数形结合在小学数学教学中的应用研究

王先贵

摘 要： 在小学阶段“图形与几何”的教学过程中，渗透数形结合思想，能够更好地使学生利用以数解形的方法学习图形。本文利用新人教版中的《长方形和正方形》《三角形的分类》以及《平行四边的面积》几部分内容，对数形结合的编排进行整理，概括出数形结合在“图形与几何”教学中的作用。

关键词：数形结合;数与形;小学数学

【中图分类号】G623.5            【文献标识码】A             【文章编号】1005-8877（2022）06-0004-04

Research on the Application of Combination of Number and Shape in Primary School Mathematics Teaching

——Take the Teaching of "graphics and Geometry" in Primary School Mathematics As an Example

WANG Xiangui  （Gengjiazhuang Primary School， Chengguan District， Lanzhou City， Gansu Province，China）

【Abstract】In the teaching process of "graphics and geometry" at the primary school level， infiltrating the idea of combining figures and shapes can better enable students to learn figures by solving figures and shapes. This article uses several parts of "Rectangles and Squares"， "Classification of Triangles" and "Area of Parallel Four Sides" in the New People's Education Edition to organize the arrangement of the combination of numbers and shapes， and summarize the combination of numbers and shapes in the teaching of "Figures and Geometry" In the role.

【Keywords】Combination of number and shape; Number and shape; Primary school mathematics

数形结合思想简言之就是把抽象的数量关系和数学语言转换成直观的几何图形或位置关系，从而更便捷地解决问题。数形结合可以分为三种类型：以形助数，以数解形，数形互依。以形助数是指借助图形的直观来阐释数的抽象;以数助形是通过数的精确来阐释图形的某种性质;数形互依是借助数与形之间进行的等价转换来解决数学问题。

在小学数学“图形与几何”中，图形的定义一般都含有图形的数量关系，如“由3条线段围成的图形（每相邻两条线段首尾相连）叫作三角形”，“封闭图形一周的长度，是它的周长”……这些图形的定义都是图形的“数”及数量关系的描述，而单纯地描述这些数学语言无法让学生联想到相应的图形。因此，在认识数学图形时，可以利用数形结合在学生脑海中建立图形与相应数量关系的桥梁，通过数形结合将复杂、抽象、难懂的数学问题形象化、简单化，开阔学生的思维视野，使学生的思维更加清晰，形成数学思维，掌握数与形之间的对应关系，从而提高学生的数学综合素养。

1.数形结合在图形认识教学中的应用

小学阶段学生的认知水平、理解能力还处于发展阶段，相比成年人较差，在理解与学习抽象的数学知识时缺乏自主理解能力与自主意识，在分析问题时需要在教师的启发与引导下才能理解与掌握新的内容，但如果在教学中教师使用直接讲解的方式，将数学问题的解答方式与运算过程直接讲解出来，对学生的思维能力、逻辑能力有一定的限制性，学生只是跟着教师的思路分析问题，并不能完全理解如何运用已学知识解决实际问题，且学生也无法学會转换思维，对学生学习效率及数学核心素养的发展十分不利。而数形结合使抽象的概念直观化，帮助学生转换思维，因此，在教学中教师应注重根据教学内容，合理运用数形结合的方式开展教学，将教学中抽象的数量问题转化为图形进行讲解，或使用以数解形的方式帮助学生树立知识，构建知识结构，使学生更加清晰地了解图形中的数量关系，将图形与数量关系联系起来，构建完整的知识体系。在小学数学“图形与几何”的教学过程中，总能用到以数解形的方法。例如，在学习《长方形和正方形》时，如果在教学中只告诉学生正方形的四条边，四个直角都相等这些复杂的数量关系，并不能在学生脑海中形成相应的图形，图形的特征也不能与数量关系相结合，这时候就需要用“形”来进行直观的表现。如在教学时，先让学生找一找、说一说分辨正方形与长方形与其他图形的区别是边数的多少，再让学生对正方形和长方形的边和角进行测量，得出边与角的数量关系，并比较得出正方形和长方形边和角之间的相同和不同。通过以上一系列的操作，将“数”与“形”结合起来，使学生通过观察、比较将正方形和长方形的数量关系与图形结合起来，培养了学生的图形思维能力。

然后通过在格子图中画长方形和正方形，在学生动手的过程中再一次直观地感受“数”与“形”相结合的过程，经历由图形——数量关系，再由数量关系——图形的过程，让学生充分体验到图形的数量关系与图形之间是相辅相成的。用剪一剪的方式，让学生在一张长方形纸上剪出一个正方形，让学生感受数量关系的变化导致图形的变化。不仅区分了正方形和长方形数量关系的不同，更让学生体验数量关系的变与不变能引起图形的变化。

因此在“图形与几何”的图形概念教学过程中，要有针对性地选择所学图形和数量关系相结合的数形结合思想进行讲解。把复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，从而实现学生认识图形的目的。

2.数形结合在图形的特征教学中的应用

《三角形的分类》一课属于“图形与几何”的范畴，在教学开始时直接引入话题，让学生观察图形。在这个过程中，学生归纳总结了不同种类的三角形。从不同的角度挖掘学生的潜力，让学生在运用数形结合思想的同时感受不同三角形的数量关系的不同。下面就以《三角形的分类》教学片段为例，阐述数形结合在“图形与几何”教学中的作用。

（1）数形结合，感受分类标准

同学们看看，老师手里的图形都是什么形状？

逐个出现7个三角形。

预设：等边三角形、对角三角形、直角三角形……

都是三角形，它们完全一样吗？

通过对7个三角形的比较，感受不同三角形的边和角的不同，通过观察和比较，测量出不同三角形的数量关系。通过“数”的不同对三角形进行分类。

（2）数形结合，自主分类

请同学们拿出红色学具袋中的三角形，想一想，你能对这些三角形进行分类吗？

要求：①自己动手分类。②想一想你为什么这样分？

学生小组合作分类摆放。

老师的三角形和你们的三角形形状相同，为了让同学们看清楚，哪位同学愿意到黑板上来摆一摆？

学生展示摆的过程。

小组汇报分类结果。

认识按角分类的三类三角形。

提问：为什么把这几个三角形分成一类？

学生说出分类理由。

你能给每一类三角形取一个名字吗？

在学生分一分、摆一摆、说一说和给分类的三角形取名这些数形结合的操作过程，都是通过三角形角的数量关系对图形进行分类的。不仅在过程中体现出每个三角形数与形对应，也能在此过程中对三角形的特征有一个更深刻的认识。

3.数形结合在《平行四边形的面积》教学中的应用

小学数学中，图形与其数量之间的关系，不仅体现在图形的定义、图形边角之间的数量关系上，还表现在图形的公式、定理或运算法则中。比如三角形的面积=底×高÷2，将图形的面积用三角形边的数量关系展示出来，充分体现了数形结合中“以数解形”的方式。将图形问题代数化，能够帮助学生建立立体的知识结构。在运用“以数解形”的方式分析、解决图形问题时，教师应注意引导学生正确理解图形的运算规则，不能只是向学生讲解图形公式的计算方式，而是要让学生理解数学题目中的数量关系与公式运用方式。同时教师在使用“以数解形”的方式开展教学时，应注重合理使用参数建立对等的数量关系，用数据作为参考分析图形问题，以此实现以数解形，突破教学重、难点。并根据学生的特点用简洁准确的数学描述，让学生全面理解“形”的特点，引导学生从“数”的角度揭示“形”的规律。

又如，在《平行四边形的面积》教学中，通过在知识点中运用“以数解形”的方法，简要而准确地描述平行四边形的面积=底×高。这就体现了数形结合中用平行四边形面积与底和高之间的数量关系。学生在掌握平行四边形的面积计算公式前，需要让学生经历操作、观察、讨论、分析、归纳等数学过程。

先让学生联系平行四边形的面积与长方形的面积之间的关系，感受图形之间的关系。由图形相关数量的变化引起图形其他的数量变化。接着让学生数一数方格，明确平行四边形的面积也是在单位面积的基础上对图形的面积进行研究，面积与单位面积的计算就转化成为数量之间的计算。然后，让学生拼一拼，目的是让学生将平行四边形的面积公式转化为长方形的面積公式，这样就将平行四边形的数量关系转化为长方形的数量关系。进而根据学生的操作归纳出了平行四边形的面积公式。

通过以上活动让学生体会到面积的变化引起的代数式的变化，“形”与“数”相辅相成，将复杂的图形数量关系用简洁的数量关系式表示，体现了数学中的简洁，也让学生感受到数形结合在几何图形学习过程中的作用。

在小学数学“图形与几何”部分的学习过程中“以数解形”的方法运用较多，借助“数”精确而简洁的优势，将“形”向“数”转化。图形的定义、特点、公式以及运算法则等数量关系描述“形”的特点。通过大量数形结合的活动，让学生建立“数”与“形”之间的关系，充分将抽象思维和形象思维相结合，让学生对图形及图形的数量关系理解得更深刻。

4.强化数形结合概念的教学

小学数学的学习大部分内容来源于生活，本身有很强的逻辑性和理论性，这也导致数学所涉及的概念和定理很多，学生需要在学习过程中，对这些概念进行概括。而学生的年龄比较小，自主概括的能力还比较弱，在学习中很容易出现概括不到位的情况，这对学生的学习将造成很大的影响，甚至打击学生的学习自信。因此，在小学数学的教学中，教师要发挥自身的引导作用，帮助学生借助数形结合的方式，使一些在学习中比较抽象的概念具象化和简单化，让学生可以对数学概念的认知更加顺利和简单。在数形结合的帮助下，学生可以更好地把握概念的本质，从文字层面上摆脱出来，对概念和定理进行更加深刻的学习，逐渐养成学习思维。概念学习最重要的是要形成深刻的印象，很多学生在学习概念以后，没有进行及时的复习，就很容易将相似的概念进行混淆，这是由于文字层面的限制性没有图像深刻。而在数形结合的教学中，学生可以看到文字向图形过渡，在学生的内心可以形成更加深刻、持久的印象。

例如，教师在对分数的相关知识进行教学时，发现学生在做判断题和计算题解答时很容易出错。通过一段时间的分析，教师发现主要是因为学生对分数的概念认知还不明确，对分数的理解还停留在以往学习的整数层面。对此，教师可以在课堂教学过程中引入数形结合思想，将分数向图形进行转变，让学生可以在图形的组成构建下，对分数的概念有更加清晰和明确的认识。在实际操作方面，教师可以让每一个学生都准备一张白色的A4纸，然后让学生将白纸进行对折，再对折，再对折，然后将纸摊开，可以看到白纸上被分割成8个大小相等的格子。学生可以在这个格子中画上自己喜欢的颜色，然后去计算不同颜色的格子分别有多少个。有的学生画了5个黄色的格子，而白纸上一共有8个格子，那么黄色的格子就占了白纸的八分之五。通过这样的方式，学生不再单纯地依靠文字和抽象的理解，了解分数的概念，而是能够在图形的帮助下，对照所学知识，了解分数代表的含义以及作用。

5.运用数形结合，提高学生的解题技巧

数学本身的特点和性质决定了会在学习中遇到各种问题，对于习惯用思维思考的学生来说，很难理解抽象的数学知识点。在小学数学教学过程中，教师不仅要把基本的数学知识点教给学生，还应该引导学生掌握相应的解决问题的方法和技能，以便学生把解决问题的能力运用到数学问题的解决上。加深对知识点的理解和认知也是提高学生数学核心素养的关键，在数字和图形结合的帮助下，教师可以简化数学知识和数学问题的难度，让学生在掌握规则、分析问题和解决问题的过程中找到解决问题的方法，面对带有复杂问题解决步骤的抽象应用问题，教师应该使用数字和图形相结合的想法，提高学生的问题解决能力。在数形结合的帮助下，学生对问题的看待方式会变得更加直观，从不同角度对问题进行分析，提取问题中自己需要的内容，然后在自己的脑海中构建出相应的图形，这样可以使学生在解题的过程中更加迅速，并且把握整个问题的整体走向，让解出的答案更加准确。

例如，教师在开展《积的变化规律》的时候，可以利用长方形面积模型帮助学生理解积的变化规律。首先，教师可以在黑板上绘制一个长方形，长10米，宽8米，然后教师再引导学生进行猜想：“学生们，当这个长方形的长不变的前提下，将它的宽扩大2倍，那么长方形的面积会发生怎样的变化？而如果当长方形的长不变的时候，它的宽缩小到原来的1/2，那么长方形的面积又会怎样变化？”在教师提问结束后，学生可以尝试进行计算，根据教师在黑板上绘制的长方形进行联想，并且提出自己的想法。在学生思考以后，教师可以通过多媒体课件的方式为学生展示，让学生可以直观地看到：黑板上的这个长方形的长不变还是10米，但是宽扩大两倍，变成了16米，图形产生了变化，根据长方形的面积公式计算，长方形的面积也随着扩大两倍，教师可以给学生展示变化后的长方形。而长方形的长不变，宽缩小到原来的1/2，根据长方形的面积公式计算，它的面积就缩小到原来的1/2，教师也可以展示变化后的图形。学生在直观的图形变化和对比中，对“积的变化规律”的认识变得更加深刻。

6.设置情境教学，提高学生的理解效果

在小学数学教学中，应用数字与图结合的想法需要数与形之间相互帮助。在强调“用图形帮助数字”的同时，不能忽视“以数解形”，只有一起工作，才能更好地解决数学问题。在实际教学中，教师需要注意情境的创造，营造良好的环境和氛围，让学生站在相应的学习情境中，更好地理解数学知识。通过情境教学可以让学生投入学习中更加深入，对数学知识进行更好的理解，并且在情境教学时可以将数形结合的作用发挥到最大。教师可以让学生将数学知识转变为图形，再通过举一反三的方式，将图形转变成数学知识，将自己学习到的知识更好的在实践中进行体现，提高学生的知识运用能力。并且在日常学习和生活中，需要引导学生对知识进行利用和理解，形成一个良好的学习习惯，为之后的学习打下良好的基础，培养学生良好的思维方式。

例如，在教授“時、分、秒”的知识时，可以让学生理解时、分、秒针表示的意思，让学生整理自己的时钟，明确教科书标题和时钟时间的关系。教师可以说出一些时间，然后让学生进行时间的调试，以达到教师的要求。实践练习后，只要学生一看到时钟，就会在心中形成清晰的图像，从而更容易解决与时间相关的问题。为了加深对相关知识点的理解和认知，教师应该引导学生回家后观察钟表以外的东西，如观察桌子的长度和宽度，判断其大致面积，通过测量进行验证等。这样，可以在学生心中形成比较稳定的印象，数字和形状之间有密切的关系，数字和形状的组合，可以促进数学问题的简化，确保良好的解决方案效果。

7.结语

综上所述，在小学数学教学中运用数形结合的方式开展教学能有效解决教学重难点问题，培养学生的思维转换能力、抽象思维能力，教师应将数形结合方式熟练应用到小学数学教学中，使学生更好地理解抽象的数学知识，并学会运用已学知识解决问题，以此提高教学质量，促进学生全面发展。

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本文系甘肃省教育科学“十三五”规划2020年规划课题“数形结合思想在小学数学教学中应用的研究”（课题批号：LZ2020_000670）。

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