基于人口流动的COVID-19传播动力学模型研究∗

郭文丹，聂麟飞

(新疆大学 数学与系统科学学院，新疆 乌鲁木齐 830017)

0 引言

新型冠状病毒肺炎（Corona Virus Disease 2019,COVID-19）是一种传染性极强的多宿主传染病,其病原体不仅可以在野生动物中长期存活并造成动物之间的传播,也可以通过野生动物传播给人类.利用数学模型预测疾病的流行趋势对评估公共卫生和制定防控策略有着重要的意义.目前,新型冠状病毒肺炎流行病学模型的研究引起了国内外众多学者的广泛关注,得到了一系列重要的研究成果[1-4].众所周知,从新型冠状病毒被发现到疫情在全球各地暴发,人口的流动起到了推波助澜的作用.事实上,许多传染病在传播过程中,染病者从一个地区到另一个地区的迁移也加速了疾病在各个地区之间的快速蔓延.因此，在过去的几十年里，众多国内外学者建立了具有人口迁移影响传染病的模型,讨论了人口迁移对疾病传播的影响.例如,文献[5]提出了一类包括感染个体迁移和可变人口规模在内的疾病传播模型,研究了地方病平衡态的存在性与稳定性.文献[6-7]提出了具有种群迁移效应的两斑块传染病模型,给出了基本再生数的表达式,并讨论了迁移率对疾病消除和流行的影响.进一步,文献[8]系统地给出了斑块环境的传染病模型基本再生数的第二代矩阵方法.对于斑块迁移模型的研究还有一系列重要的成果[9-10].基于目前新型冠状病毒肺炎在世界各地区不断蔓延，人口流动的不断增加以及无症状感染者的不断涌现,本文提出了具有人口迁移和无症状感染者的两斑块COVID-19传播模型,研究模型各类平衡点的存在性与稳定性,探讨防控措施对疾病流行的影响.

1 模型建立

根据COVID-19的主要流行病特征,将两个区域的人群分为以下五类:易感人群、无症状感染人群、有症状感染人群、隔离的人群和康复人群,他们在t时刻的数量分别记为Si(t),Ai(t),Ii(t),Qi(t),Ri(t)(i=1,2);将媒介分为两类:易感媒介和染病媒介,它们在t时刻的数量分别记为Sv(t),Iv(t).假设在第一个斑块上,COVID-19不仅在野生动物间传播,也通过野生动物传播给人类,同时病毒也在人与人之间传播;而在第二个斑块上,考虑到区域的差异性,病毒仅在人与人之间传播.进一步,假设两个斑块之间仅考虑单向迁移,即斑块1的人群会向斑块2迁移.根据以上假设,建立如下常微分方程模型

模型其它参数及生物解释如下:Λi和Λv分别为人类和野生动物的补充率,µi和µv分别为人类和野生动物的自然死亡率,βvh为病毒从感染野生动物到易感人类的传播率,βvv为病毒从感染野生动物到易感野生动物的传播率,βi为病毒从无症状感染者到易感人类的传播率,piβi为病毒从有症状感染者到易感人类的传播率(0

是模型(1)和(2)的正不变集.本文主要在Ω区域内研究模型(1)和模型(2)的动力学性质.

2 无迁移模型的无感染平衡态的稳定性

为确保疾病的消除与初始状态无关,需要验证无感染平衡态E01是全局渐近稳定的.目前,统计数据表明,大部分易感者被COVID-19感染后都会经历无症状感染期,且在无症状阶段具有一定的感染力.下面的结论给出了κ1=0时无感染平衡态E01的全局渐近稳定性.

因此,若R01<1,则dV(t)/dt ≤0,且{E01}是{(S1,A1,I1,Sv,Iv)∈Ω|dV(t)/dt=0}中最大的不变集.由LaSalle不变原理[12]可知,E01在Ω内是全局渐近稳定的.

对于模型(2),如果不考虑迁移效应对疾病传播的影响,即,m=0,类似于模型(1)的讨论,模型(2)的基本再生数为

类似于定理1和2的证明,有下面的结论.

定理3若m=0且R02<1,则模型(2)的无感染平衡态E02(Λ2/µ2,0,0,0,0)是局部渐近稳定的,R02>1,则不稳定.

定理4若κ2=m=0且R02<1,则模型(2)的无感染平衡态E02是全局渐近稳定的.

3 无迁移效应模型的地方病平衡态的稳定性

由于地方病平衡态的表达式相对复杂,这就导致在验证特征方程的根都具有负实部时的阈值条件下很难验证.虽然这个工作可以借助数学软件来完成,但是整个过程过于繁琐且得到的条件很难验证.因此,此处仅讨论κ1=βvh=0时模型(1)地方病平衡态的稳定性.

因此,由Routh-Hurwitz准则可知,当R01>1时,特征方程H2(λ)=0的所有特征根均具有负实部.进而,特征方程(5)的所有特征根均具有负实部.即,模型(1)的地方病平衡态E1*是局部渐近稳定的.

关于模型(1)中疾病的一致持久性有下面的结论.

定理6若βvh=0且R01>1,则模型(1)是一致持久的.即,存在正常数ε,使得liminft→∞(S1(t),A1(t),I1(t),Q1(t),R1(t),Sv(t),Iv(t))≥(ε,ε,ε,ε,ε,ε,ε).

证明由模型(1)的第一个和第六个方程可知

4 全系统的稳定性分析

定理11若R01>1,全系统(1)和(2)是一致持久的.

注定理11表明,如果高风险地区的疫情得不到控制,那么要么彻底阻断高风险地区向低风险地区的人口流动,要么对高风险地区的流出人员进行必要的筛查和隔离措施,把牢外防输入关口.

5 数值模拟

为了解释主要的理论结果,探讨防控措施的有效性,我们给出相应的数值模拟,这里使用四阶的Runge-Kutta方法和数学软件MATLAB进行数值模拟.选取模型的基本参数为

直接计算基本再生数为R0=0.93<1,此时染病人口和染病媒介的数量均趋于零,即无感染平衡态E0是局部渐近稳定的,如图1左图所示.而当R0=14.878 6>1,图1右图表明地方病平衡态是局部渐近稳定的.

图1 系统(1)和系统(2)无感染平衡态和地方病平衡态的稳定性

下面讨论隔离率和人口迁移率对COVID-19传播的影响.为此,依次选取隔离率q1的值为0.07,0.09,0.11,从图2的左图不难看出,随着q1增大第一个斑块的染病人数显著减小.换句话说,在疾病的传播过程中对染病者进行及时有效的隔离,是控制疾病的重要措施之一.另一方面,如果将第一斑块到第二斑块的迁移率m的值从0.1增加到0.2和0.3,图2的右图显示随着m的增加,第二个斑块病例的峰值有明显的增加,这将对第二斑块的疫情防控带来极大的隐患,给有限的医疗资源带来严峻挑战,特别是发展中国家和欠发达地区.因此,对本地区的COVID-19的疑似病例或确诊病例进行必要的隔离,对疫情高风险地区的外来人口实施严格的医学观察依旧是当前乃至今后一段时期疫情防控的重要措施.

图2 隔离率q1以及迁移率m对COVID-19的影响

6 结论与讨论

考虑到地区之间的人口流动和COVID-19传播过程中无症状感染者的普遍存在性,以及基于当前疫情防控措施,本文提出了一类具有人口迁移效应和隔离策略的两斑块COVID-19传播数学模型.首先,不考虑迁移效应下,给出了各子系统的基本再生数的精确表达式,其决定了无感染平衡态和地方病平衡态的存在性与稳定性,以及疾病的持久性.进一步,讨论了全系统的无感染平衡态的稳定性,以及各斑块基本再生数大于1或小于1的情形下全系统各类边界平衡点的存在性与稳定性,疾病的持久性.

在当前疫情防控局势依旧严峻,国内疫情零星散发,在全国复工复产有序推进下,人口流动不可避免.在此背景下,各个地区如何采取有效的防控措施,降低疫情对人民生产生活的影响,一直是各级政府和疾病防控部门关注的重点问题之一.依据本文所建立的模型和得到的理论结果与数值模拟,我们不难发现:(1) 严把高风险地区人员的流出,特别是对高风险地区流出人员进行必要的筛查并进行医学观察是低风险地区疫情防控的第一道防线;(2) 对于低风险地区内部,疫情防控的重点应当放在对高风险人群的定期筛查方面,通过及时的筛查将无症状感染者在感染初期识别出来并进行有效的隔离,避免疫情反弹.