一个新的分数阶动力学模型团簇：分数阶Emden-Fowler模型团簇

辛 波

( 浙江理工大学 数学力学与数学物理研究所,浙江 杭州 310018)

近些年来,著名的 Emden-Fowler 方程出现于物理学和工程等领域的诸多分支.康波[1]得出了一类带临界指数的 Emden-Fowler 方程的解有j个零点的结果,并且研究了其零点的性态;利用所得结果,研究了一类临界指数的半线性椭圆型方程并且给出了其具有j个节点的径向解存在的充要条件.王文清、董晓婧、王肖丹和毛安民[2]研究了Emden-Fowler方程奇异边值问题的定号解.谭伟明和覃学文[3]应用临界点理论,获得了一类离散广义Emden-Fowler方程边值问题存在多个解的条件.仉志余、张燕燕等[4]研究了一类时间尺度上三阶非线性中立型Emden-Fowler时滞动力方程的振动性和渐近性,利用Riccati变换及不等式技巧,建立了该类方程几个新的Leighton型,Kemenev型和Philos型振动准则.赵月云、莫帅、张海燕等[5]研究了一类Emden-Fowler方程奇异边值问题,在满足经典的Ambrosetti-Rabinowitz条件下,利用喷泉定理证明了方程存在无穷多高能量解.梅凤翔、解加芳和冮铁强给出了求解Emden-Fowler方程的分析力学方法[6].

分数阶动力学可以更为真实地描述和阐释自然现象,已经成为科学与工程各个领域的前沿热门课题.然而,以往关于Emden-Fowler方程的研究一直局限于整数阶微积分的框架,一直局限于整数阶Emden-Fowler动力学系统内在性质与动力学行为的研究.至今为止,分数阶Emden-Fowler动力学模型还没有被发现和提出.

本文利用分数阶广义Hamilton方法构造了一个新的分数阶动力学模型,即分数阶Emden-Fowler动力学模型.进而,利用分数阶和非线性问题不确定性的分数阶广义Hamilton表示,发现并构造了分数阶Emden-Fowler动力学模型团簇.最后,对于分数阶Emden-Fowler动力学模型及其团簇的后续研究给出了讨论与总结.

1 分数阶广义Hamilton方法

函数f(t)是定义在[a,b]上逐段连续函数,且f(t)在[a,b]的任何有限子区间上可积,α>0,Γ(n-α)为Gamma函数,n为自然数,对t∈[a,b],则

(1)

称为函数f(t)的α阶Riesz-Riemann-Liouville分数阶导数[36]．D是分数阶导数算子,α是分数阶导数的阶,常数的Riesz-Riemann-Liouville分数阶导数不为0．且有

(2)

当α取整时,即为一般的整数阶导数

(3)

假设力学系统的位置由m个变量x1,x2,…,xm确定,广义Hamilton函数为H,在Riesz-Riemann-Liouville 分数阶导数的定义(1)下,分数阶广义Hamilton系统的运动微分方程为[7]

(4)

式(4)被称为含有Riesz-Riemann-Liouville 分数阶导数的分数阶广义Hamilton系统．其中结构元素Jij满足反对称性和Jacobi 恒等式,即

Jij=-Jji,

(5)

(6)

(7)

(8)

才可以构造出一个与整数阶模型相对应的分数阶动力学模型．

命题1[9]对于一个实际的动力学系统,如果其动力学函数为H,结构矩阵为Jij,利用条件(7),由分数阶广义Hamilton方程(4)可以构造这个动力学系统的分数阶动力学模型团簇；当且仅当满足条件(8),由分数阶广义Hamilton方程(4)可以构造一个与整数阶模型的形式相对应的分数阶动力学模型.

2 分数阶Emden-Fowler动力学模型

著名的 Emden-Fowler 方程出现于物理学和工程的诸多分支.文献[6]在Hamilton的相空间中给出了整数阶Emden-Fowler模型的表达式,在广义Hamilton的坐标空间中,整数阶Emden-Fowler动力学模型可以被写为

(9)

其中a,m为常数且a,m≥0．选取

(10)

则方程(9)可表示为如下形式

(11)

构造分数阶广义Hamilton函数和结构矩阵

(12)

(13)

条件(8)给出

(14)

将方程(12)—(14)代入分数阶广义Hamilton方程(4),有

J11=0,J12=1,J21=-1,J22=0

(15)

(16)

(17)

(18)

那么,我们可以得到Emden-Fowler系统的分数阶动力学方程为

(19)

方程(19)是一个α阶的分数阶广义Hamilton系统,它被称为分数阶Emden-Fowler动力学模型,这是一个新的结果.

当α=1的时候,分数阶Emden-Fowler 模型(19) 退化为整数阶Emden-Fowler 模型(11).

3 分数阶Emden-Fowler动力学模型团簇

2017年罗绍凯等发表的On the families of fractional dynamical models[9]揭示了分数阶和非线性问题的不确定性及其分数阶广义Hamilton表示,发现了分数阶动力学模型团簇,给出了构造分数阶动力学模型团簇的一般方法.而且,作为新方法的应用,构造了三类新的分数动力学模型团簇.

实际上,方程(4)给出了分数阶和非线性问题不确定性的分数阶广义Hamilton表示,下面我们利用方程(4)构造一个新的分数阶动力学模型团簇：分数阶Emden-Fowler动力学模型团簇.

对于Emden-Fowler系统(9),我们构造广义Hamilton函数(12)和结构矩阵(13),如果在方程(7)中选取

(20)

有

(21)

将方程(12),(13)和(21)代入分数阶广义Hamilton方程(4),那么,我们得到扩展的分数阶Emden-Fowler动力学模型

(22)

如果在方程(7)中选取

(23)

有

(24)

将方程(12),(13)和(24)代入分数阶广义Hamilton方程(4),那么,我们得到扩展的分数阶Emden-Fowler动力学模型

(25)

如果在方程(7)中选取

(26)

有

(27)

将方程(12),(13)和(27)代入分数阶广义Hamilton方程(4),那么,我们得到扩展的分数阶Emden-Fowler动力学模型

(28)

如果在方程(7)中选取

(29)

有

(30)

将方程(12),(13)和(30)代入分数阶广义Hamilton方程(4),那么,我们得到扩展的分数阶Emden-Fowler动力学模型

(31)

分数阶模型(19)与扩展的分数阶模型(22)、(25)、(28)和(31)等构成一个分数阶Emden-Fowler动力学模型团簇.

4 讨论与结论

在这篇论文中,基于分数阶的广义Hamilton方法,发现并构造了分数阶Emden-Fowler动力学模型,这个新的模型是一个分数阶的广义Hamilton系统.基于这个新的模型,人们可以用分析或数值的方法探索与研究分数阶Emden-Fowler系统的内在性质与动力学行为.例如,文献[7]证明了分数阶广义Hamilton系统具有相容代数结构和Lie代数结构,存在Poisson积分,那么分数阶Emden-Fowler模型也具有相容代数结构Lie代数结构,可以用文献[7]的方法得到它的Poisson积分.又如,文献[10]证明了利用分数阶广义Hamilton系统的第一积分,可以构造系统的积分不变量,那么分数阶Emden-Fowler的第一积分与积分不变量也满足文献[10]的定理.再如,文献[15-18]探索了分数阶广义Hamilton系统的对称性、共形不变性以及对称性摄动,那么这些文献中的对称性定理、对称性摄动定理和共形不变性定理,也同样适用于分数阶Emden-Fowler模型的对称性问题.再如,文献[11-13]给出了分数阶广义Hamilton系统的平衡稳定性定理、运动稳定性定理和平衡状态流形上的稳定性定理,这些定理也同样适用于分数阶Emden-Fowler模型的稳定性问题.

在这篇论文中,基于分数阶和非线性问题不确定性的分数阶广义Hamilton表示,发现并构造了分数阶Emden-Fowler动力学模型团簇.分数阶动力学模型团簇的发现,是近年来罗绍凯教授提出并带领研究生所做的新的具有基本意义的工作[9],其中有诸多值得进一步深入探索的问题.例如,分数阶动力学模型团簇整体共有的内在性质与动力学行为的研究,这是一个值得人们从理论上深入探索的重要而且有趣的课题.