巧用矢量法的定比分点公式解三角形重心类问题

武桂梅

矢量法在数学中的应用非常广泛，在几何学某些问题的证明中引入矢量法及其运算的有关规律的理论，可使证明过程大大简化。那么，什么是矢量法呢？矢量法，其实质是在平面上选取两不共线的矢量作为坐标矢量，再将其它矢量分解为两坐标矢量的线性组合，当然，在证明过程中也并不是所有的矢量都要进行分解，然后再用矢量的運算及相关几何意义加以证明，这种方法其实是将几何问题转化成了矢量代数运算。初等几何问题的证明，若用传统的纯几何的方法，常常要通过添加辅助线或建立坐标系进行转换，这是众所周知的难点，然而以向量为工具，既可使证明过程变得简洁明了，又可灵活运用几何学和代数学的知识。用向量的方法处理几何问题，既能反应几何对象间的数量关系，又能体现其位置关系，从而能数形相辅地用代数方法研究几何问题。用向量工具处理几何问题，兼有凡何的直观性，表述的简洁性和方法的一般性。

那么，什么是三角形的重心类问题呢？所谓三角形的重心类问题，指的是图形中的主要部分为三角形，要证明的是几线共点的问题，而此点恰好是这几条直线的公共分点。由于这些线段常与三角形的重心有关，故将这类问题称为三角形的重心类问题。

通过本文，我们可以明显地看到，运用向量法的定比分点公式证明有关三角形的重心类问题时，可先把己知和结论表示成向量的形式，再灵活运用定比分点公式、向量加减法法则等，通过向量运算，就能够较容易地证明几何命题。总之，用向量法中的定比分点公式解有关三角形重心类的问题，关键就是正确区分图形中显性和隐性的点、线位置关系，结合法中的共点以及相等等条件，用代数的方法来研究几何问题。