构造t-模的一个充分条件

张迪,周艳红

(中国民用航空飞行学院 计算机学院,四川 广汉 618307)

0 引 言

三角模(triangular norm,通常简写为t-模)作为一种二元运算,首先出现在Menger K于1942年发表的论文“statistical metrics”[1].在上世纪60年代,Berthold Schwerzer和Abe Sklar重新定义了t-模[2-3],从而使这个领域得到飞速发展.t-模除了应用于概率度量空间和模糊逻辑外,还广泛应用于决策支持、函数方程、博弈理论等诸多领域[4-6].长期以来,三角模理论及其应用是人们研究的热点,三角模作为一种特殊的代数结构,其构造是认识三角模结构的关键所在.本文基于此,将讨论构造三角模的充分条件及相关性质.

1 基本概念

定义1[7]如果二元运算T：[0,1]2→[0,1]满足：对ai,bi∈[0,1],有

(1) 单调性：当x1≤x2,y1≤y2时,T(x1,y1)≤T(x2,y2),

(2) 交换律：T(x,y)=T(y,x),

(3) 结合律：T(T(x,y),z)=T(x,T(y,z)),

(4)边界条件：T(x,0)=T(0,x)=0,T(x,1)=T(1,x)=x,

则称T为定义在[0,1]上的t-模.

定义2[7]如果t-模T在[0,1]2上连续,并且在(0,1]2上每个分量都严格递增,即x1

定义3[7-8]若对任意的x,y∈(0,1),存在正整数m,使得xm

定义4[8]函数g的右逆就是函数f,它满足Domf=Rang,Ranf⊆Domg且g∘f=jRang,即,∀x∈Rang,g(f(x))=x.

定理1[8]连续t-模T是阿基米德的当且仅当T除0,1以外没有其他幂等元.特别地,任何严格t-模都是阿基米德的.

2 t-模的构造

本节我们将利用一个严格递减的函数t构造t-模T.

定义5[8]设t:[0,1]→[c,∞]是连续的严格递减的函数且t(1)=c>0(c是常数).t的伪t(-1)逆是函数

满足：Domt(-1)=[c,∞],Rant(-1)⊆[0,1],且

若t是满射,即t(0)=∞,则t(-1)=t-1.

定理2二元函数T(x,y) =t(-1)(t(x)+t(y)-c)是[0,1]上的t-模.

证明 1)边界条件：T(x,0)=T(0,x)=t(-1)(t(0)+t(x)-c)=0,T(x,1)=T(1,x)=t(-1)(t(1)+t(x)-c)=t(-1)(t(x))=x;

2)交换律：T(x,y)=T(y,x)=t(-1)(t(x)+t(y)-c)；

3)单调性：固定y,不妨设x1

4)结合律：若t(x)+t(y)-c∈Ran(t),t(y)+t(z)-c∈Ran(t),这里Ran(t)=[t(1),t(0)],T(T(x,y),z)=t(-1),而(t∘t(-1)(t(x)+t(y)-c)+t(z)-c)=t(-1)(t(x)+t(y)+t(z)-2c),T(x,T(y,z))=t(-1)(t(x)+t∘t(-1)(t(y)+t(z)-c)-c)=t(-1)(t(x)+t(y)+t(z)-2c).

若x,y,z中至少有一个为0时,不妨设x=0,

T(T(x,y),z)=t(-1)(t∘t(-1)(t(x)+t(y)-c)+t(z)-c)=t(-1)(t∘t(-1)(t(0)+t(y)-c)+t(z)-c)=t(-1)(t(0)+t(z)-c)=0,

T(x,T(y,z))=t(-1)(t(x)+t∘t(-1)(t(y)+t(z)-c)-c)=t(-1)(t(0)+t∘t(-1)(t(y)+t(z)-c)-c)=0.

所以,T(T(x,y),z)=T(x,T(y,z)).

综上所述,T(x,y)=t(-1)(t(x)+t(y)-c)是[0,1]上的t-模.

定理3[0,1]上的t-模T(x,y)=t(-1)(t(x)+t(y)-c)是阿基米德的.

证明 对∀x∈(0,1),t(x)∈(c,+∞),T(x,x)=t(-1)(t(x)+t(x)-c)

是t-模并且是阿基米德的.