初中数学教学中数学抽象素养发展的途径探究

吴淑娟

[摘  要] 数学是一门高度抽象的学科，在面向初中学生进行数学教学时，抽象往往意味着一对矛盾：从数学学科的角度来看，正是因为抽象，数学才能用最简洁的语言与符号去描述最复杂的规律;从学生学习的角度来看，也正是因为抽象，学生才感觉到数学难学. 数学抽象素养的发展路径概括为：结合具体的教学内容，研究学生的生活经验，选择与学生生活关系密切的素材作为课程资源，让学生在数学抽象的过程中，通过对数与形及其关系的研究，得到与学习内容相一致的数学认识，且最终能够用数学语言将这种认识表述出来.

[关键词] 初中数学;数学抽象;数学抽象素养;发展途径

不可否认的一个事实是，数学是一门高度抽象的学科，数学所研究的数与形都是十分抽象的. 在面向初中学生进行数学教学时，这种抽象往往意味着一对矛盾：从数学学科的角度来看，正是因为抽象，数学才能用最简洁的语言与符号去描述最复杂的规律. 事实上，小到一个人的生活，大到国计民生，都可以用各种各样的数学模型去描述，而这正是数学抽象的最终产物，学生学习数学的过程本就应当是一个体会数学抽象的过程. 从学生学习的角度来看，也正是因为抽象，学生才感觉到数学难学. 初中学生的思维方式多数以形象思维为主，在面对抽象的数与形时，学生思维加工出现困难几乎是必然的事情. 通过这样一个矛盾的分析就可以发现，在初中数学教学中，数学教师的一个主要任务就是协调好这个矛盾，既要让学生认识到数学必然是抽象的，又要让学生体会到数学学习过程不完全是抽象的. 从形象到抽象，应当是建立数学概念或规律的一个基本途径，而这本身就是一个数学抽象的过程. 当前的学科教学强调培养学生的核心素养，数学教学当然就是为了培养学生的数学核心素养. 有人将数学核心素养界定为“学生通过学习要逐步形成的正确价值观念、必备品格和关键能力”. 在数学学科核心素养要素中，数学抽象名列第一，从某种程度上讲，数学抽象实际上是数学学习的一个重要基础，因此数学教师要想方设法去发展学生的数学抽象素养，而这显然离不开一个具体的途径.

数学抽象是初中数学教学的重要内容

什么是数学抽象？从科学定义的角度来看，数学抽象是对空间形式和数量关系的抽象. 这样一个定义与数学学科的基本特征是吻合的，因为数学教学原本就是研究空间形式与数量关系的，而对这两者的研究过程都是从形象走向抽象的过程. 一般认为，数学抽象大体经由简约阶段、符号阶段、普适阶段等三个基本阶段形成. 数学抽象是抽象的下位概念，以教学形态出现的数学抽象，遵循数学抽象的一般规律，同时又具有实物抽象、半符号抽象、符号抽象和形式化抽象四种表现形式. 这样的界定超越了一般的经验层面，对于数学教师可以引导其从经验走向学术、走向智慧，同时也为数学抽象的具体教学提供了数学学科前提和思维训练的教育基础.

数学抽象是初中数学教学的重要内容，是总“阀门”. 这既是因为数学抽象是数学学科核心素养的重要组成要素，也是因为在学生数学学习的过程中，首先就是通过它去触摸数学学科本质的. 如同上面所指出的那样，数学抽象体现着数学学科最基本的特征，如果离开了数学抽象去谈数学学习，那么无异于构造空中楼阁.

与此同时，学生学习数学，除为了积累数学学科知识外，还为了发展自身的能力、提升自身的学习品质，就是新课程改革中所强调的“用数学教”. 那么能力与品质怎样得到提升呢？这就需要教师给学生创设一个能够体验数学抽象的空间，当结合具体的数学知识生成过程，让学生体验数学抽象时，学生眼中的“事物”就会抽象成“数”或“形”，“事物之间的联系”就会抽象成“数的关系”或“空间‘形’式”. 如果能真正达到这个目的，那么数学抽象素养发展的途径也就清晰了.

数学教学中数学抽象素养的发展路径

从学理的角度来看，数学抽象可以理解为数学的基本思想，是反映现实世界中事物的本质、关系和规律的基本方式. 由于抽象的过程必然会剥离一些无关要素，只会留下与核心、本质相关的要素，因此数学抽象在形成人的理性思维、科学精神和促进个人智力发展的过程中发挥着独特的、不可替代的作用. 结合上述分析，可以将数学抽象素养的发展路径概括为：结合具体的教学内容，研究学生的生活经验，选择与学生生活关系密切的素材作为课程资源，让学生在数学抽象的过程中，通过对数与形及其关系的研究，得到与学习内容相一致的数学认识，并且最终能够用数学语言将这些认识表述出来.

例如，在“轴对称”这一内容的教学中，笔者注意到教材中通常会列举一些自然景观、艺术作品、建筑物、交通标志以及生活中的常见物品等，然后对这些例子具有的对称特征进行分析. 分析教材这一设计思路，对教师的启发就是：教学前，要找学生熟悉的、能形成良好的直觉感知的例子进行教学设计. 考虑到学生在生活中本身已建立起了对“对称”的初步认识，因此笔者教学设计的第一个任务就是：请学生结合自己的生活经验，寻找具有对称特征的事物.

事实证明，初中学生对这个任务非常感兴趣，他们会将目光投向自己的生活，投向自己眼前所看到的事物，然后就能指出很多鲜活生动的例子，比如人的外表、人的脸、黑板、长方形白纸、一双鞋、一副手套……这些例子可以说是五花八门. 这里有一个非常重要的有价值的细节，那就是学生在指出这些例子时，会自发地进行讨论，而讨论又伴随着一个去伪存真的过程. 比如有学生指出“衣服”的例子，就有学生提出有些衣服是“不对称”的. 这实际上是一个拓展，意味着学生在大脑中同时加工对称与不对称两种事物.

这里加工的既是一个数学抽象的过程，又是一个对比的过程，学生会下意识地将所举出的例子进行简化——这实际上就是去除非数学元素、留下数学元素的过程，也就是一个数学抽象的过程. 抽象到最后学生大脑中留下来的是简化后的“形”，而通过对比又可以发现，这些“形”有的是对称的，有的是不对称的. 这时教师就可以追问：你判断对称或不对称的依据是什么呢？这实际上就是将学生的直觉感知转化为数学思考的过程，也伴随着高度的数学抽象. 学生依然会通过抽象与对比，结果发现：生活中常说的对称也就是对折后能够完全重合，而不对称就是对折后不能够完全重合. 要知道这只是学生在数学抽象后运用自己的语言进行的概括，而这个概括事实上已经高度接近于数学的轴对称定义. 这也说明了上述学习过程是高效的！

在核心素养的背景下审视数学教学

很多的事實也确实能够证明，只要给学生一个充分的思考空间，让学生的思维有足够形象的事物进行加工，再加上数学问题的驱动，那么学生在这样的一个过程中，无论是有意识还是无意识，最终的学习过程与结果都会走向抽象. 因此从这个角度来看，初中学生的数学学习过程，对数学抽象的经历有着必然性.

数学抽象作为数学学科核心素养的第一个组成要素，所体现出来的是其基础性地位. 而今天的初中数学教学，显然要在核心素养的背景下进行思考. 作为教师，既要寻找到有效的核心素养的培育途径，又要根据学生的学习结果结合核心素养要素进行评价. 因此在核心素养的背景下审视当下的初中数学教学，应当意味着一些重要的变化必然会发生. 以数学抽象为例，教师就不能替代学生的思维与努力，而应当让学生去经历一个充分的数学抽象过程. 大量的教学经验表明，只要学生有了这样一个空间，能够经历这样一个过程，那么养成数学抽象素养就是有保障的.

总体而言，教学抽象实际上体现了人类活动的最基本的特征. 无论是从教学的角度来看，还是从教学研究的角度来看，初中数学教师都要从数学抽象的背景、产生、内容、方法和形式等方面探究数学抽象活动的过程与结果、形式与实质之间的思辨关系，而这正是深化数学教育理论研究的需要. 面向学生的数学学习，只有满足了这种需要，才能让初中数学教学真正置于核心素养的培育环境，才能为初中数学教学开辟出一条新的途径. 这条途径的一端连接着当下的初中数学教学，另一端指向数学学科核心素养的落地. 笔者对这条途径的探索才刚刚迈出第一步，以上只是为数学学科核心素养中的数学抽象的发展做了最初步的探究，对于初中数学教学同行，希望能够起到抛砖引玉的作用.