“问题导学”复习课问题设计艺术——以“圆锥曲线离心率求值与范围问题”教学为例

广西南宁市第三中学（530021） 陶新军 陈华曲

笔者曾有幸听了两位教师教学“圆锥曲线离心率求值与范围问题”的同课异构课，并从“如何设计问题”这一角度进行了点评。之所以选择从“如何设计问题”的角度进行点评，是因为我校的黄河清校长在教学实践中探索出了“问题导学”教学法，其涉及新授课教学模式与复习课教学模式。其中，“问题导学”复习课教学模式包括知识回顾、自主构建、应用探索、总结归纳四个环节。每一个环节都有导向性的问题，教师合理设计问题，才能更好地引导学生思考，进而提高学生的思维能力。但是，提问要与学生的智力水平和知识水平相适应，让学生“跳一跳，能摘到果子”。那么，教师怎样才能在教学中问到“点子”上呢？笔者以“圆锥曲线离心率求值与范围问题”的教学设计为例对如何设计问题进行评析。

“圆锥曲线离心率求值与范围问题”的教学设计如下：

一、教材分析

离心率是刻画椭圆的扁平程度和双曲线的开口大小的一个量。求离心率的大小和范围问题是高考的热点和难点。离心率问题既可以考查圆锥曲线的定义和性质，又可以综合考查平面几何、三角函数、平面向量等内容，还可以考查考生的逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力，更可以考查数形结合、转化与化归、函数与方程等数学思想方法。因此，它备受命题者青睐。在高考第一轮复习中，我们不仅要求“全”，而且要求“联”。在高考第二轮复习中，我们不再要求“全”，而应要求“变”。基于以上理念，笔者设计了本课教学。

本节课是求圆锥曲线离心率问题的复习课，旨在通过精心设计课堂教学活动，巩固学生的基础知识，完善学生的知识结构，促进学生掌握解决问题的方法。

二、教学设计

（一）知识回顾

如图1所示。

问题1：在椭圆和双曲线中哪些线段分别表示a,b,c？

设计意图：复习椭圆、双曲线a,b,c和对应线段的关系，复习离心率的定义和范围。

（二）自主构建

问题2：你们能解答下面的题目，并比较它们的相同点和不同点吗？

设计意图：这两道题目的共同点是可以直接求解a,c，也可以直接求解离心率；不同点是第（1）题已知a,b，可以求c；第（2）题已知b,c，可以求a。

［例1］若双曲线(a＞0,b＞0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4 所截得的弦长为2，则椭圆C的离心率为________。

［思路引导一］

师：例1和前面两题有什么区别？

生：前面两题直接可以求解a,b,c,例1 不能直接求解。

师：如何寻找关于a,b,c的等量关系？

生：可以从几何图形中寻找。

师：请在三角形背景下寻找关于a,b,c的等量关系。如图2，在△OAB中，AB=2，OB=2，可以求解哪条线段的长度？

图2

生：通过点到直线的距离公式可以列出关于a,b,c的方程。

［思路引导二］

师：观察△OAB，它有何特点？

生：△OAB是正三角形。

师：在△OAB中，∠AOB是多少？

生：∠AOB=。

师：∠AOB和双曲线中的a,b,c如何建立关系？

生：tan∠AOB=。

问题3：通过以上题目，你能归纳出求离心率大小的基本步骤吗？

设计意图：例1 不能直接求a,b,c的值，如何建立关于a,b,c的等量关系？通过教师的引导，学生探索发现，建立等量关系。学生归纳总结，教师再补充完善，归纳、总结求离心率大小的基本步骤：（1）通过已知条件画出几何图形；（2）通过几何图形列出关于a,b,c的等式；（3）解等式（常化为a，c的齐次式）。

（三）应用探索

图3

［例2］双曲线(a＞0,b＞0)的两个焦点为F1，F2，若P为双曲线上的一点，且求双曲线C离心率的取值范围。

［思路引导一］

师：例2和例1有何不同？

生：例1是求离心率的大小，例2是求离心率的取值范围。

师：例2中哪些条件是固定的？

生：|PF1|=2|PF2|。

师：例2中哪些条件是变化的？

生：P为双曲线上的一动点。

师：动点意味着变化，变化就会产生不等关系，本题中动点P在哪些位置有变化？

生：P点从右上方运动到A点，||PF2的长度逐渐变小；从A点运动到右下方，||PF2的长度逐渐变大。

师：你能用a,b,c来表示这些变化吗？

生：|PF2|≥c-a。

［思路引导二］

师：观察△PF1F2，你能用a,b,c来表示这些变化吗？

［思路引导三］

师：我们学习了双曲线的第二定义，|PF2|的长度如何表示？

师：参考思路引导一，我们能用a,b,c来表示吗？

师：本题中双曲线的范围是多少？

生：x0≥a，亦即x0=≥a。

问题4：通过以上思路，你能否归纳出求离心率范围的基本步骤？

设计意图：例2 是求离心率的取值范围。解答例2 的关键在于确定a,b,c的不等关系。题目只给了两焦半径的等量关系，难点在于挖掘题目中的隐含条件，确定不等关系。一方面，可通过几何图形定性分析，找到边的不等关系；另一方面，可通过定量计算，利用双曲线的性质，由方程过渡到不等式，从而确定不等关系。教师引导学生总结归纳出求离心率取值范围的基本步骤：（1）通过已知条件画出几何图形；（2）通过几何图形列出关于a,b,c的不等式；（3）解不等式（常化为a，c的齐次式）。

设计意图：将圆锥曲线类型由双曲线改为椭圆，其他条件不变，离心率的取值范围又会怎样变化呢？题目的变式，旨在考查学生在条件变化后对离心率取值范围问题的掌握情况，满足不同层次学生的学习需求，提升学生的数学学科核心素养。

（四）总结归纳

问题7：本节课我们复习了哪些知识？用到了哪些数学思想方法？

1.求离心率大小的基本步骤：

（1）通过已知条件画出几何图形；

（2）通过几何图形列出关于a,b,c的等式；

（3）解等式（常化为a,c的齐次式）。

2.求离心率取值范围的基本步骤：

（1）通过已知条件画出几何图形；

（2）通过几何图形列出关于a,b,c的不等式；

（3）解不等式（常化为a,c的齐次式）。

3.用到了数形结合、转化与化归、函数与方程等数学思想方法。

设计意图：学生通过总结归纳，完善数学知识结构，掌握数学思想方法，培养数学学科核心素养。

三、教学反思

复习课是比较常见的课型。复习是完善学生知识结构的关键环节。复习中，教师应设计一系列具有递进性、挑战性和探究性的问题，引导学生学习，进行高水平的思维训练。这样，学生既可以巩固数学知识，促进知识内化，又可以培养去伪存真、举一反三的思维能力，逐步提升数学学科核心素养。

以“问题”为载体，以学生的“学”为目标，以教师的“导”为主线组织课堂教学，是“问题导学”教学模式的核心。教师在进行教学设计时，既要考虑知识之间的联系，又要考虑知识的变化，还要考虑学情。为此，教师会对专业的知识进行深入的探讨和研究，久而久之，教师的专业水平会得到极大的提升。

四、教学评析

（一）问题设计要激发学生的学习兴趣

好的开端是成功的一半。若一节课的开始，教师设计学生感兴趣的问题，会极大地激发学生的学习热情和学习兴趣。怎样才能设计学生感兴趣的问题呢？教师要在课前做足功课，根据教学内容提前对问题进行预设。教师可以结合当前的热门事件设计问题，可以根据数学的发展与历史故事设计问题，可以根据章头提示设计问题。本节课是高考第二轮复习课。复习课是教师依据学生的记忆规律，通过特定的教学活动对学生已有的知识进行巩固、拓展的课型。复习课的“知识回顾”环节重点要激发学生的学习兴趣。在教学中，甲、乙两位教师一开始都给出了近三年高考全国卷离心率的考点分布图和离心率的公式。教师甲布置学生自己看离心率的考点分布图，然后讲解离心率公式。这样导入课堂就显得有些严肃，学生参与度不高。课堂一开始，学生的积极性没有被调动起来，课堂气氛有些沉闷。教师乙是布置学生读有关离心率的考点，然后提问：“离心率考了几次？”学生答：“三次。”教师乙说：“重要事情说三遍，可见离心率很重要。”这个提问很简单，学生容易回答，一下就激发了学生的学习热情和学习兴趣。这样的提问，不仅有利于本节课教学的开展，还间接强调了离心率的重要性。

（二）问题设计要留够学生思考时间

教师设计好问题并提问学生后要耐心等待，给学生足够的时间思考、回答，不要刚提出一个问题，学生还没回答，又马上提出下一个问题，导致课堂结束后还留下多个问题给学生。有的学生课后没有思考，久而久之也懒得思考，极大地影响了思考问题的积极性。

建构主义理论认为，学习不应被看成对教师所授予知识的被动接受，而应是学习者以自身已有的知识和经验为基础的主动建构活动。这就要求教师合理引导，把学习自主权交给学生。下面对例1进行点评。

点评：对于例1，教师用5 分钟讲了两种解法，还写了板书，提了8 个问题，时间很仓促，学生没有时间思考，更不用说动笔计算了。教师“满堂灌”加“满堂问”，上完一节课，自己很累，而学生收获不大。

（三）问题设计要注意严谨性

数学是一门严谨的学科，教师要利用有限的课堂时间培养学生思维的严谨性。教师可以设计问题，让学生回答，学生回答问题时可能知识运用不严谨，也可能思维不严谨，还可能表述不严谨。教师要不断发现学生存在的问题并完善学生的解答。下面继续对例1进行点评。

点评：对于例1，教师先画图，由弦长是2，半径是2，可知△AOB是等边三角形，然后提问：“直线的倾斜角为多少？”笔者认为这样提问不合理、不严谨。因为渐近线有2 条，教师只画出了一条。若教师把2 条渐近线都画出来，构图成等边三角形，然后再提问：“渐近线的倾斜角为多少？”这样更严谨，学生也不至于漏解。

（四）问题设计要体现开放性

教师设计问题，不要仅局限于记忆类的问题，要设计一些开放性的问题，让学生“想探索、能探索”，培养学生的发散性思维。下面对例2进行点评。

点评：对于例2，求离心率范围，关键是建立a,b,c的不等式，也就是建立|PF2|≥|AF2|=c-a这一关键不等式。教师提问：“这里有哪个特殊点啊？”学生答：“A，F2。”教师又问：“哪个点更特殊？”学生回答：“A点。”教师再问：“难道往无穷大处就不特殊吗？”教师的提问往答案处引导，这样和告诉学生答案类似，限制了学生的思维。本题P点是动点，F2是定点，若教师提问：“怎样确定||PF2的范围？”则更开放，更能引发学生思考，更有利于提高学生的思维能力，真正实现学科育人。

（五）问题设计要体现多样性

教师设计问题要多样化，如一节有记忆类的提问，有开放性的提问，还有针对不同层次学生的提问，避免单一提问。如果只问成绩好的学生，成绩不好的学生就会想：“反正老师也不会问我，我不用思考了。”这样，连公平、公正都做不到，非常不利于学生的成长。

设计问题要注意质量。有的教师就常问“是不是”“对不对”，学生也习惯性地回答“是”“对”。这样的提问没什么效果。

总之，通过听课、评课让笔者受益匪浅，学习他人长处，提高自我。每次学习都让笔者意识到自己还有需要提高的地方，这种感觉让笔者找到了作为教师有别于其他行业的责任感与幸福感。