整体把握教材 融通建构知识 撬动学生思维

马丹丹

【摘 要】在小学数学教学中，教师要整体把握教材知识点之间的本质联系，研究教材编写的逻辑性和系统性，运用科学的思维方法把教材中的各个知识点有机结合起来，做到系统连贯、知识成串。教师如果能用整体把握教材的思想去设计教学目标、教学过程，渗透数学思想方法，就能帮助学生构建一个完整的数学认知结构，提高学生的数学能力。本文以数与代数中“积的变化规律”为例，提出一些整体把握教材的策略方法，使教学更高效。

【关键词】整体把握 数学思想 知识体系

在新课改的推进过程中，教师应如何整体把握教材，提高教学效率，成为亟待解决的问题之一。整体把握教材，就要求教师钻研教材：研究教材的科学性，把握知识的科学含义，做到深入浅出、科学正确地传授知识;研究教材的逻辑性，运用科学的思维方法，做到讲述通俗严密、思路清晰;研究教材的系统性，把教材中的各知识点有机地结合起来，做到系统连贯、知识成串。这是整体把握教材的三个重要标志。这样，教师在教学活动中，就可以自然地构建完整的知识网络，实现思维方法的正确选择和组合，从而达到灵活掌握和支配教材的目的。

本文以“积的变化规律”为例，从以下三个方面来说明如何整体把握教材、发展学生思维：

一、纵向把握知识脉络，架构知识体系

教学时，应注重内容的系统性和逻辑性，分析教材的整体知识结构和教学内容的顺序安排。

（一）分析该知识点的生长点

本节课的教学内容“积的变化规律”是北京景山版教材三年级上册第八单元“乘法（二）”中的内容，属于数的运算方面的知识，是在学习三位数乘两位数的估算以及笔算后进行的关于乘法规律的教学，需要学生达到应用的水平。这一部分内容在前面学习整十数、整百数的乘法口算教学时已经有所渗透，这里主要是让学生进一步明确乘法运算中因数和积之间的密切联系：因数的变化会导致积的变化（因数变大，积也变大;因数变小，积也变小）。课堂中，教师可以通过几组算式的计算引导学生发现：一个因数不变，另一个因数乘（或除以）一个数（0除外），积也乘（或除以）相同的数。而这一内容与之前加减法的教学内容相似。加法中和的变化规律：一个加数不变，另一个加数加（或减）一个数，和也加（或减）相同的数。减法中差的变化规律：减数不变，被减数加（或减）一个数，差也加（或减）相同的数;被减数不变，减数加（或减）一个数，差就减（或加）相同的数。

此外，课堂上学生能如此快速地根据15873×7=111111计算出15873×14=222222，其主要原因还是在本册第一单元“乘法（一）”的乘法口算中已经渗透了相关内容，如60×1=60，60×10=600，60×100=6000;30×10=300，30×20=600，30×60=1800。虽然出示这类算式的主要目的是发现末尾有0的乘法口算算法，但60作为其中一个因数，保持不变，而另一个因数从1到10再到100，其实就是在做“×10”的变化，此时积也在做“×10”的变化，这已经为积的变化规律做了铺垫。

（二）分析该知识点的延伸點

首先，学习了和的变化规律（加法）、差的变化规律（减法）和积的变化规律（乘法）后，对于学生学习商的变化规律（除法）可以起到较大的帮助。学生学习商的变化规律时可以进行类比理解记忆，也可以和积的变化规律关联记忆（乘法和除法互为逆运算，两者之间联系紧密）。我们可以把“被除数÷除数=商”看作“积÷一个因数=另一个因数”。根据积的变化规律，当一个因数不变时，积的变化和另一个因数的变化是相关的，且是一致的，积乘（或除以）一个数。说明另一个因数也是乘（或除以）相同的数。当积不变时，两个因数的变化也是相关的，并且一定是相反的，即一个因数乘（或除以）一个数，要保证积不变，另一个因数一定是除以（或乘）相同的数。如15873×7=111111，15873×14=222222可以转化为111111÷15873=7，222222÷15873=14;60×8=480，120×4=480可以转化为480÷60=8，480÷120=4。两种运算方法以及变化规律是相同的。

其次，“积的变化规律”对学习小数乘法起着非常大的作用。小数乘法其实是转化为整数乘法来进行计算的，而这里转化的关键就是利用积的变化规律，先将因数中的小数扩大为整数，计算出积后再还原回正确的积。如0.13×2.5，在计算时先转化为13×25，这里0.13到13是×100，2.5到25是×10，所以计算出的积325就是正确的积×100×10得到的，所以正确的积是325÷100÷10=0.325。

最后，“积的变化规律”的学习还有助于学生理解“反比例”。反比例的概念是指两个相关联的量，积一定与这两个量成反比例。这里所谓的“积一定”就是“积不变”，而要想积不变，一定是一个因数乘（或除以）一个数，另一个因数除以（或乘）相同的数，两个因数的变化一定是相反的。

所以本节课的知识是后续很多知识点的生长点，把这个规律理解清楚，就能为后面的学习做铺垫。

二、横向把握知识脉络，突破教学难点

任何一个知识点都不是孤立存在的，而是互相联系的。整体把握教材需要教师掌握知识的来龙去脉，重视发掘知识之间的逻辑联系，突破教学难点。

本节课有3条规律要学习，却不是割裂地学习，规律之间是相互依存的，高效教学在于紧紧抓住了前后知识之间的联系，利用练习自然过渡，让学生在不知不觉中学习新的知识，而不是单一地为了某条规律而传授知识。当分开进行教学时，学生不能主动产生联系，就需要强行记忆3条规律，这样很容易遗忘，也不能熟练运用这个规律来解决问题。

本课的重难点也在于理解、掌握并运用这一规律。为了突破这个难点，教师是这样进行教学的：

1.发现规律，凸显数学魅力，激发学生兴趣

我们为什么要学数学？数学是一门重要的科学，它的结论往往具有永恒的意义;数学是有力的工具，它在很多领域起着关键作用。接着教师出示：怎么计算15873×14？这个算式中的数字大而繁杂，并且它是这一单元的计算题。再出示15873×7=111111，这时候学生有了强烈的冲击，感受到数学的繁与简的魅力，从而产生了学习的需求以及想要继续探寻的兴趣。这就为继续学习因数、因数、积三者的变化规律做好了强有力的铺垫。

2.探索规律，引领高效课堂，推动自主学习

在积的变化规律中，因数引起积变化是本质，可螺旋式上升地让学生得出结论：（1）第一个因数扩大，另一个因数不变，积变大;（2）第二个因数扩大，另一个因数不变，积变大;（3）反过来看，一个因数缩小就导致积变小。两个因数都变化，仍然分析每个因数变化导致积的变化情况，并选取特殊的一个扩大、一个缩小相同倍数导致积不变的情况深刻感悟。学习这条规律时，只要抓住“因数导致积变化”这个本质，无论一个因数与另一个因数怎么变化，学生都能主动分析变化趋势并能准确计算，这节课的重难点也就迎刃而解。

三、渗透数学思想方法，撬动学生思维

（一）先比较后归纳，培养学生的逻辑思维能力

【教学片段】

生1：从上往下看，一个因数不变，另一个因数乘几，积就乘几。

生2：从下往上看，一个因数不变，另一个因数除以几，积就除以几。

师（补充）：0除外，因为除数不能为0。

师：你能再写一组和上面规律相同的算式吗？

（生独立完成。）

师（展示部分学生的算式）：每个同学写的算式不同，但是规律却都相同。

教师引导学生通过观察比较、归纳概括的方法来主动发现规律，通过计算验证对规律进行解释和证明，培养了学生的合情推理能力，同时运用规律，按照逻辑推理的法则进行列举，培养了学生的演绎推理能力。在数学规律的教学中，架起合情推理和演绎推理的桥梁，培养了学生的归纳推理能力。

（二）先猜想后验证，培养学生的自主探究能力

1.猜想规律

导入：15873×7=111111

15873×14=？

师：根据第一个算式的答案，你知道第二个算式的答案是多少吗？

生1：积可能是222222。

生2：积可能是111118。

师：你们觉得他们的答案有道理吗？

生3：我觉得他们的答案都有道理，一个乘法算式中，一个因数不变，另一个因数变大，积会变大。

生4：我觉得第一个同学的答案是对的，因为第一个因数一样，第二个因数14是7的2倍，积也应该是原来的2倍。

2.验证规律

师：由于15873×14中的数字较大，计算时不太方便，我们来观察这两组算式，说说你们的发现。

生：一个因数不变，另一个因数乘几，积就乘几。

师：我们再看刚才那组算式，现在你们觉得刚才哪个同学的答案是正确的？

生：第一个同学，乘法里是乘几的关系，而不是加几的关系。

师：你总结得真好！那你们再算一下15873×28。

生：444444，因为28是7的4倍，所以积也是111111的4倍。

3.迁移规律

（1）发现

师：根据第①题的结果，你能写出第②题的积吗？

生1：200，因为一个因数不变，另一个因数除以2，积也除以2。

（2）验证

师：还是观察前面两组算式，从下往上观察，来验证规律。

生：一个因数不变，另一个因数除以几，积也除以几。

小结：一个因数不变，另一个因数乘或除以几，积也乘或除以几。

（3）迁移

师：一个因数60乘4，另一个因数8除以4，你知道积480发生了怎样的变化吗？

生：不变。

师（追问）：为什么积不变呢？

生：因为一个因数乘4，积就乘4，另一个因数除以4，积就除以4，也就是说积发生了两次变化，先乘4，再除以4，就相互抵消，所以积不变。

师：你总结得真好。你把我们前面所学的两条规律结合在一起，运用到了這道题目里，你真是个善于思考的孩子。

猜想验证是一种重要的数学思想方法，正如荷兰数学教育家弗赖登塔尔所说，真正的数学家常常凭借数学的直觉思维做出各种猜想，然后加以证实。因此，在数学教学中，教师要重视猜想验证思想方法的渗透，以增强学生主动探索获取数学知识的能力，促进学生创新能力的发展。

“整体把握教材，融通建构知识，撬动学生思维”不能脱离学生的实际情况，要分析教材编写意图，创新设计、整合转化，并结合学生的思维方式加以优化拓宽，激发学生的学习兴趣，提升学生的数学能力。

【参考文献】

[1]洪亮.试探整体把握教材的教学策略[J].小学教学研究，2015（5）.

[2]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[3]俞正强.种子课2.0——如何教对数学课[M].北京：教育科学出版社，2020.

注：本文系江苏省教育科学“十二五”规划2015年度重点课题“小学数学高效教学的校本实践研究”（编号：B-a/2015/02/045）的研究成果。