高中数学复习“一题多解”案例详谈

曾凡彩

在数学教学中，体验、思考和表达在同一个问题的发生过程中是相互依存、不可分割的。因此，要想加快实现“三教理念”下的高中数学复习课堂“一题多解”的问题研究，需要注重对新课标下的多元化的核心素质需求加以落实，以此实现高中数学复习课的案例教学研究，另外还可以创新教师的教学理念，最终实现学生的全面素质培养。本文将对高中数学复习课中的案例展开具体性的阐述，进一步分析基于“三教理念”下，学生在进行高中数学复习课“一题多解”过程中，凸显出数学思维的活跃性、实践活动性、表达准确性的特点。如何在高中数学复习上加快实现“三教”理念的落地生根是当下教师团队应该思考的问题，需要教师在具体的教学实践中深入探讨，为最终实现学生数学核心素养的提升奠定基础。

一、“一题多解”的内涵及重要性

“一题多解”指在同一道数学题的计算基础上，从多个角度出发形成解题思路，然后得出问题的答案。在高中教育阶段及数学课堂的学习过程中，学生必须具备一定的一题多解能力，然后结合自身的学习实践，在掌握一题多解内涵上突破课堂教育。一题多解的内涵是高中数学复习课堂实践中的重要组成部分，能在多种解题思路以及方法解答的运用中对题目进行多个层次的分析，结合关键的研究对象展开多角度的调查，最终发现各个角度的切入点与突破点。另外，一题多解在高中数学课堂的作用下，能有效拓展学生和教师的解题思路，并且实现发散性思维能力与解题水平的提高。除此之外，在一题多解方法的不同角度下，往往会涉及多个层面的数学思想和数学方法，由此看来，一题解在学生综合能力掌握及知识运用的方面能发挥出提升作用。经过一题多解的课堂训练后，学生能在数学问题的线索及思路中找到多种简单的解法，这也是一题多解能力提升的具体表现。

二、高中数学解题的常见问题

在高中学生对数学问题进行解答的过程中，由于思维能力等方面的原因，学生很容易因为以下问题出现解题思路错误的情况：

（一）容易混淆题目概念

由于当前数学考试和练习大多都是对基本知识和基本概念的考查，許多学生解题错误还是由于对基本知识记忆不牢以及概念混淆而导致的，比如，关于集合部分的学习中，对于需要计算的部分少之又少，基本都是对基础概念的掌握、对数字或者算式进行分类。例如，复数部分的相关知识：对于一个常规的复数表示为虚部和实部两部分，不过在对复数方程进行解析时，相当一部分学生就很容易忽视虚根的存在，只看见了实数根会导致答案不完整进而丢分。其主要问题还是在于学生对于主要概念的理解不透彻，一看到复数求解方程并没有想到实数解和虚根的概念，比如，[x4=1]，求[x]的值。这个题目也不算特别复杂，很多同学基本就会写上[+1]和[-1]，但是忽略了[+i]和[-i]这两个虚根，其根本原因就是忽视了虚根的概念，对题目本身的意义和内涵不够重视，因此就无法对相应的问题作出完整的解答。

（二）缺少多种解题方法应用

数学问题在解答时往往是比较开放的，大多数问题的解决方法至少有两个以上，因此掌握多种解题方法可以在遇见不同条件的问题时能够选择最便捷的方法去解决问题，从而提高做题效率。但当前由于教育模式问题，大多数教师都只教给学生单一的解题方法，也没有给学生充足的思考空间，因此大部分学生很难掌握多个解题方法，有的学生还会以为当前解题方法过于复杂导致一些小错误的发生。例如，在解析几何中关于线和面以及面与面的关系中，尤其是求夹角度数的时候，往往会有至少两种解决方法，第一种是利用几何的方法，第二种则是引入坐标系，利用向量来解答。此时就需要引导学生根据题目所给出的条件进行方法选择，一定要选择最直观且最简单的方法。若是题目给出的是有规则的图形或者有建立坐标系的基本条件，就可以利用向量的方法去求解法向量，否则利用几何的方式更容易解决问题。

三、高中数学复习“一题多解”思路的必要性

在高中数学复习课的教学环节中，学习需要兴趣复习，更需要激发兴趣，因此，高中教师应结合当下大多数高中生数学兴趣不足及课堂现状，进一步探索一题多解思维的创新，让学生投入知识模块和综合运用解题过程中。高中数学的挑战难度较大，学生在学习新东西的同时难免会激发求知欲。因此，学生和教师都应该投入一题多写课堂中，结合问题情境的导入学习新知识，增加课堂新鲜感。除此之外，在生动导入和综合性题目的解答中认识到一题多解思维的重要性，能引领学生进行长期的做题训练，进一步提高学生的数学成绩。“一题多解”在学好数学、提高学生数学思维能力方面发挥出必要价值，在一题多解与一题多变形式下的数学思维拓展及案例复习可以培养学生广阔性、深刻性、灵活性的数学解题思维，这也是提升数学成绩的有效途径。

数学课堂能拓展学生的逻辑思维，并且激发他们的课堂学习效率，因此，教师应该加快提高高三数学复习课的质量。大多数学生在处理数学问题时，认为数学概念与公式相对死板，在课堂上能听懂例题和题目，却不会做数学，不能结合生活实际。如果数学案例的题目与实际生活无关，那么它就失去了教学的价值，因此，在数学一题多解的复习活动中，应重视解题过程的生活化，并且从中带领学生体会探索的兴趣。除此之外，学生还可以在一题多解方法的利用下挖掘和分析题目线索，并且运用到多个模块的知识中。数学复习课一题多解思路的运用，能带领学生掌握通性通法，学生可以在横向、纵向等多个角度认识到模块与知识之间的联系，在能力与经验积累的过程中不断掌握问题的解决方法，最终展示出高中数学课堂知识点和一题多解乐趣对数学成绩的推动作用。

四、一题多解在数学案例中的具体运用

五、高中数学复习“一题多解”案例的新思考

（一）教思考，引发学生“想”

在具体的数学课堂教学实践中，教师的教学模式以及在内容上的选择将会直接影响学生对课堂数学知识的学习和掌握，“三教理念”在高中数学复习课上的融入与创新，能激发教师在实际的教学任务中提起对学生思维方面的重视。教师应该格外注重自身教学内容要能推动学生多元化的问题思考，并且进一步将学生掌握的知识体系加以全面性、深刻性的整合。由此看来，高中数学复习课的教学活动中，数学教师应起到一定的引导作用，引发学生在加快掌握数学知识逻辑的同时进一步整理“一题多解”的脉络，再对高中数学教学的知识掌握中进行多方位的分析与渗透，保障学生进一步学会用“一题多解”的数学逻辑思考问题。

比如，高中数学题型中涉及“充分条件与必要条件”的知识点，教师可以在课堂实践中引导学生主动思考，充分发挥想象，在挖掘问题本质的同时，加快实现“一题多解”的教育目标;教师可以在利用学生当下逻辑思路的基础上，为学生创造自由发挥的问题情境：①杨利伟是第一位登上太空的人，本身拥有的“身体条件优势”和“成为宇航员”之间存在怎样的联系？②老师今天生病，我生病是否能好和我吃药打针之间有什么联系？

由此看来，在高中数学复习课上，教师应该注重教思考的重点，主动引导学生思考，并且以数学知识为载体，以核心问题为驱动，加快实现学生解题思路以及数学逻辑上的“想”。学生在思考的过程中应该加快形成自身的数学知识体系，在思考问题发生的背景和解题方法的实践环节中，应该积极寻求相对应的解题思路。数学本身作为人类思维活动中的创造性活动，数学知识的创造来源于人类的思考。

（二）教体验，推动学生探本质

数学学科是一种创造性的活动，需要学生在数学知识的学习过程中提高自身的主动创造性，这也充分体现出高中数学教学课堂上数学体验的重要性，也是加强学生对问题本质的思考并将思考的内容转化为实践的途径。教师要保障学生在及时掌握知识内容和技能的同时，进一步发现问题、提出问题以及解决问题，充分体验数学文体当中的逻辑脉络。例如，将高中数学复习课中提到的问题展开跟组讨论，将其中的结构展示出来，并且进一步引导学生解决问题：①[y=x+2x2+....+nxn]的公式和为多少;②[{an}]属于等差数列的范畴，其中[{bn}]作为各项为正数的等比数列，并且[a1=b1=3]，[a2=b2=24]。

本题可以使用换元法解决数学数列，数列公式的推算能得出通项公式的答案，并证明第一个问题，求出来的公式也就是等差数列和等比数列的形式。此外，运用错位相减的方法，将条件的公式整体代入证明最后结论。还可以巧妙地运用题目求证，结合定义先证后求整体代入。

在题目基础上，不断推动学生对“一题多解”思路的掌握和使用，可以培养学生的创造性思维。数列问题是高中数学复习课中的重难点，同时，该案例的解题思路与方法也是通法，所以结合已知条件和解答技巧就能求出公式和问题的答案。由此看来，基于“三教理念”的高中数学复习课“一题多解”的创新研究，是推动学生进一步深化掌握高中数学知识必备的思维活力。“教思考、教体验、教表达”作为“三教理念”的主体内容，可以引导学生在高中数学复习课上提高自身的思辨能力，并且将所掌握的理论内容进行实践性的技能强化。

（三）教表达，加强互动与沟通

高中数学复习课上的表达主要针对课堂内容上的思考和体验之后的结果，再加上数学课堂上的学习本身属于特定性的实践活动，所以教师应该格外重视与学生的教学互动，解答学生在学习中遇到的疑惑，并激发学生的数学表达，比如，（1）[1.72.5]，[1.73];（2）[0.8-0.1]，[0.8-0.2];（3）[1.70.3]，[0.93.1]。在高中数学复习课的教学实践中，数值上的比较和变化都存在于（1）（2）（3）中。学生表达：（1）和（2）的数列比值存在幂的底数相同的特点，但是幂的指数存在差异，（3）的幂的底数和指数都不属于同一行列。教师提出问题：请学生将指数数值大小相同的方法陈述出来。数学思想与变量之间的联系，能通过数学观点寻求问题的解答，这也是一种最为基本的数学思想方法，同时表现出函数性质和理论的运用价值。

一题多解在高中数学复习教学中的运用，能帮助学生提高数学能力和学习数学的兴趣，这个案例就是要求学生在数学复习中利用问题所提供的一切条件进行对比联想，并且采取一题多解的形式解答问题，数学公式在数学问题中的运用也十分重要。学生在应用一题多解时要注意数值上的转变以及数列比值，注重自身的表达与文字描述，提高对公式及条件的严谨性。

“三教理念”下的高中数学复习课“一题多解”的创新性发展具有现实性意义，再加上教师在高中数学课堂上起引导作用，可以在一定程度上引导学生将脑海中的“想”转换成“做”，并且将“做”转变成“说”，以此在“做”和“说”的基础上进一步引导学生在复习课题中展开进一步探索，积极发现新问题。

六、结语

综上所述，高中数学复习课的实践教学活动中，“三教理念”的应用在一定程度上起到推动作用;教思考、教体验、教表达的创新教学观念将会促使学生对数学课堂上出现的同一问题的解答思路加以创新，逐渐掌握“一题多解”的数学逻辑;还可以在高中数学复习课中将多提出的解题过程相互依存。其中，“三教理念”之间的内容上具有难以分割的联系和特点，再加上课堂教学环节中的理念和侧重点存在差异，这种教学模式可以一方面引发学生多角度地思考，另一方面可以不断充实学生知识解题思路，凸显出学生在“三教理念”教学模式下的主体地位，并充分发挥出教师在实践课堂上的引导作用。

注：本文为贵州省民族地区基础學科质量提升专项课题“‘三教’理念优化布依族苗族地区学生数学学习方法的研究”（立项编号：MJ21078）的成果。

（邱瑞玲）

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