望，梦就渐渐变少，与现实分离了出来。甚至可以说，梦境几乎失去了位置，仿佛一片枯叶被封存了起来，欧拉开始生活在切实的现实之中。可是如今，老年的欧拉开始回忆少年，情况就再一次恶化了，他一回忆就陷入了少年时代梦和现实的暧昧里，分不清彼此，欧拉的世界，再一次混沌了起来。

在欧拉生命的后十几年里，他的脑子里只有三样东西：少年时的梦境;少年时的现实;和老年时对少年的回忆，这份回忆里既可能有现实也可能有梦境。总之，这三件东西像一个口香糖一样被欧拉在脑子揉来揉去，越揉就越软乎，越是黏在一起。当他多回忆出一个梦境的时候，他就觉得自己朝生命的原点多进了一步，但这也有坏处，因为所有的东西都相应地增加了一份。回忆出一个梦，首先意味着回忆变多了，其次意味着少年时的梦境多了一个，既然多做了一场梦，那就不可避免要多出来一个白天，于是过往的现实也就多了一份。当欧拉低垂着眼皮，坐在大椅子上一点一点回忆的时候，他发现意识就三点三点地增加，脑子里如同冒出来一个万花筒。可是欧拉不在乎，他想要的就是走了这生命的一圈之后，让自己的终点和原点缝合起来，成为一个自己一生都在为之思索的圆形。可当回忆变得芜杂如一个废弃的花园，老去的欧拉开始不堪重负。终于，他开始明白，追求一个圆，注定是一场徒劳。就像追求派的精确表达一样，这件事是不可能有结果的。因为圆之所以特殊，正是因为它是一个概念，一个于存在之前就被人构想出的完美图形。那么，一个纯粹的概念就注定永远无法成为实体，就好像梦中情人出现在眼前就要打些折扣一样，就算用圆规画出圆来，受限于铅笔颗粒的有限大小，那还是一个精细的多边形赝品而已。同样的道理，倘若想用数字去描述它，那也只能退而求其次，用无穷的小数来近似地代替。

老年有很多坏处，容易弯腰、疲惫、力不从心，但也总有好处，就是变得通透了。欧拉想到这里，并不沮丧，反而觉得心底逐渐明亮。他想通了，只要存在于这人世间，就不可避免地存在枷锁让人不自由，不完美，就像铅笔的笔尖再小，也不能无限小，故而画不出一个完美的圆，也像自己，准备了半生，也还是走不出大西洋。越是这样，欧拉就越笃信数学的意义，因为如果说还有什么东西绝对自由，那就是人的思想，在思维的游戏之中，人能御风而行，了无挂碍。如果生命真的是一个圆圈，那回忆出一个梦境，意识里就构成一个三角形，两个，就是六边形，这一场分割可以无穷无尽，再也没有限制，那么如此说来，所谓的割圆法只有在大脑中才可以无尽地进行，逼近完美。这个时候，梦是什么已不再重要，就像古人结绳计数一样，只需要一个记号来标记割圆法进行的次数。这个记号可以是古人的一段树枝，可以是干部竞选时画的“正”字，数学家则风雅得多，他们喜欢用加号，分数线和根号。所以，圆周率的精准表达，应该是加号后面还有加号，分数之中还有分数，根号里面套着根号，无止尽地写下去。欧拉的确做到了。那本书的最后，整整几页纸，就写下了老年欧拉给出的派的表达式，每一个公式都占满了一页，当然，在纸张之外，它们还将无穷地递归下去。

老年的欧拉坐在书桌的旁边，因为疲惫而睡眼惺忪，午后的阳光伴着莺歌燕语透进玻璃窗户，洒在他的身上，而他沉浸在童年纯净的梦境和现实里，一片朦胧。他手中的笔似乎下意识地在纸上画着一个又一个记号，将派表达了出来。等他从回忆中轻轻探出头，看见自己面前的纸上写着这样一个奇怪的公式。他又想起了遥远的中间国有一个祖冲它，他很想把这个公式告诉他，和他说，你的割圆法虽然看上去粗糙，但真是一个最好的方法啊。我在那本书上看到过那些公式后，常常揣摩，当一个老人看到自己的面前摆着这样一串梦幻的符号的时候，心情会是幸福还是惆怅。

故事写到这里也就结束了，没有什么特别的情节和跌宕起伏。也许这就是野史吧，野史之于正史，就像是后宫里多出一个妃子一样，多一个少一个其实是一样的。对欧拉来说也一样，他可以怀想祖冲之，怀想遥远的中国，甚至可以短暂地出海，但是却不能真正到达。因为一到达，就不得了，中国扎着辫子的学者们就会看到欧拉的数学讲义，搞不好清朝就成了科技大国，那历史可就对不上了。所以野史很暧昧，它大多关于一些不显山露水的心思，用欧拉的话说，如果还有什么东西是真正自由的，那就是一个人的思想。

最后，那本数学野史写到少年欧拉的梦境时，批评了一些别的书，因为其它书都强调，欧拉写出了很多梦幻的公式，公式都是在梦里得到的，回忆起来就记录了下来。关于这一点，我和那本数学野史都不同意，一个少年做梦的时候突然梦到一片乳白，上面还要冒出一个大公式，公式里根号套根号，这是一个多么惊悚的梦！倘若我一年级的时候做了一个这样的梦，那我就再也不会喜欢做梦了。

（责任编辑：胡携航）

高桑，江苏张家港人，生于1998年4月，于上海交通大学李政道研究所攻读物理学博士学位。2020年获得第六届青春文学奖长篇奖，曾发表小说于《青春》等。