一道三角形面积最值真题引发的探究

魏东升

摘 要：本文通过对2019年高考北京卷文科第8题及其变式进行探究，试图呈现解决一类解三角形面积最值问题的常用思想方法.

关键词：高考;解三角形;最值;方法

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2022）04-0069-03

解三角形和三角函数、三角恒等变形等知识一样，是高中数学中的一块非常重要的内容，在历年的高考中一直是考查的热点之一.笔者在一节“正余弦函数的综合应用”习题课中给出了一道2019年高考北京卷文科的真题，同学们出色的表现让笔者感慨！为方便讨论，笔者把探究过程整理如下.

1 试题再现

题目 如图1，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圓周上的动点，∠APB是锐角，大小为β，则图中阴影区域的面积的最大值为（  ）.

A.4β+4cosβ  B. 4β+4sinβ

C.2β+2cosβD. 2β+2sinβ

2 试题解析

这是一道关于解三角形最值的问题，是选择题中的压轴题.主要考查了学生分析问题、解决问题的能力和数学的应用意识，是一道不可多得的好题.

分析 如图2，设圆心为O，连接OA，OB，OP，AB，则∠AOB=2∠APB=2β.

所以S扇形OAB=12×2β×22=4β，

S△AOB=12×2×2sin2β=4sinβ·cosβ.

记S弓形=S扇形OAB-S△AOB=4β-4sinβ·cosβ，

所以S阴影=S弓形+S△ABP，其中S弓形为定值.

所以当S△ABP最大时，S阴影最大.

对于S△ABP最值的求法，由于题设直接给出了外接圆半径及相应的图象，因而运用数形结合思想计算S△ABP是最自然的选择，但如果不给图象，且把题目作如下改编：

△ABP中，AB=4sinβ，∠APB=β，则△ABP面积的最大值为.

又该如何作答呢？笔者班上的学生见此变式甚为兴奋，学生A快速地给出了如下作答：

解法1 由图3可知，当AP=BP时，S阴影最大.

因为AB=4sinβ，此时

S△ABP=12×4sinβ（2+2cosβ）

=4sinβ（1+cosβ）.

通过外接圆解题无疑是最佳途径.此法完全是“站”在刚才真题这个“巨人的肩膀”上作出的完美解答，但这在考场上并不容易想到，特别是在没有“巨人”的帮助下.

这时，学生B和学生C分别给出了以下两种思路：

解法2 假设边PA，PB的长分别为b，a，在△ABP中，AB=4sinβ，由余弦定理，得

AB2=16sin2β

=16（1-cos2β）

=a2+b2-2abcosβ

≥2ab-2abcosβ

=2ab（1-cosβ）.

即ab≤8（1+cosβ）.

从而S△ABP=12absinβ≤4（1+cosβ）sinβ.

所以△ABP面积的最大值为4（1+cosβ）sinβ.

解法3 假设边PA，PB的长分别为b，a，

结合正弦定理，知

S△ABP=12absinβ

=8sinA·sinB·sinβ

=8sinβ·sinA·sin（β+A）

=8sinβ·sinA（sinβ·cosA+cosβ·sinA）

=4sinβ·[sin2A·sinβ+cosβ·（1-cos2A）]

=4sinβ·[cosβ-cos（2A+β）]

≤4sinβ·（cosβ+1）.

所以△ABP面积的最大值为4（1+cosβ）sinβ.

解法2是在解三角形的余弦定理中巧妙地引入了均值不等式，利用了不等式的有界性，这是求二元最值的一种常见手法;解法3是把所求问题中关于边的变量通过正弦定理转化为关于角的变量，进而利用三角函数的性质求解.

以上两种解法实际是我们处理解三角形最值问题的常见方法，说明这两位同学的基本功很扎实.就在我给学生B和学生C给予肯定话语时，学生D给我带来了惊喜：

解法4 假设边PA，PB的长分别为b，a，记S△ABP为S，在△ABP中，由S=12absinβ和

AB2=16sin2β=a2+b2-2abcosβ，

消去b整理得到关于a2的二次方程

sin2β·a4-（16sin4β+4S·sinβ·cosβ）a2+4S2

=0.

要使该方程有意义，则判别式

△=（16sin4β+4S·sinβ·cosβ）2-16sin2β·S2

≥0，

从而得到 S≤4（1+cosβ）sinβ.

所以△ABP面积的最大值为4（1+cosβ）sinβ.

解法4其实是把所求问题看作是方程的一个变量，利用二次方程有解，用判别式非负得到所求量的最值，体现了函数与方程思想.我情不自禁地给学生D投去了赞许的目光.

“老师，我还想到了一种方法”，数学课代表E站了起来：

解法5 以圆心为原点建立如图4所示的直角坐标系，其中A，B两点关于y轴对称.

在△ABP中，AB=4sinβ，经计算可得

A（-2sinβ，-2cosβ），

B（2sinβ，-2cosβ）.

假设P（2cosα，2sinα），则

AP=（2cosα+2sinβ，2sinα+2cosβ），

BP=（2cosα-2sinβ，2sinα+2cosβ），

S△ABP=12|（2cosα+2sinβ）（2sinα+2cosβ）

-（2cosα-2sinβ）（2sinα+2cosβ）|

=124sinβ（2sinα+2cosβ）≤4sinβ（1+cosβ）.

所以△ABP面积的最大值为

4（1+cosβ）sinβ.

不愧是数学课代表，本法实际上是三角函数、解三角形和向量的综合运用，其通过坐标很好地把三角形面积这个几何问题进行代数化.更难能可贵的是，她还记住了刚学不久的三角形面积公式的坐标表示！同学们不禁为她出色的表现鼓起了掌…

解题往往是数学学习的一条重要途径，通过解题能够实现学生对数学知识、数学能力和数学思想方法的深入理解，进而学会用数学思维去解决不局限于数学领域的生活中的许多问题.重视解题过程中的素养渗透，能够实现学生从追求解题到追求解决问题的思维转变，实现教师从培养学生数学能力到提升学生数学素养的导向转变.从这个角度上来讲，解题教学中的方法、手段和目的都显得非常重要.

参考文献：

[1]

吕二动，刘占权.高三数学复习课“一类函数的最值”案例评析[J].中小学数学，2017（05）：36-38.

[2] 姚宗亮.一道三角形的面积最值问题的解法探究[J].中学数学教学参考，2018（33）：35-36.

[责任编辑：李 璟]