数形结合思想在初中数学教学中的运用研究

毛宇佳

摘 要：数形结合思想作为重要的数学思想方法，在数学教学和解题中有着广泛的应用。要运用好数形结合思想方法，需要教师掌握其特点和运用原则，注重从数学概念教学、提高学生解题能力、培養学生数学思维、激发学生数学学习兴趣等方面进行运用，重视在教学中挖掘、渗透和提炼数形结合的思想方法，促进数学教学成效的提高和学生数学核心素养的发展。

关键词：数形结合思想;初中数学;教学策略

【中图分类号】G633.6            【文献标识码】A             【文章编号】1005-8877（2022）01-0037-03

Research on the Application of the Idea of Combination of Number and Shape in Junior High School Mathematics Teaching

MAO Yujia  （Taiyan Middle School， Yuhang District， Hangzhou City， Zhejiang Province， China）

【Abstract】As an important mathematical thinking method， the idea of combining number and shape has a wide range of applications in mathematics teaching and student problem-solving. To use the thinking method of combining number and shape well， teachers need to master its characteristics and principles of application， focusing on teaching mathematics concepts， improving students’ ability to solve problems， cultivating students’ mathematical thinking， and stimulating students’ interest in learning mathematics， pay attention to mining， infiltrating and refining the combination of numbers and shapes in teaching， in order to promote the improvement of mathematics teaching effectiveness and the development of students' core literacy in mathematics.

【Keywords】Combination of number and shape; Junior high school mathematics; Teaching strategy

数形结合是重要的数学思想方法，在数学教学与解题过程中有着非常广泛的应用，著名数学家华罗庚曾说，“数缺形时少直觉，形缺数时难入微，数形结合百般好”，把数学结合思想运用到初中数学教学中，无论对提高数学课程教学成效，还是培养学生的数学解题能力都有着重要的价值，因此教师在数学教学中要注重渗透数形结合的思想方法，从多种途径加强实践运用，才能使其发挥重要作用。

1.数形结合思想的内涵及其运用原则

（1）数形结合思想的内涵与特点

数形结合思想的内涵是指把数学中的代数知识与几何图形知识有机结合，利用各自的特点和优势，快捷、容易地解决数学问题的一种数学思想与方法。其中“数”可拓展到代数、算式、数字、数学概念、数学定理与性质等方面;“形”可拓展到平面与空间几何图形、图表、实物、符号等方面。“数”与“形”通过一定条件的互相联系，并且在一定条件下能够互相转化。数形结合思想方法具有形象性、直观性、又向性的特点。

（2）数形结合思想的运用原则

要想提高数形结合思想在教学和解题中的运用效果，需要坚持科学正确的运用原则：

第一，坚持等价原则。数形结合思想的运用需要建立在代数和几何图形性质相互等价的基础上，并非任何数学问题都能运用，否则就会出现解题不严谨的问题。

第二，坚持双向原则。数形结合思想的运用要坚持“数”与“形”能够互相转化、互相渗透的原则，这样才能有效解释数学问题的本质与内在联系，有利于解决数学问题。

第三，坚持简单原则。数形结合思想方法的运用，要有利于使抽象复杂的数学问题变得简单化，从而有利于提高解题的效率与准确性。

2.数形结合思想在数学教学中的运用价值

（1）利用数形结合思想激发学生的学习兴趣

由于数学知识具有抽象性和复杂性的特点，造成许多学生对数学学习缺少兴趣，特别是有些难度的数学题更是让学生产生畏难情绪，导致学习动力不足，制约了学生数学成绩的提升。如果在数学教学中运用数形结合思想，就能把抽象、复杂的数学知识或数学问题变得形象直观，使学生容易理解、掌握所学知识，提高数学解题能力，能给学生带来成功的体验，有利于转变学生对数学学习的态度，提高学生对数学学习的兴趣和动力，从而为提高数学学习成效奠定良好的基础。

例1：在学习多项式乘多项式时，如果直接进行多项式的相乘法则讲解，学生面对抽象的字母和数字组成的多项式，会让学生产生枯燥、抽象的感觉，难以激发学生的学习兴趣，也不利用学生记忆这些运算法则，如果运用图形配合多项式的讲解，就能使枯燥、抽象的字母或数字运算变得形象直观，使学生容易理解掌握运算法则，有利于学生发现多项式相乘的特点与规律。如计算（a+b）（m+n）时 ，可借助于图1进行理解，能让学生发现两个多项式相乘就是四个长方形的面积之和，这样既直观又容易理解，有利于激发学生的学习兴趣。

（2）利用数形结合思想加深数学概念理解

要想学好数学知识掌握概念与规律是基础，数学概念与规律还是进行数学思维的基础和起点，由于数学概念与规律包含许多知识点，是经过多次抽象而形成的結论，具有高度的抽象性和严谨性，如果让学生单纯地从语言文字进行理解，会给学生带来较多的困难。如果利用数形结合思想，从“数”和“形”两个方面去理解，就能让学生容易理解数学概念与规律的内涵与本质，也有利于学生掌握和记忆数学概念与规律的性质及其相互联系，能构建完整的知识体系。

例2：由于一元二次方程和二次函数属于两个不同的数学概念，为了让学生真正理解两个数学概念，掌握它们之间的相互联系，可利用数形结合思想，借助于二次函数图像，让学生深刻理解两个数学概念，很容易发现两者之间的密切联系。假设二次函数[y=ax2+bx+c（a>0）]的图像如图2所示，通过分析图像与x轴的三种位置关系（相离、一个交点、两个交点），就能使二次函数与一元二次方程相联系，二次函数图像的三种位置关系对应一元二次方程解的三种情况（无实根、两个相等实根、两个不相等实根，并且图像与x轴的交点，就是方程的根）和判别式[b2-4ac]的三种情况（<0、=0、>0）。通过运用数形结合思想，不但能让学生加深对一元二次方程与二次函数概念的理解，还能把两者有机结合起来，这样学生在遇到函数问题或方程问题时，就能通过相互转化，拓展解题思路，从而快速解决问题。

（3）利用数形结合思想提高数学解题能力

解题是数学学习的核心，提高学生的数学解题能力也是数学学习的主要目标，把数形结合思想运用到学生的数学解题训练中，能够把抽象的数学问题变得形象直观、使复杂的问题变得简单容易，使学生非常容易找到解决问题的方法，从而有效提高学生的数学解题能力。

例3：已知[a]、[b]均是大于0的正数，且[a+b=6]，求：[a2+4+b2+9]的最小值。

解析：对于这样代数求最小值的问题，大多数初中生不容易直接通过代数运算的方式求出结果，如果借助数形结合思想，转换解题思路，把代数问题转化成几何问题，构建两个直角三角形的斜边，这样此题就容易求解。可构建如图3所示的图形，从图中可看出把此问题变成了求解MN+NP线段的最小值的问题，也就是MP两点之间的最短距离的问题。通过做辅助线，求出⊿MQP的斜边MP就是代数式的最小值。[MP=AQ2+QP2=52+62=61]，可见通过数形转换，使该问题比较容易求解。

（4）利用数形结合思想培养数学思维能力

要想提高学生的数学学习和解题能力，需要重视培养学生的数学思维，在数学教学中运用数形结合思想方法，可以从“数”和“形”两个方向认识和理解数学知识，可以用形象思维理解抽象的代数问题，有利于发展学生的直觉思维。可以用代数的抽象思维理解图形问题，有利于培养学生的创造性思维。

例4：比较[1m]与[m]的大小。

解析：虽然比较两个代数式大小的方法有多种方法，但都比较烦琐，如果运用数形结合思想方法，通过构建两个函数，借助于图形的直观性就容易解决此问题。可构造两个函数：[y1=1x]，[y2=x]，将两个函数的图像放在同一坐标系中，如图4所示，就能形象直观地看出：

当[m=±1]时，[1m=m];当[m<-1]或[0<m<1]时，[1m>m];当[-1<m<0]或[m>1]时， [1m<m]。运用数形结合思想方法，不仅使解题变得非常简单，而且还打破了学生的思维定式，培养了学生的思维发散能力，使学生的数学思维更加灵活。

3.数形结合思想在数学教学中的运用策略

（1）加强数学教材内容研究，挖掘数形结合思想素材

虽然数形结合思想方法是重要的数学知识，但教材并没有用单独的章节介绍数形结合思想方面的内容，这些知识都隐含在教材各章节的知识中，要对学生开展数形结合思想教学，需要教师加强对教材内容的研究分析，全面挖掘教材知识中包含的数形结合思想方法素材，才能为课堂教学提供丰富的教学资源。例如，在“有理数”这一章中，把有理数在数轴上表示，在数轴上表示绝对值，有理数加减乘除运算等都包含着“以形助数”的数形结合思想素材;在勾股定理、位置与坐标、平面直角坐标系、一次函数的应用、一元一次不等式、反比例函数图像及应用、一元二次方程、二次函数的图像与性质、完全平方公式、三角形内角和与面积、统计图形分析、相似三角形性质与判定、成比例线段等知识中都包含着丰富的数形结合思想方法的素材，充分挖掘这些素材才能为教学提供丰富的资源。

（2）加强数形结合思想渗透，重视数学解题应用训练

由于数学思想方法是高度抽象和浓缩的数学知识，要真正理解掌握其本质和精髓，并能做到熟练运用，需要教师在平时的教学中，有目的、有意识地加强数形结合思想方法教学内容的设计，重视对数形结合思想方法的渗透教学，使学生养成自觉运用数形结合思想方法的意识。要加强数形结合思想方法运用的解题应用训练，才能不断提高运用数形结合思想方法解题的能力。首先，加强模仿应用训练。就是参照教材和教师所讲例题中数形结合运用的例子，进行模仿解题训练，让学生初步了解数形结合思想方法运用的基本方法步骤，体会数形结合思想方法的本质内涵;其次，自主解题训练。就是让学生开始自主进行数形结合思想方法解题训练，逐渐掌握数形结合思想方法的运用技巧。

（3）加强数形结合思想总结，积累数形结合运用经验

要提高学生对数形结合思想方法的运用能力，需要进行长时间的总结和积累运用经验，因此在数学教学中，教师要注重指导学生在数学学习和解题训练中不断总结运用技巧、积累运用经验，才能使学生的数形结合思想方法运用能力得到提升。例如，在学习了一次函数[y=kx+b（k≠0）]知识后，可从对① [k>0]情况下：[b=0]、[b>0]、[b<0]时和② [k<0]情况下：[b=0]、[b>0]、[b<0]时的“数”（函数解析式）、“形”（函数图像）和函数性质三个方面的关系进行总结;同样也可对二次函数[y=ax2+bx+c]在[a>0]、[a<0]、[a=0]不同情况下的“数”“形”“性质”进行归纳总结。通过归纳总结，就能让学生发现这些函数中包含的数形结合思想方法，使学生在数学解题应用中熟知不同情况下的数形结合运用技巧，从而有效提高学生的数学解题能力。

4.结语

总之，把数形结合思想方法用于初中数学教学中，无论是提高课程教学成效，还是发展学生的数学核心素养都具有重要的意义，因此教师要注重全面挖掘教材中的数形结合思想运用事例，加强数形结合思想方法的渗透教学，重视归纳总结数形思想运用技巧，从多方面发挥数形结合思想方法的作用，促进初中数学教学成效的提高，使学生的数学核心素养得到全面发展。

参考文献

[1]黎家能.数形结合思想在初中数学教学中的应用研究[J].读书文摘，2016（20）.

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