模型化解题研究

广西南宁市三美学校（530021） 甘 磊

初三学生数学知识的积累已经比较丰富，且经过三年的解题训练，解题能力也有明显提高。但是，在解答一些知识点比较多，考查综合能力，尤其是函数与几何结合的题目时，他们依然觉得有困难。有的教师为讲解这种“大型”题目，在课堂上耗费时间。更糟糕的是，学生重复训练此类题目，教师也多次重复讲解，教学效果却并不尽如人意。

为了解决这一问题，笔者站在学生“学”的角度去思考，总结出解答此类题目的策略，归纳出此类题目的数学模型。这样，学生在遇到类似的问题时，就可以遵循一定的规律去解决，从而提高解题的效率。

［例1］如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A(4,0)、B(-2,0)，与y轴交于点C(0,-4)，AC与抛物线的对称轴相交于点D。

图1

（1）求该抛物线的表达式，并写出点D的坐标；

（2）过点B作BE⊥BC交抛物线于点E，求点E的坐标；

（3）在（2）的条件下，点F在射线BE上，若△ABC∽△DFB，求点F的坐标。

解析：

（1）此问考查二次函数的解析式求法，通过联立方程组可得抛物线的表达式为y=得D(1,-3)。因为这不是本文的重点，所以具体过程省略。

（2）此问增加的条件是两条线的垂直关系，而题目要求点坐标的值，从而易联想到点坐标的值可转换成垂线段长度。而转换的关键是通过三角形相似或者三角函数。过程如下：

如图2，过点E作EH⊥x轴，垂足为H。设E（x,y），

图2

相关解题思路和基本模型可以通过如下示意图来体现。

（3）增加的条件是点的坐标以及相似三角形，依然是求点的坐标，同样容易联想到通过求点与x轴（或y轴）的垂线段长度，从而转换成点坐标的值。解题思路跟（2）差不多，但是比（2）难的地方是，反过来利用了点坐标的值，转换成垂线段长度，再用三角函数得到角度，从而确定F点的位置。过程如下：

如图3，∵△ABC∽△DFB，

图3

∴∠BDF=∠BAC=45°，

∴点F在抛物线的对称轴上。

∵抛物线的对称轴为x=1，

相关解题思路和基本模型可以通过如下示意图来体现。

解题总结：

已知点的坐标，可以通过把坐标值转换成线段长度，从而可以运用几何图形的性质，并通过三角函数或者相似三角形将线段的数量关系找出来，用解方程来求出线段的长度，从而得到点的坐标。也就是说，解决此类问题，可以遵循以下思考步骤。

（1）确定已知了哪些点坐标，它们可以转换成哪些线段的长度；

（2）明确有什么样的几何图形，这些图形有什么特性；

（3）利用相似三角形或者三角函数得到“数与形”的关系；

（4）建立求解的方程；

（5）把线段长度转换成点坐标。

［例2］如图4，已知抛物线y=+bx+c经过A，B，C三个点，其中点A(9,10)，点B(0,1)，BC∥x轴，点P是直线BC下方抛物线上的动点。

图4

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、BC分别交于点E、F，当四边形BECP的面积最大时，求点P的坐标和四边形BECP的最大面积；

（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线BC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

本题的第（3）小问与本文阐述的观点相关，所以笔者重点讲解第（3）小问。解题的思路基本遵循文中阐述的解答此类题目的规律：通过点坐标转换成线段长度，并利用三角函数找到相等的角，从而确定相似三角形的对应关系，建立方程，得到线段长度再转换成点的坐标。

解：（1）∵点A(9,10)，B(0,1)在抛物线上，

（2）∵BC∥x轴，B(0,1)，∴-2x+1=1，解得x1=6，x2=0（舍去），∴点C的坐标(6,1)，∵点A(9,10)，B(0,1)，∴直线AB的解析式为y=x+1。

［例3］如图5，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=+bx+c与x轴 交于点B(-2,0)和点A，与y轴交于点C(0,-3)，经过点B的射线与y轴相交于点E，与抛物线的另一个交点为F，且。

图5

（1）求这条抛物线的解析式，并写出抛物线的对称轴；

（2）求∠FBA的余切值；

（3）点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，点P是y轴上一点，且∠BFP=∠DBA，求点P的坐标。

解：（1）把C(0,-3)代入得c=-3，∴抛物线的解析式为y=

（2）如图6，过点F作FM⊥x轴，垂足为M。

图6

（3）∵抛物线的对称轴为x=1，C(0,-3)，点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，

∴D(2,-3)，∴cot∠DBA=，∴∠FBA=∠DBA。

如图7 所示，当点P在BF的上方时，∠PFB=∠DBA=∠FBA，∴PF∥AB，∴yp=yF=6。

图7

由（2）可知F(6,4k)，∴F(6,6)，点P的坐标为(0,6)。

如图8所示，当点P在BF的下方时，

图8

设FP与x轴的交点为G(h,0)，则∠PFB=∠FBA，可得到FG=BG，∴(6-h)2+62=(h+2)2，解 得。

设PF的解析式为y=kx+b，将点F和点G的坐标代入得

综上所述，点P的坐标为(0,6)或。

［例4］如图9，在直角坐标平面内，直线y=分别与x轴、y轴交于点B、C。抛物线bx+c过点C，与x轴交点为点A、B。点D在该抛物线上，且位于直线BC的上方。

图9

（1）求上述抛物线的表达式；

（2）连接AC、AD，且AD交BC于点E，如果△ABE的面积与△ABC的面积之比为4∶5，求∠DBA的余切值；

（3）过点D作DF⊥BC，垂足为点F，连接CD。若△CFD与△AOC相似，求点D的坐标。

∴抛物线的解析式为y=

（2）过点E作EH⊥AB于点H，如图10所示，

图10

当y=0时，-2=0，解得x1=-4（舍去），x2=1，则A(1,0)。

在Rt△AHE中，cot∠EAH=即。

（3）∠BOC=∠DFC=90°。若∠DCF=∠BCO，△DCF∽△BCO，如图11，过点D作DG⊥y轴于点G，过点C作CQ⊥DC交x轴于点Q，∵∠DCQ=∠BOC=90°，∴∠DCF+∠BCQ=90°，即∠BCO+∠BCQ=90°，而∠BCO+∠CBO=90°，∴∠BCQ=∠CBO，∴QB=QC，

图11

设Q(t,0)，则t+4=，解得，

整理得8k2-3k=0，解得k1=0（舍去），k2=

如图12，若∠DCF=∠CBO，△DCF∽△CBO，则CD∥BO，∴点D的纵坐标为2，

图12

把y=2 代入y=--得+2=2，解得x1=-3，x2=0（舍去），∴D(-3,2)。

综上所述，点D的坐标为或(-3,2)。

综上可知，题目是千变万化的，我们在讲解题目的过程中，要引导学生去寻找数学模型，并进行归类，使学生慢慢会总结出解题的基本思路，进而顺利解决问题。