让学生学会用数学的语言表达

○王文英

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》将“会用数学的语言表达现实世界”作为素养目标之一，说明数学语言对于学生数学学习以及素养发展的重要性。

反观当下，由于教师对数学语言的重要性认识不充分，数学课堂重“练”轻“说”的情况还很普遍：学生会做题，却不会有条理地表达思维过程；学生有发现，却无法用恰当的方式描述现象；学生能明白，却很难用简洁的语言解释交流……种种现象，暴露了数学语言能力培养的缺失。关注数学语言，让学生学会用数学语言表达是数学教学亟待思考并落实的问题。

一、数学语言的内涵和意义

语言是人类用来表达和交流的重要工具。数学语言是自然语言的一种特殊的模式，一般分为文字语言、符号语言和图形语言。

文字语言是数学化的自然语言，是对自然语言进行加工、改造之后形成的精确化的表达。如“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”“两点之间线段最短”“三角形任意两边之和大于第三边”……像这样的数学概念、数学事实和公理就是文字语言，与一般的文字语言相比，更加简洁、完整和准确。

符号语言是用字母、数字、运算符号、逻辑符号等表达数学的观念，有自身特有的符号系统。数学家M·克莱因曾指出：“数学的另一个重要特征就是它的符号语言。如同音乐利用符号来代表和传播声音一样，数学也用符号表示数量关系和空间形式。”数学中公式、规律的表示，推理过程的记录，几何证明的过程都离不开符号语言。符号语言具有简明扼要、高度概括的特征。

图形语言是通过图形的视觉形态来准确地传递信息，它是一种视觉语言。数学中的统计图、解决问题时画的线段图或示意图等，都是通过图形传递信息，是图形语言。图形语言具有直观、生动的特征。

数学语言与其他语言形式相比，其意义主要表现在以下三个方面：

1.更便于概括。

众所周知，一个公式可以解决一类问题，一个字母表达式可以表示一类现象，数学语言的高度概括性让数学充满了无限魅力。比如，（a+b）×c=ac+bc表达了运算中的重要规律——乘法对加法的分配律。再如，所有正方形周长的计算都可以用C=4a表示。高度的概括性说明数学语言具有一般性。

2.更利于交流。

数学语言不会因教师的教学风格、地域差异而改变，全国各地教材版本不同、语言不同，但数学的表达完全相同，尤其是符号语言，甚至可以跨越国界无阻碍地进行交流。如14:00，不同国籍的人们看到它都明白表示什么，便于交流。说明数学语言具有科学性和严谨性。

3.更助于理解。

相对于其他语言形式来讲，数学语言的简洁能够帮助学生更好地理解教学内容。如加法结合律，用文字表述为：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数，或者先把后两个数相加，再与第一个数相加，它们的和不变。这样表述显然比较繁琐，学生也难以理解。如果用（a+b）+c=a+（b+c）表示，学生不仅容易理解，而且能很快地记住。

数学语言不仅可以简洁、准确地描述数量关系和空间形式，构建普适的数学模型，有助于解决问题，还可以解释和预测日常生活中的不确定现象。诺贝尔奖得主、物理学家费格曼也曾说过：“若是没有数学语言，宇宙似乎是不可描述的。”

二、如何指导学生用“数学的语言”表达

1.强化用数学语言表达的意识。

学习用数学的语言表达，首先需要强化意识。

第一，在生活与数学间搭建桥梁。一是引导学生用学到的知识去描述现实情境。如教学“认识乘法”，学生掌握了“几个几”的表述之后，让他们联系生活举例，“每个人有（2 个5）根手指”“小火车里共有（4 个6）人”……二是让学生用生活现象去解释数学知识。如教学“减法的性质”，可以结合购物中付钱的情境，去解释为何能“先加后减”——买了练习本、笔、橡皮之后，可以把买这些文具花的钱加起来，然后用付的钱去减。如果教师经常这么做，就能有效增强学生用数学语言表达的意识。

第二，在不同语言形式间相互转换。文字语言、符号语言和图形语言是可以相互转换的。转换不仅可以促进语言表达能力的提高，还能够帮助学生更好地发现和解决问题。如这道题：已知甲、乙两个数的和是14.3，当甲数的小数点向左移动一位时正好等于乙数，甲数是（ ），乙数是（ ）。如果将乙数看作a，上述文字转换成10a+a=14.3，问 题就容易解决。再如：计算，如果转换成用图表示，就能直接转化为，使计算变得简便。这样“互译”可以帮助学生形成用数学语言表达的自觉性。

第三，在比较和抽象中尝试归纳。当学生在日常学习中体会到数学语言的价值时，就能在数学学习中自觉使用。教学中，教师可以引导学生经历用数学语言归纳的过程。如探索“和的奇偶性”，教师首先引导学生对奇数和偶数的特征加以归纳：所有的奇数除以2 余数为1，所有的偶数除以2 余数为0，因此，两数相加判断奇偶的问题，事实上就是看余数相加的结果；偶数+偶数，除以2 余数依然为0，结果是偶数；奇数+奇数，除以2 余数为0，结果是偶数；奇数+偶数，除以2 余数为1，因此结果为奇数。用这样的办法推广到几个数相加，学生会发现：奇数个奇数相加，除以2 余数一定是1，结果是奇数；偶数个奇数相加，除以2 余数是0，结果是偶数……最后归纳出：判断和的奇偶性，只需要看加数中奇数的个数。一个看似复杂的问题，只用一句简洁的话就能解决，这无疑能激励学生去学习并运用。

2.创造用数学语言表达的机会。

首先，教师在课堂上应留出足够的时间，让学生充分地表达。比如，新授学习时，说说自己的解决方案或猜想；经历探究之后，介绍如何探究，有什么发现；当同伴发言之后，说说自己的意见。当然，学生的表达可能毫无章法，教师需要有耐心，鼓励学生讲完。

其次，教师要善于捕捉学生对数学对象的多元表征，丰富学生的表达方式。如探索“乘法分配律”，师生共同归纳出字母式子（a+b）c=ac+bc后，教师追问：“这样的现象是巧合，还是有科学依据？你能用学到的知识去解释这样的现象吗？”有的学生用举例的方式，有的学生联系乘法的意义解释，还有的学生用面积去说明（如图）。

通过比较，学生发现举例不能穷尽，这样的解释经不起推敲，而用乘法意义或是用面积的方式更有说服力。可见，多元表征的呈现，既丰富了学生的认知，也促进了学生对不同数学语言表达方式的认识。

再次，教师可以组织相关的竞赛展示活动，锻炼学生的表达能力。笔者曾工作过的一所学校，每年都会举办“说思路”比赛，教师准备多个实际问题，学生当场抽签，并在讲台前当“小老师”，进行解题思路的讲解。此项活动学生喜欢，同时也极大地锻炼了学生的口头表达能力。另外，学期末可以举行口头表达能力测试，教师结合本册教材内容，将公式推导、算理解释及解题思路讲述作为口试题目，学生抽签接受测试。这样的举措，为学生营造了数学表达的浓厚氛围。

3.有序为数学语言进阶服务。

学生一般都会经历从“不会说”到“会说”、从说得不规范到规范表述、从说得不严谨到科学表达的过程。为此，教师要做好数学语言进阶的规划。对于低年级的学生，强调用完整的话表达。在描述图意的时候，可以说“我看到（发现）图上有……”；在表达自己的想法时，可以说“我是这样想的……”；在表达不同意见时，可以说“我不同意××的想法，我的想法是……”。对于中年级的学生，要强调表达时有理有据，可以用“因为……所以……”的句式。而对高年级的学生，则要求表达时有条有理，教师可以提供表达的基本范式，也可以通过表扬的方式或帮助完善学生回答的方式，让学生的语言表达能力实现逐层进阶。

三、提高数学语言表达能力的三项措施

1.加强数学阅读。

数学语言的学习应该跟语文、英语的学习一样，需要多阅读、多积累。然而当下，数学阅读并未引起足够的重视。一是数学课外读物不够丰富；二是数学阅读难度较大，因为学生没有数学知识的储备，不具备一定的思维能力，面对数学符号、数学定理等，很难真正理解；三是缺乏相应的阅读指导。因此，教师要引导学生对数学课外读物进行长期阅读，有了相应的积累，学生的数学语言表达能力将会大幅提高。

2.撰写数学论文。

十年前，笔者就开始关注学生数学小论文的撰写，指导学生将生活中观察到的数学现象加以描述并进行分析，将独特的解题思路写下来并加以说明，将探究的过程逐一记录并反思得失，指导学生发表了《我会辩证地看问题》《抓住不变量解决问题》《我和妈妈一起“做数学”》等系列小论文。这一举措极大地激发了学生的兴趣，在写作、修改的过程中，数学语言表达能力也得到了培养。

3.开展主题式学习。

应用意识是数学语言的主要表现之一，而主题式学习是应用意识得以充分体现的重要方式。在主题式学习中，学生需要有意识地利用数学的概念、原理和方法，去解释、解决现实世界中的问题，切身体会数学作为通用的科学语言在其他学科中的应用。因此，这将是提高学生数学语言能力的另一重要途径。