提高解题运算 先行结构分析

宋予林　刘鑫钧

[摘  要] 众所周知，数学运算能力是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养. 因此，文章从高三一轮复习中一节常态课的例题入手，通过对数学对象的代数结构、几何结构的观察、分析，让学生掌握转化与化归、数形结合等重要的数学思想方法，提升高三学生的数学解题运算能力，渗透数学核心素养.

[关键词] 数学解题运算;结构分析;数学运算;转化与化归

庞卡莱曾说过：“所有的数学家时时体验着数学的美感.”苏霍姆林斯基说过：“没有审美教育，就没有任何教育.”在修订的《普通高中数学课程标准》中明确指出数学教育承载着落实立德树人的根本任务、发展素质教育的功能.数学教育帮助学生掌握现代生活和进一步学习必需的数学知识、技能、思想和方法，提升数学核心素养，引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界，促进学生思维能力、实践能力和创新意识的发展.

那么，什么是数学知识？什么是数学素养？什么是数学能力？张奠宙先生认为：“数学核心素养包括真善美三个维度.”具体地说，所谓“真”即理解數学文明的文化价值，体会数学真理的严谨性、精确性;所谓“善”指的是用数学的思想方法分析和解决实际问题的基本能力;所谓“美”则是说能够欣赏数学智慧之美，喜欢数学、热爱数学. 王尚志先生在他的文章中明确指出：“数学的核心素养包含六个方面，即数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析.”这一观点被贯彻在高中新课程标准的修订中.

理论是美好的，但事实上，笔者通过高三一轮的复习教学发现，学生在学习数学的过程中无法真正体会数学的“真善美”，无法运用数学的“真善美”分析、解决数学问题，提升数学素养！下面，笔者结合最近在高三一轮复习中出现的一些问题与解决策略，浅谈如何通过对数学式子的结构进行观察、分析，提升高三学生解题的运算能力.

点评 通过对数式的观察，结合直观想象可见，把数式转化到式①的结构，显然大大地减少了解题运算的烦琐. 因此，在高三一轮复习过程中，想要提高学生的解题运算能力，首先就要引导学生学会用数学的眼光观察世界.

[⇩] 运用数式的几何结构，培养学生的运算转化能力

华罗庚先生曾说道：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞. 数缺形时少直观，形少数时难入微.”因此，对于例题1的解法，笔者又在课堂中不断地引导学生继续观察数式的几何结构，培养学生的运算转化能力. 下面给出两种不同的数形结合的解法.

解法4 （建构“几何图形”诠释数式的几何意义）在△ABC中，不妨设AC=b，BC=a，由点C作边AB的垂线，垂足为D，如图1所示. 在△ACD和△CDB中，由勾股定理可知b2-a2=AD2-BD2=（AD+BD）·（AD-BD）. 又AD+DB=c，故AD-BD=a. 作点B关于点D的对称点E，则BD=ED，即∠CAE=∠ACE，AE=CE=a.易知∠CAE+∠ACE=∠BEC，即B=2A，故ED=BD=. 于是由图形的几何表征可见-=-====.又==，以下略.

解法5 （建构三角形相似）通过对数式的观察，我们可以改变结构，得到b2=a2+ac=a（a+c），由此启发学生产生联想，可以转化为“等比中项”. 那么，再次通过对数式的观察，可以继续将其变形，得=②. 数形结合是数学解题最重要的思想，因此延长AB至点D处，使得BD=a，AD=a+c，如图2所示. 此时由式②可以得出△DCB与△DAC相似，故∠CAB=∠CDB，则CA=CD=b. 由此可转化到等腰三角形ACD中继续研究……

点评 通过对数式的代数结构、几何结构的观察，指引学生从不同角度、运用不同方法进行思考、联想，体现出数学思维的灵活性与敏捷性;有目的地训练学生的发散思维，培养学生养成“大胆猜想，小心论证”的好习惯，提升数学解题运算能力. 由此可见，只有通过对数式的代数结构、几何结构的观察，才能在数学解题中实现“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”的美好画面.

[⇩] 基于转化数式的代数结构，培养学生的运算创新能力

波利亚在《怎样解题》中指出：“困难的问题需要有一种神奇的、不寻常的、崭新的组合. 而解题者的才能就在于组合的独创性.” 因此，再好的方法，都需要学生独立完成，教师只是学生学习的引导者，起着主导作用，而学生才是学习的主体. 因此，在高三一轮复习过程中，不要一味地追求每节课的大量题目，更重要的是要把每道题目讲得细、讲得透，体现思维的灵活性与创造性！下面以例题2的复习教学为例，基于转化数式的代数结构，培养学生的运算创新能力.

例题2 （2020年全国高考Ⅰ卷第21题）已知函数f（x）=ex+ax2-x.

（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性;

（2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围.

分析 对于函数单调性问题的考查，在我校高三一轮复习过程中，很多学生只要看到函数解析式就开始求导，其次就是令f′（x）=0，然后就不知道怎么下笔了！为什么会出现这样的现象？归根到底仍是我校学生对于数式缺乏观察能力，不能通过对数式结构的观察，发现、提出、分析和解决数学问题. 因此，笔者在本题第（2）问的解答过程中对学生做了如下的启发教学，通过对数式结构的观察，培养学生运算创新能力：

师：我们看到不等式f（x）≥x3+1，如何用数学思维理解呢？又能产生哪些方法的联想呢？

生：通过题目中的符号表达，它是想告诉我们：对任意的x≥0，y=f（x）的数值都比y=x3+1的数值大.

师：很好！那么对于两个数值大小比较问题，我们在哪个章节里遇到过呢？

生：在基本不等式的证明中，我们遇到过两个数值的大小比较.

师：那么我们还记得课本介绍了哪些方法证明吗？

生：有作差法（作差，和0比较大小），还有分析法（执果索因）和综合法（由因到果）.

师：太棒了！那么我们先来尝试作差法？

于是，课堂中给了五分钟时间，让学生通过建构h（x）=ex+ax2-x-x3-1，将问题转化到y=h（x）的最小值与0的大小比较问题;经过五分钟时间的努力，学生都发现了要求y=h（x）的最小值，就要求函数y=h（x）的单调性，但是发现ex以及参数a让求导无从下笔.

师：那么，经过五分钟时间的探究，请大家告诉老师，能不能解决y=h（x）的最小值呢？

生：不能，ex以及参数a使得求导过程烦琐.

师：你们太棒了！发现问题比解决问题更重要！你们这么快就發现了本题的主要矛盾了，那么，接下来我们如何解决呢？

生：我们可以尝试分离参数a！

接下来，又一个五分钟过去了，学生发现分离参数后又可以得到一个新的函数g（x）=，而求这个函数的导函数更加复杂，也不好处理.

师：在这五分钟里，请你们告诉老师，ex与参数a，谁让你们更头疼？显然，ex在这个问题中才是处理本题的难点，你们有什么好方法解决这个大麻烦吗？

经过小组讨论，学生觉得可以利用不等式ex≥x+1将ex去掉，于是经过放缩化简得到了a≥x要恒成立，但又发现右边的函数

当x≥0时没有最大值. 显然，想通过放缩使得问题简化也走不通了！

通过不同的尝试，学生都有想放弃的冲动了！但是学习需要毅力，需要坚持，需要我们持之以恒的信心！因此，笔者又继续启发追问：当ex在什么位置就不会影响导函数的结构呢？

显然，当ex在分母或者与整个结构相乘时就不会影响导函数的结构了！（一语惊醒梦中人）于是，就得到了结构≤1，因此建构h（x）=，问题就简化了.

点评 高三数学复习课的目标在于通过解决数学问题巩固和加深学生原有知识概念以及数学思想方法和模型应用能力，促进学生建构完整的知识网络;在平时教学过程中需要有目的地引导学生通过观察数式结构发现问题、提出问题、分析问题和解决问题，从而提升学生的解题运算能力.

[⇩] 通过数学运算能力的提升，培养学生的思维辨析能力

众所周知，数学运算能力是数学核心素养的重要内容，通过运算促进数学思维发展，而思维的基本形式有概念、判断、推理，思维的一般过程包括分析与综合、比较与分类、抽象与概括、系统化与具体化，其中分析与综合是思维的基本过程. 那么，要提升学生的数学解题运算能力，首先就应该训练学生的思维辨析能力，即分析与综合能力. 所以，笔者最后通过例题3的解决教学，通过数学运算能力的提升，培养学生的思维辨析能力.

点评 例题4的解决过程中通过对数式结构的观察，从定义、几何表征、代数以及极化恒等式（重要命题）等多个角度让学生体验解题的愉悦感与成就感.体会从数式结构的改变去理解数学的转化与化归思想，提升学生的数学解题运算能力，培养学生的思维辨析.

总而言之，从上面的例题解决策略与笔者多年的一线教学经验以及对江苏新高考的理解，笔者认为，任何一个数学问题的解决过程都可以看成是一个审美赏美的过程，教师要善于引导学生去观察数式结构中的“美”，如解析几何中的“设而不求”、不等式中常用的轮换对称式、三角函数中的对偶式、圆锥曲线的统一定义、向量中的极化恒等式……让学生发现题目中所体现的数式的简洁美（抽象美、符号美、统一美）、和谐美（对称美、形式美）、奇异美（有限美、神秘美）等，培养学生的观察能力，学会用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界;加深学生对数式结构的理解，感染他们热爱数学、热爱科学、热爱生活、敬畏生命！让学生在数学解题过程中得到愉悦的体验，充实自己的认知、完善自己的知识结构、形成观察数式结构的习惯，提升学生的运算能力，最终达到提升学生数学素养的目的.

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