微积分发展史与高等数学课程结合的教学案例

马纪英

（上海理工大学理学院 上海 200093）

0 引言

在高等院校的数学教育中，高等数学是一门重要的公共基础课程，是学生进一步学习专业课程的重要基础，具有非常重要的不可取代的专业服务和素质培育功能。高等数学课程的主要内容是17、18世纪以来创建和发展的微积分的内容，其特点是教学内容繁多，理论知识框架复杂，需要记忆和理解的概念、定理和公式相对较多。并且在实际的教学中，高等数学内容偏多，课时偏少，因而是大多数本科新生普遍认为抽象难懂，枯燥难学的数学公共课。

目前绝大多数高校采用的《高等数学》教材，都是在历史上已有的数学材料的基础上，按照课程的总体大纲和学习要求编著而成的。我们学生接触到的教材的教学内容都是精练的现成的，而对很多重要的数学概念的来龙去脉以及很多定理结论产生的实际背景阐述较少。在我国高校的数学教育中，大多数学生对数学史方面的基本内容知之甚少。因此，我们在高等数学的教学设计中，可以将数学史特别是近现代数学史的内容与课堂教学有机融合，在高等数学的关键章节适当强化数学史的背景，比如极限概念的形成历史，微积分的创建和发展历史，无穷级数的研究过程，以及相应的著名数学家的研究工作等。笔者从多年的实际教学经验出发，探讨了高等数学中与微积分的发展史结合的两个教学案例，从而提高学生的学习热情，启发学生进行科学探索的勇气和思路。

1 教学案例

微积分的思想可以追溯到两千多年前，东西方不断有学者尝试用某种分割的策略解决计算几何图形的面积以及求切线的问题。十七世纪微积分的创建，被认为是欧几里得几何后全部数学最大的一个创造。微积分的创立主要是为了处理十七世纪科学中四种类型的问题：第一类是求物体运动的速度与加速度及其反问题；第二类来源于几何上求曲线的切线问题，并且与光学研究中光线的传播规律密切相关；第三类是求函数的最大最小值问题；第四类是求曲线的长度，曲线所围图形的面积以及曲面所围立体的体积等，即现在高等数学课程里所讲的积分问题。这四类问题有较强的应用背景，而且与我们现在所学的高等数学课本知识密切相关，本节我们将讨论微积分发展史与高等数学课程融合的两个具体教学案例。

1.1 极限概念的背景

极限论是微积分理论的基础，而极限的严格化定义是极限论的核心。作为高等数学课程开始的一个重要定义，很多学生会感觉数列极限和函数极限的定义比较抽象，晦涩难懂。因此我们在教学设计中，可以先从两个具体的例子引入。

第一个引例是中国古代数学家刘徽提出的“割圆术”。刘徽是公元3世纪中国古代著名数学家，代表作是《九章算术注》和《海岛算经》，其割圆术的表述为：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。接着通过一个几何图形展示用正多边形的面积去近似圆的面积，从圆内接六边形开始割圆，每次多边形的边数 n倍增，随着n不断增大，正多边形的面积与圆的面积“无限接近”。当 n=192时，可计算得圆周率=3.14，当n=3072时，可计算得=3.1416。圆周率是学生非常熟悉的内容，而且也是中国古代数学具有代表性的成就之一。通过这个引例，将极限的概念与学生已有的知识储备结合起来，使得学生愿意主动去理解掌握这个概念，同时增强了我们的数学文化自信。

第二个引例是芝诺悖论之追龟说。芝诺是爱利亚学派的奠基人巴门尼德的学生，芝诺的论证在哲学史上影响深远。亚里士多德的《物理学》当中共记录了四个芝诺关于运动的论证：二分法、阿基里斯与乌龟、飞矢不动以及运动场。这些悖论思考了运动与静止，连续与间断的关系，其中前三个悖论与极限这个概念紧密联系。追龟悖论讲的是古希腊时期跑的最快的阿基里斯追不上前面速度极慢的乌龟。芝诺争辩道：当阿基里斯跑到了乌龟现在所在的地方，这时乌龟已经向前爬了一段距离，当阿基里斯又跑到了那个地方，乌龟已经又往前爬了一段距离，以此类推。接着画一个简单的示意图，展示阿基里斯追乌龟的过程。这个题目可以归结为一个简单的数学应用题：已知阿基里斯和乌龟相距100米，假设阿基里斯的速度为100米/分，乌龟的速度为10米/分，问阿基里斯多长时间能追上乌龟?设阿基里斯需要 t分钟，则 100*t=100+10*t，解得t=10/9。即阿基里斯在有限的时间里可以追上乌龟。但是，这样的解答并没有真正按照芝诺的逻辑解决这个问题。追龟说中有一个芝诺时钟的概念，即阿基里斯第n次到达乌龟第n次起点的时间an=0.1n-1，当n趋于无穷时所需时间无限接近零。在本节课的最后，可以把芝诺时钟的题目作为一个课后练习题，用极限的定义严格证明阿基里斯追乌龟所需时间为有限值。

1.2 导数的概念与无穷小的严格定义

导数的概念在微积分中非常重要，它与微积分发展史的四个驱动问题密切相关，比如求物体的速度和加速度以及求函数的最大值最小值问题。在讲解导数的定义之前，我们简要介绍导数以及无穷小概念的背景和发展历程。

微积分的创始人之一，伟大的物理学家数学家牛顿有一句名言：“如果说我比别人（笛卡尔）看得更远些，那是因为我站在了巨人的肩上。”微积分的创建如所有的知识一样都不是凭空而来的，而是在前人浩如烟海的工作基础上总结提炼而成的。美国数学史专家莫里斯·克莱因在其著作《古今数学思想》中指出，十七世纪十几个大的数学家和几十个小一些的数学家都曾对微积分相关的几类问题做过探索和研究。例如法国数学家费马（Pierre deFermat）在1637的手稿《求最大值和最小值的方法》中求曲线切线方法，实质上就是我们现在所用的方法。英国数学家巴罗（Isaac Barrow）是剑桥大学的数学教授，他的著作《几何讲义》对后来微积分的创建有巨大贡献。巴罗是牛顿的老师，1669年他辞去了教授席位并让给了牛顿。此外，沃利斯（John Wallis），开普勒以及卡瓦列利等人都做了很多先驱性的工作。但是这一时期微积分的工作沉没在细节里。这时需要有人从众多的理论成果和纷乱的猜测中找到内在的联系，并把它们重新整理成统一的概念。完成这项工作的是英国的牛顿和德国的莱布尼茨。牛顿创立的导数当时叫做流数，他的方法受到Barrow和Wallis的启发和影响。莱布尼茨的很多成果和主要思想都包含在他的未发表的笔记中，他侧重于研究一般意义下的微积分，并首次采用了许多沿用至今的微积分记号。

牛顿的第一本关于微积分的巨著是《自然哲学的数学原理》，书中关于流数或者说我们现在指的导数，牛顿舍弃了无穷小量而用了“消失的可分量”。但是牛顿和莱布尼兹都没有清楚的理解和严格的定义他们的基础概念，即无穷小以及dx,dy的最终含意等。十八世纪，微积分的工作发展迅速，大量成果纷纷涌现，最主要的数学家包括欧拉以及伯努利家族等。十九世纪开始，数学家们开始关心并致力于解决分析在概念和证明方面的不严密性。从数学家柯西，阿贝尔和达朗贝尔的工作开始，最终由德国数学家魏尔斯特拉斯进一步发展并给出我们现在所采用的极限的严格定义。

此外，在讲述微积分的发展史中，下面两个有意思的问题可以留给学生课后通过查阅文献自主探讨。第一个是微积分创建的优先权之争，因为从时间上看牛顿大部分工作早于莱布尼兹，故莱布尼兹被指责为剽窃者，后来的调查证明莱布尼兹是独立研究和发明了微积分的主要思想。这件事情的结果使得英国和欧洲大陆的数学家停止了思想交换，并且导致英国数学家落在后面。第二个是无穷小的严格化定义，曾经被称为挥之不去的幽灵，在数学史上称为第二次数学危机。而第一次数学危机是无理数的发现，第三次数学危机是罗素悖论，也称为理发师悖论。通过以上教学设计，既提高了学生的学习热情，也让学生体会到数学知识来源于实际问题，并且归功于无数数学家不懈的努力和永无止境的探索。

2 总结

本文从高等数学中极限和导数两个重要的概念出发，探讨了将微积分历史融入到高等数学中的两个教学案例。在新的教育形势下，我们要坚持把立德树人作为中心环节,实现全程育人、全方位育人。高等数学课堂不仅要教授学生近现代数学的基本理论知识，为后续专业课的学习打下坚实的数学基础，而且可以在课堂上适当融合数学史以及数学文化相关的教育。通过这样的教学设计，不仅加强了学生对近现代数学史的理解，而且有助于培养学生的数学文化素养，激发学生勇于探索的科学精神。