构建转化关系 巧解多个三角形

倪军

摘 要：解三角形问题是高考试题中较为常见的一类命题，它涉及到边、角、面积和周长的计算等.对于平面几何问题，有时可将其分解成多个三角形进行求解，这时则需要通过某种关系构建等量关系进行求解.

关键词：多个三角形;正弦定理;余弦定理

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2022）04-0027-03

利用正、余弦定理求解多个三角形问题，一般会以平面几何为背景进行命题，对于此类问题一般需要通过边、角或向量知识为纽带进行求解.

1 以边为纽带，巧解多个三角形在四边形中，通过连接对角线，则可以构造成两个三角形，在三角形中，取其中一边上一点与其该边的顶点相互连接，则会出现两个小三角形和一个大三角形，解决此类问题，一般可以通过求解其公共边进行解决.

例1 如图1，在平面四边形ABCD中，∠ABC=π3，∠ADC=π2，BC=2.

（1）若△ABC的面积为332，求AC;

（2）若AD=23，∠ACB=∠ACD+π3，求tan∠ACD.

解析 （1）在△ABC中，因为BC=2，

∠ABC=π3，

S△ABC=12AB·BC·sin∠ABC=332，

所以32AB=332，

解得AB=3.在△ABC中，由余弦定理，得

AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC=7.

所以AC=7.

（2）设∠ACD=α，

则∠ACB=∠ACD+π3=α+π3.

如图1，在Rt△ACD中，因为AD=23，

图1

所以AC=ADsinα=23sinα.

在△ABC中，∠BAC=π-∠ACB-∠ABC=π3-α.

由正弦定理，得BCsin∠BAC=ACsin∠ABC.

即2sinπ3-α=2332sinα.

所以2sinπ3-α=sinα.

所以232cosα-12sinα=sinα.

即3cosα=2sinα.

所以tanα=32.

即tan∠ACD=32.

點评 化边为角与和角或差角公式的正向或反向多次联用是常用的技巧，对于多个三角形的求解问题，通常可以先在一个三角形中进行解三角形，求出公共边的长或表达式，然后再根据另外一个三角形建立等式关系去求解题目所设置的问题.

2 以角为纽带，巧解多个三角形在三角形中，取其中一条边上的一点，与该对边的顶点相互连接，则可构成两个三角形，其中这条边的两侧所对应的两个互为补角的角所对应的余弦值互为相反数，因此可利用余弦定理分别在两个三角形中去求解这两个角的余弦值，再根据两角间的关系建立等式.

例2 （2021年山东滕州一中月考）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a（sinA+sinB）=2bsinB.

（1）证明：A=B;

（2）记线段AB上靠近点B的三等分点为D，若CD=17，b=5，求c.

解析 （1）因为a（sinA+sinB）=2bsinB，

所以由正弦定理，得a（a+b）=2b2.

整理，得（a+2b）（a-b）=0.

因为a+2b>0，所以a=b，即A=B.

（2）设BD=x，则AD=2x.

由余弦定理，得

cos∠CDA=4x2+17-252×2x×17，

cos∠CDB=x2+17-252×x×17.

因为∠CDA=π-∠CDB，

所以4x2+17-252×2x×17=-x2+17-252×x×17.

解得x=2.

所以c=AB=3BD=6.

点评 根据∠CDA=π-∠CDB和余弦定理将边化角是迅速解答本题的关键，对于此类问题，在熟练运用余弦定理及其推论的基础上，还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用.

3 以向量为纽带，巧解多个三角形

平面向量的三种线性运算的结果仍为向量，在三种线性运算中，加法是最基本、最重要的运算，减法运算与数乘运算都以加法运算为基础，都可以归结为加法运算.在多个三角形中就可以通过线性运算和向量的数量积构建等式关系，其中，余弦定理就可以通过向量方法进行推导.

例3 （2021年安徽安庆模拟）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsinC+

sinA+sinBa-b=csinC，点D为边BC的中点，且AD=7.

（1）求A;

（2）若b=2c，求△ABC的面积.

解析 （1）因为sinA+sinBa-b+bsinC=csinC，由正弦定理，得

a2-b2+bc=c2.

由余弦定理，得cosA=b2+c2-a22bc=12.

所以A=π3.

（2）因为AD为△ABC的中线，

所以2AD=AB+AC.

两边同时平方，得

4AD2=AB2+AC2+2AB·ACcosA.

故28=c2+b2+bc.

因为b=2c，所以c=2，b=4.

所以S△ABC=12bcsinA=23.

点评 进行向量运算时，要尽可能转化到三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来解决.解决两个三角形的解三角形问题，一般要用公共边的向量表示其它边，再进行平方，进而结合向量知识与余弦定理的关系进行求解.

跟踪训练 △ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍.

（1）求sin∠Bsin∠C;

（2）若AD=1，DC=22，求BD和AC的长.

解析 （1）S△ABD=12AB·ADsin∠BAD，

S△ADC=12AC·ADsin∠CAD，

因为S△ABD=2S△ADC，∠BAD=∠CAD，

所以AB=2AC.

由正弦定理，得

sin∠Bsin∠C=ACAB=12.

（2）因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC，

所以BD=2.

在△ABD和△ADC中，由余弦定理，得

AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB，

AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC，

故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.

由（1）知AB=2AC，故AC=1.

参考文献：

[1] 蒋敏，陈国林.数学思想在解三角形中的精彩绽放[J].数理化解题研究，2018（22）：14-15.

[2] 陈国林.三角问题灵活多变，多维探究发散思维[J].广东教育，2020（11）：22-24.

[责任编辑：李 璟]