基于情境的试题设计研究

沐方华

摘要：本文以选择性必修二（高中数学人教A版）第四章的等比数列和等差数列为例，尝试探索发现教科书在例习题编写、相关高考试题及模拟试题的命制过程中，如何进行理论联系实际，充分利用情境设计问题，引导学生学会利用数学知识与方法解决问题，体会数学的实用价值.

关键词：数学情境 数学情境活动 生活化情境 探索式情境

什么是数学情境？数学情境又指数学问题情境，是以真实的问题为依托，即以任务或问题为导向形成的活动场域。数学情境活动，就是指学生在数学情境中为完成目标任务或顺利求解问题而进行的一系列活动。教科书的例题、习题，高考试题及模拟试题均是通过文字和符号、图形化语言设计数学问题情境，以纸笔方式构建，并且数学情境活动的开展同样也要借助于文字和符号、图形化语言。

下面结合高中数学人教A版的选择性必修二中的等比数列和等差数列内容，以2021年合肥市中学数学青年教师“六个一”综合素质大赛命题环节所提供的素材（数列背景的母题）为引例，尝试从数学情境与数学情境活动角度分析研究教科书例题和习题、相关高考试题及模拟试题的设计。

根据素材改编或原创数学试题是教师专业技能的重要表征，一道好题的客观表现就是其情境及情境活动设计的精准有效。

2017年版（2020修订）的高中数学课程标准中明确要求，教师在现实教学活动中，根据教学活动的任务，要设计恰当、接地气的情境，潜移默化培养学生数学核心素养;提出的问题要富有趣味性，具有挑战性，符合学生最近发展区，引导学生学会站在数学的视角去发现问题和思考问题，会运用数学的语言描述问题，用数学的方式方法解决问题。在很多具体的数学问题解决过程中渗透数学思想，能够促进学生理解数学本质，提升数学素养和综合能力。例如新教材中对数列模块内容的要求是：数列作为一类特殊的函数，是数学重要的研究内容，同时在现实社会生产生活中，也有着极其广泛的实际应用价值，要着力培养学生学会在具体的问题情境中，寻找到数量的等比或等差关系，并运用相关知识去解决相应的问题。

一、基于知识运用和生成方式的两类不同情境

在实际教学中，针对不同的数学情境，我们依据数学知识的生成和运用方式的区别，将数学情境分为“生活化情境”和“探索式情境”两种。

（一）生活化情境

什么是生活化情境？这种情境一般立足于数学与相关学科，重视与生产生活的关系，从学科探究发现、现实生产生活等角度设置问题，旨在帮助学生形成用数学知识解释现象、解决问题的能力。例如：

1.北京天坛的圜丘坛有上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），上层中心的9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块。如果每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有 块扇面形石板（不含天心石）。（高考题改编）

2.去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理。预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨。为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算方式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）。（教材例题）

以上问题通过使用涉及生活生产实际的真实背景和真实数据创设情境，将生活问题与数学知识、方法建立联系，可以让学生真切感受到数学就在身边，有利于引导学生利用数学工具合理建模，从而解决实际问题。

（二）探索式情境

探索式情境，即立足于研究与探索的真实过程，从探索探究过程的所思所想设置问题，通常有学习式情境和创新式情境。前者关注基础知识的学习掌握，常从数学定义、运算求解、推理证明等角度设置问题;后者关注知识运用和方法创新，常从探索发现、创新发展、尝试实验等角度设置问题。探究式情境着力培养学生运用创新思维方式、合理进行知识迁移的能力。

分析以上问题情境，从中不易发现呈等差关系或等比关系的量，但可以发现某些量的递推关系。此时往往可以先构建一个用递推关系表达的数列，而这个递推关系可通过代数变换转化为等差或等比关系，或者是等差與等比关系的线性组合，便可顺利解决问题。

二、基于情境的复杂程度差异的两级情境活动

根据现实数学问题情境中呈现情境的复杂程度不同，我们又可将数学情境活动分为“复杂的”和“简单的”两种类型。

（一）简单的情境活动

此层级的情境活动，对认知活动的调用是单一的，只需要启用少部分知识或较浅的能力水平就能解决问题。（教材习题）

6.某汽车集团计划大力发展新能源汽车，2017年全年生产新能源汽车5000辆。如果在后续的几年中，后一年新能源汽车的产量都是前一年的150%，那么2025年全年约生产新能源汽车多少辆（精确到1）？（教材习题）

以上问题情境简单，着重引导学生重视数学学科的基础知识。唯有根深基稳，才能枝繁叶茂;唯有夯实基础，才能更好地成长和发展。

（二）复杂的情境活动

此层级的情境活动，对认知活动的要求比较复杂，需要有一定综合创新能力和较好的学科核心素养方可应对解决问题。

7.在流行病学中，基本传染数R0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数。R0一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定。假设某种传染病的基本传染数R0=3.8，平均感染周期为7天，那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要几轮传染？需要多少天？（初始感染者传染R0个人为第一轮传染，这R0个人每人再传染R0个人为第二轮传染……）

注：对于R0>1，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径。（教材习题）

【拓展1】已知合肥滨湖某地块有部分旧住房需要拆除，初步统计今年年初拥有居民住房的总面积为a（单位：m2）。有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同时也拆除面積为b（单位：m2）的旧住房。如果第五年年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b是多少（计算时可取1.15=1.6）？

以上问题情境较为复杂开放，与社会实际密切相关，或具有探究思辨性，教师要不断总结，启发学生发散性学习和探究，打破他们常规固有的定性思维习惯，培养学生开放发散式思考问题的能力，创新性提出解决问题的方案。其中不少高考试题的命制，常与生产生活实际、国家经济社会发展、科学技术进步紧密联系，问题情境开放且有现实意义，情境活动的选取更是复杂多样，可能涉及数学基础、综合提升、应用创新等情境活动，旨在促使学生积极思考，发现新问题，创新方式，主动运用所学知识分析解决实际问题，从中获得成长。

总之，同一类型的情境，通过设置不同层级的情境活动。简单的情境活动，指向基本知识和能力水平，体现基础性要求;复杂的情境活动，引导学生尝试综合利用已有数学知识和能力去应对生活化、探索式等问题情境，其某种程度上反映了学生综合运用能力的评判标准，体现了数学的应用性、综合性和创新性。

上述八个具体的案例分析，可以发现数学核心素养的培养，最重要载体就是要有合适的数学问题情境，这样才有育人的依托和媒介，因此数学情境是设计数学试题的核心。不难看出，无论是基于新课标的教材中例习题设置，还是基于中国高考评价体系的高考试题及模拟试题的命制，立意为先，再以生活化问题情境与探索式问题情境进行呈现，数学的学习从哪里来理应再到哪里去，现实情境中提炼的数学，再运用于生活实际，实现再创造，再生产，真正实现与时俱进。

在新教材的使用过程中，我们要以典型问题驱动，科学合理创设情境与情境活动，启发学生在运用数学知识解决具体问题的过程中，深入思考，创新思维，探究发现，获得方法，习得能力，让数学学习真实发生着。

参考文献：

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[4]赵轩，任子朝，翟嘉祺.新高考数学应用能力考查研究[J].数学通报，2021（3）：22-24.

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责任编辑：黄大灿

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