运用参数方程求双曲线弦长

陕西理工大学数学与计算机科学学院（723001） 郝秋梅

参数方程是以参变量来表示曲线上点的运动轨迹的坐标方程，是曲线在同一坐标系下的另一种表示形式。双曲线是高中数学的重要组成部分，与向量、解析几何、直线方程等知识联系紧密。在教学中，教师基本上只讲解用公式|AB|=求解弦长，其他方法一概略过。在考试中，一旦双曲线方程或弦所在直线方程复杂、不易化简时，采用传统解法（联立双曲线方程与弦所在直线方程，再利用韦达定理和两点间距离公式）求解，会使计算难度增加，求解过程烦琐，学生往往会因为计算量过大而半途而废或出错。为了解决此类问题，本文引进参数方程求解双曲线的弦长。虽然定理证明过程比较复杂，但结论比传统解法更加简洁，同时也体现了解决数学问题方法的多样性。

一、性质推导

性质1直线l：y=kx+m过双曲线（φ为参数）的焦点F2(c,0)与双曲线交于A，B两点，则l被双曲线截得的弦长。（如图1）

证明：当k≠0时，设A(asecφ1,btanφ1)，B(asecφ2，btanφ2)。

图3

证明：当m≠c时，设A(asecφ,btanφ)，B(asecφ，-btanφ)。

因为直线l与x轴交于C点，所以C(m,0)。

二、应用提升

则由性质1得

评注：本题是求解双曲线的焦点弦问题，已知a,b和直线的倾斜角，求弦长|AB|。若采用传统解法（联立双曲线方程与直线方程，再结合韦达定理求解）会导致计算量过大，给解决问题增加难度，但运用性质1 求解则会降低难度，大大简化计算过程。

［例2］已知双曲线=1(a＞0,b＞0)的左、右焦点分别为F1,F2，离心率为3，直线y=2与C的两个交点A、B间的距离为。则双曲线C的标准方程为 ____________ 。

评注：本题求的是双曲线的标准方程，实际上就是求出a,b的值，利用离心率、弦长公式以及c2-a2=b2得到有关a,b的方程组，从而解出a和b。弦长公式是解决本题的关键，若学生不能熟练运用弦长公式，则会加大解题难度、增加计算量。

评注：本题已知双曲线的参数方程和弦长求直线的斜率k，值得注意的是直线l恒过点(0,1)，它是双曲线虚轴上的一个顶点，这说明直线的斜率一定存在。运用性质2 可求得直线l的斜率k。这样不但能简化计算过程，而且能提高学生的解题速度与准确率，有助于培养学生的数学学科核心素养。

由于双曲线具有3 种不同形式的参数方程，所以它的弦长公式的表达形式也各不相同。本文仅介绍了其中一种类型的双曲线弦长公式及应用，该弦长公式可起到化繁为简的作用，对于提升学生分析问题与解决问题的能力有一定的帮助。其中性质1 是双曲线的焦点弦公式（无论直线与双曲线的哪一支相交，都可用该公式求解），它的优点是计算量小，a,b,k及弦长d可知三求一。性质2 适用于解决不经过焦点的一般类弦长问题，应用比较灵活和广泛。性质3 适用于直线斜率不存在时求弦长的问题，它形式简单、容易记忆。

以上3 条性质都有它的使用条件，在解题的过程中我们要具体问题具体分析，根据题目已知条件选择对应的弦长公式和解题方法，这样既能让学生提高解题效率，又能锻炼学生的数学思维和数学运算能力。