“思”与“行”的桥梁

“思”与“行”的桥梁

——利用画图策略解决实际问题

江苏省南京市江东门小学 谭秋萍

【摘 要】“画图策略”在小学阶段应用较为广泛，其作为解决问题的一个重要策略贯穿于整个小学阶段的数学学习。数学是逻辑性和抽象性较强的一门学科，在小学阶段，学生的形象思维占主要地位，画图策略作为解决问题的策略之一，在数学教学过程中起着关键性作用。

【关键词】画图策略 解决问题 小学数学

几何直观作为新课程标准中的关键词之一，主要是指利用图形描述和分析问题。在数学学习的过程中，注重学生几何直观能力的培养至关重要。新课程标准有关课程基本理念中提到“学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程”。这恰恰与几何直观提到的理念不谋而合。小学阶段为学习提供的素材丰富多样，旨在激发学生的学习兴趣，让学习变被动为主动。学生的学习是一个递进的过程，在这一过程中学生的抽象能力需要逐步地提升并着重地进行培养，使学习不仅仅平面化。学习是一个生成的过程，学生通过数形结合，可以将抽象、难以理解的问题直观化。

通过画图策略能够有效地将复杂的问题简单化、烦琐的文字图像化、抽象的语言直观化，帮助学生理解问题的实质并成功地解决问题，从而获得学好数学的自信心。在教学过程中应渗透画图意识，培养学生的画图习惯，让画图策略成为学生学习的好帮手。笔者希望通过画图策略，让学生的思维插上“翅膀”。

一、当前画图策略的教学与学习现状

传统的教学方法过度追求教学的“效率”，让学生进行题海训练，忽视教学的过程，更多地关注到学生学习的结果，这大大地背离了新课程改革的标准，教师的教学理念产生了偏差。在传统教学的影响下，产生了以下几个方面的影响：

1.学生主动画图的意识薄弱

学生在解决问题的时候往往喜欢看着题目空想，即使遇到条件复杂的问题时，也只是通过多读几遍题目来帮助自己理解题意。只有在遇到要求作图的题目时，学生才会根据题目要求进行画图，这样的学习存在着驱使性，这其实与教师的教学方式有很大的关系。教师在教学生解决问题时经常就题论题和就图论题，很少将问题与图形进行实质性的联系，整个教学过程并没有真正地让学生体会到用图形解决问题的便捷，从而导致学生画图的主动性得不到提升。

2.教师渗透画图意识观念不够，忽视画图能力的培养

学生是发展中的人，在发展的过程中需要教师进行正确的引导。实验调查数据表明，部分教师在教学时并未真正地了解学生现阶段的现实学习水平和理解能力，常常按照自己的经验教授新知。尤其是在解决问题时为了“节省”时间，直接给出学生解决问题的最佳方法，表面上避免了学生解题时“绕弯道”，实则忽略了学习过程的重要性和学生的长期发展。

在低年级阶段，教材在解决实际问题时会给出题目中各个条件之间的示意图或线段图，此时教师就可以引导学生将问题和图形结合起来理解题意并渗透数形结合的思想。教师教学时要有渗透画图解决问题的意识，在学生解决问题前给课堂留空，给学生留有自主的时间和空间，让他们多次尝试寻求解决问题的途径，学生在尝试过程中体会到画图策略的益处，从而培养了画图能力，这也是学生的直观能力向抽象能力过渡的重要过程。

3.忽视画图策略的阶段性教学

画图策略的应用体现在小学各个阶段，根据学生的年龄特点，新课程标准在这一领域给出的教学目标有着明显的差别，下面分三个阶段进行阐述。

低年级阶段要求学生掌握初步的识图和画图技能。教材内容的设计多以实际物体、图形和简洁的文字为主，学生能够根据给出的图形或条件直接解决问题，这个阶段的内容对学生的逻辑推理能力和抽象能力要求不高，教师可以渗透画图策略，但不做过多的硬性要求。中年级阶段要求学生在物体中抽象出几何图形，在稍复杂情境中学会用画图策略将问题中的条件用线段图或示意图表示出来。譬如，间隔排列问题、鸡兔同笼问题、简单的行程问题等，通过画图，学生很容易理清各个条件之间的联系并掌握这类问题的解题技巧。高年级阶段，对于学生的数学逻辑能力和抽象能力的要求有所提高。譬如，在分数问题、比例问题和量不变问题等问题中要注意画线段图的练习，为成功解决复杂的实际问题做好铺垫。

二、结合画图策略，创新教学方式

数学课程标准中明确提到：“借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。”学生是独立的人，发展具有个性化。传统的教学方式无法满足学生个性化发展的需求，因此教师要根据学生的年龄特点、学习的特点，与时俱进地创新适合学生发展的教学方式。画图策略作为解决问题的重要策略，将抽象的文字直观化、复杂的问题简单化，不仅激发了学生的学习兴趣，还让课堂生成更加多元化。

1.数学问题意识，渗透画图策略

在小学数学学习阶段，对于学生数学问题能力的培养提出了相应要求，这就要求教师结合画图策略培养学生的问题意识，从而提高学生在实际生活中解决问题的能力。低年级阶段的学习，画图策略主要体现在给出的图形和线段这种问题情境中，实际教学中教师其实可以潜移默化地引导学生用自己喜欢的图形表示问题中的事物。譬如，低年级教学里的一道题目：一支队伍的小朋友排成一排，小明的左边有5人，右边有3人，这支队伍有多少人？在这样的题目里，抽象能力较强的学生会直接想到算式5+3+1，但抽象能力较弱的学生只能想到5+3。如果教师只是反复强调还要加上小明这个人，大部分抽象能力较弱的学生只是学会了这一题，并不能真正領悟这类数学问题。教师可以适时地提出：“你有什么办法让大家一眼看出这支队伍有几人？”有了数学问题意识，学生通过小组合作交流汇报自己的想法时，最终呈现用一个“○”表示一个人，小明是涂黑了的“○”，左边5个“○”，右边3个“○”，一共5+3+1个“○”。这时，再让学生将问题和图形进行联系，抽象能力较弱的学生理解起来会更加透彻。在接下来的学习里，当遇到“一个队伍的小朋友排在同一条直线上，小明从左边数排第6个，从右边数是第4个，这一队有多少人？”这道题目时，大多数学生很容易想到用画图策略解决问题，极大地避免了是否需要“+1”还是“-1”的情况。

画图策略将文字和图形通过数学问题巧妙结合，极大地激发了学生的学习兴趣并提高了其解决问题的能力，也增强了学生的问题意识。对于数学问题的解决方法，教师要结合学生的实际情况安排和设计，通过培养数学问题的意识让学生感知画图的直观性，同时初步建立数学模型思想。

2.分层递进，养成画图的习惯

著名数学家华罗庚说过：“数无形时不直观，形无数时难入微。”画图策略在学生学习和教师教学的过程中符合教育学、心理学的原理，数学的教学设计是一个符合儿童的年龄特点、学生的认知发展水平和学生心理特征的阶段性过程。学生在不同的年龄阶段存在着明显的差异性，因此，教师要根据学生的年龄特点在画图策略的教学过程中分层递进。不同的学生之间也存在差异，这时有层次性地指导不同学生运用画图策略解决实际问题尤为重要。在小学阶段，画图策略符合小学生的认知发展水平，通过具体形象的图形描述复杂抽象的文字，更能提高学生的数学素养以及解决实际问题的能力。

苏教版数学一年级上册第一课时的“数一数”，是学生进入小学的第一课。本课时的例题是游乐园的一角，丰富多彩的生活情境符合刚入学学生的年龄特点，接着引导学生用一个圆表示一个物体，这是示意图表示各类事物的第一次应用。处于第一阶段的问题解决多采用画示意图的方法，例如排队问题、锯木头问题和简单的分数问题。排队问题前面已经提到，这里不再过多说明。锯木头问题实际是间隔排列中的一种，即一一间隔排列，学生如果只是记住结论“一一间隔排列，首尾相同，两边比中间多1;首尾不同，个数相等”，在遇见变式题型时就无从下手。这一阶段通过画图解决问题相较于记住生硬的结论，更令人感兴趣且更容易被学生接受。在比较分数大小的教学中，比较和的大小时，学生容易认为2<3，导致错误判断<，这是学生刚接触分数这部分知识时出错率较高的类型，也是教学的重点。解决这一问题最好的方式是让学生动手操作、直观感知。教学时可以通过画两个同样大小的圆表示一个整体，将一个圆平均分成2份，其中的1份是，再将另一个圆平均分成3份，其中的1份是，这时根据直观的图形去比较，学生一眼就能看出这两个分数的大小，最后将图形与分数进行联系并结合分数的意义理解几分之一的分数比较大小的方法。

学习是一个持续发展的过程，学生的各项能力在每个阶段都有相应的发展，学习中的很多问题可以通过画图的方法解决，教师在设计这些问题时要分层递进，潜移默化地渗透画图策略，让学生养成画图的习惯。

3.注重画图策略的评价，培养学生画图解题能力

教师教学时不仅要有渗透画图策略的意识，还要在学生应用画图策略的同时加强对学生画图能力的评价。评价可以是语言、手势，也可以是眼神的表达，恰当的评价可以激发学生画图的意识，从而培养学生通过画图策略解决问题的能力。同时，评价不仅仅是教师对学生的评价，还可以是小组互评、学生互评、自我评价。评价可以帮助学生树立学好数学的自信心，也能促进学生积极地发展。低年级阶段的示意图教学，在学生以每5个一排或者每10个一排的顺序画示意图时给予肯定的评价，不仅无形中规范了示意图的画法，还培养了学生有序画图的能力。

三、画图搭桥，拓展学生思维

学生在学习的过程中，对于知识的认知和理解，需要经历一个从“外化”过渡到“内化”的过程。运用画图策略旨在提供解决问题的途径，让学生遇到难题时能有策略，进行思维上的突破。在“锯木头”的问题中，学生对段数、次数和时间之间的关系容易混淆。抽象能力较弱的学生基本只能靠运气解决这类问题，这时画图策略的应用就能很直观形象地将抽象的文字用示意图的形式呈现，极大地帮助学生理清锯木头问题的解题思路。笔者在任教三年级时，初步进行了本班学生对于往返问题的画图策略调查，班级学生在二年级开始就已经接触过这类问题，通过平时教学时的渗透，学生会简单地用带有箭头的直线表示“来回”。例如，一个游泳池长50米，小明游了3个来回，小明一共游了多少米？初次教学时给足学生思考的空间，再进行小组讨论和集体汇报交流，学生中教师很少出现50×3的错误情况，并且在这个问题情境中，教师展示了学生的解题方法并出示如下示意图（图1表示“1个来回”）。

这类型问题情境中示意图的教学和渗透能最直观、形象地让学生清楚往返问题。三年级上册“两位数、三位数乘一位数”中有一道思考题：小欣家离学校850米。一天早晨，她从家去学校上学，大约走到总路程的一半时，发现忘记带数学书了。于是她回家去拿书，再去学校。这天早晨小欣上学大约一共走了多少米？笔者任教的三年级班级一共有35名学生，根据学生解决这道题的情况调查知道，23名学生读完题后直接画示意图（图2），6名学生在提示后选择画示意图，4名学生直接列式计算，理解能力较弱的2名学生在汇报交流时通过示意图能理解题意并正确列式。通过画图策略的学习，学生的直观能力逐步向抽象能力过渡。

四、画图策略，激发学习兴趣

布鲁纳说过：“最好的学习动机莫过于学生对所学材料本身具有兴趣。”小学教材内容的设计都是以生活实际情境为例题，激发学生的学习兴趣。低年级的教材内容更是以图片为主、文字为辅的形式呈现教学情境。笔者任教一年级时观察到学生爱涂爱画，对图形类题型很感兴趣并且积极主动地依照例题给出的画图方法解决问题。学生遇到文字较多的题目时，首先产生的是畏惧心理，还没有读完题目就觉得自己不会。在复杂的问题情境中，学生通过画图策略将题目中的条件进行梳理，将抽象的文字变为直观的图形，数形结合，大大地降低了问题的难度并提高了解决问题的能力。学生的学习是一个可持续性发展的过程，学习的兴趣是学生最大的动力。

五、结束语

数学的学习是一个长期而复杂的过程，学生是完整的人，只有在不断的学习过程中才能成为全面发展的人。在数学教学过程中，教师可以潜移默化地渗透画图策略的思想，从而培养学生画图的能力。

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