“多题一解”思想在初中数学解题中的应用

2022-03-16 14:35陕西理工大学数学与计算机科学学院723001严贵玲
中学教学参考 2022年2期
关键词:两圆等腰三角勾股定理

陕西理工大学数学与计算机科学学院(723001) 严贵玲

一、初中数学“多题一解”的必要性

“多题一解”是指用同一种数学思想方法解决不同的数学问题,这就要求学生在分析题目时能够由表及里,抓住问题的本质,找出知识的内在联系。学生掌握“多题一解”,能将大量的数学题目化归为一个模块、一个专题,实现做少量的题也能灵活地解决各类难题。

初中阶段正是学生发展数学能力的关键期。随着知识点的增多和学习难度的提高,很多学生的学习水平开始出现明显差异。学好数学的关键点在于能解题、会解题。但是,很多学生都是提笔就写、遇题就做,缺乏对不同题型求解方法的思考和总结,导致学习效果不尽如人意。若能将“多题一解”思想运用到初中数学的学习中,让学生在不同问题情境下对问题进行剖析,并通过对比归纳,形成自己的解题体系,学生就会在面对不同类型的数学题时,能快速反应,选择出合适的解题方法。这样,既能提高学生的解题效率,又能让学生在解题过程中加深对知识内在联系的理解,达到举一反三、触类旁通的效果。

二、“多题一解”思想在特殊三角形存在性问题中的应用

等腰三角形和直角三角形的存在性问题是初中数学的难点问题。解决这两类问题的主要方法是构造“两圆一线”和“两线一圆”模型,在理解题意的基础上,通过绘图辅助,分类讨论出每一种情况的结果。但此类问题的难点在于满足题意的结果不止一种,学生受到定式思维的影响容易遗漏其他的结果。而且计算过程较为复杂,总体来说难度系数偏高。在教学时可将这两大类问题归为两个专题,让学生进行训练,使他们在解题过程中通过类比、迁移、归纳,感悟并掌握“多题一解”思想。

(一)构造“两圆一线”求解等腰三角形存在性问题

[例1]如图1,在平面直角坐标系中,已知点A的坐标为(2,1),连接OA,若P是x轴上一动点,则当△AOP是等腰三角形时,求点P的坐标。

图1

分析:若使△AOP是等腰三角形,那么必有OA=OP或OA=AP或OP=AP。

解:如图2,①当OA=OP时,以 点O为圆心,以OA为半径构造⊙O,此时⊙O与x轴 交 于P1、P2两点,即。

图2

②当OA=AP时,以点A为圆心,以OA为半径构造⊙A,此时⊙A与x轴交于点O(点O不能构成等腰三角形,暂不讨论)和点P3,即P3(4,0)。

③当OP=AP时,作OA的垂直平分线,该直线与x轴交于点P4。此时,设点P4坐标为(x,0),利用勾股定理,可列方程x2=12+(2-x)2,得到

因此,此题共有4 个点能使得△AOP是等腰三角形。

对于这一类题目,通常还会有其他的问法。例如,在同样的条件下,y轴上是否存在点P,使得△AOP是等腰三角形?或者在坐标轴上是否存在点P,使得△AOP是等腰三角形?经过分析,我们发现解题思路和计算过程都可以类比例1。此时y轴上也有4 个点符合题意。同样,当问题是在坐标轴上求点P时,就要综合点P在x轴和y轴上的两种情况,共可求得8个点。

[例2]如图3,在平面直角坐标系中,四边形OABC是长方形,已知A(6,0),C(0,2),M是OA的中点,P是线段BC上的一个动点,当△OMP是腰长为3 的等腰三角形时,求点P的坐标。

图3

分析:若使△OPM为等腰三角形,可讨论PM=OM、OP=OM和OP=PM这三种情况。

解:如图4所示,

图4

①当PM=OM=3 时,此 时 以 点M为圆心,以OM为半径构造⊙M,其交CB于点P1,P2。分 别 构 造相应的直角三角形,利用勾股定理列出方程,即可求得坐标为

②当OP=OM=3时,以点O为圆心,以OM为半径构造⊙O,其与CB交于点P3,利用勾股定理列出方程,可得

③当OP=PM=3时,作OM的垂直平分线,由图可知,此时△OPM是等边三角形,点P在两圆的交点处,不在CB上,不符合题意,故舍去。

综上所述,共有3个点成立。

[例3]在平面直角坐标系中,点A(2,1),B(0,1),C(-4,-3),D(6,-3),将各点依次连接构成一个四边形ABCD后,求出点P的坐标,使得△APB、△BPC、△CPD、△APD都是等腰三角形。

分析:将各点连接之后,这是一个等腰梯形(如图5),要使得△APB、△BPC、△CPD、△APD这4个三角形都是等腰三角形的点P并不好求。但是仔细分析后可以发现本题的突破点:(1)“△APB、△CPD是等腰三角形”是这4 个等腰三角形成立的先决条件。由于该四边形是等腰梯形,AB和CD有着特殊的位置关系,当△APB和△CPD是等腰三角形时,点P必然在AB、CD的垂直平分线上,即点P在直线x=1 上。(2)该四边形是等腰梯形,则有BC=AD,考虑△BPC和△APD都是等腰三角形的条件时,只考虑点P使△BPC是等腰三角形即可。综上两个关键点,我们可以建立“两圆一线”模型来解决这个问题。

图5

解:对于CB=CP、BC=BP、BP=CP三种情况时,分别构造⊙C、⊙B、BC的垂直平分线(如图6),设点P(1,y)。

图6

综上所述,有5个点符合要求。

求解这一类等腰三角形的存在性问题,只要对问题进行层层分析,将关键点分析到位,就能知道它们属于同一类题,解题方法都是类似的。先根据题意分情况讨论,再构造“两圆一线”模型,最后利用勾股定理和两点间距离公式求解点P。只要熟练掌握这一类解题技巧,那么这类问题也就迎刃而解了。

(二)构造“两线一圆”求解直角三角形存在性问题

[例4]在平面直角坐标系中,点A(1,1),B(5,3),在x轴上找一点P使得△ABP是直角三角形,求点P的坐标。

分析:本题中三角形的目标形状是直角三角形,那么必有∠A=90°、∠B=90°、∠P=90°三种情况。

解:如 图7(“两 线 一圆”模型)所示,AB=,设P(x,0)。

图7

①当∠A=90°时,过点A作AB的垂线交x轴于点P,利用勾股定理AB2+AP2=BP2,列方程为20+(x-1)2+1=( 5-x)2+9,即得。

②当∠B=90°时,过点B作AB的垂线交x轴于点P,此时有AB2+BP2=AP2,列方程为20+(x-5)2+9=(x-1)2+1,即得

③当∠P=90°时,点P在以AB为直径的圆上,此时AB作为斜边,同样利用勾股定理BP2+AP2=AB2,列方程为(x-5)2+9+(x-1)2+1=20,即得P3(2,0),P4(4,0)。综上所述,共有4个点符合要求。

[例5]在平面直角坐标系中,点M(1,4),A(3,0),点P是y轴上一点。若使得△PAM是直角三角形,那么有几个满足条件的点P?求出该点坐标。

解:如图8(“两线一圆”模型)所示,AM=,设P(0,y)。

图8

综上所述,共有4个点满足题意。

[例6]在平面直角坐标系中,点A(-2,2),B(3,2),P是坐标轴上一点,若△ABP是直角三角形。问:满足条件的点共有几个?

分析:本题增加了点P的位置范围,即在坐标轴上。但是方法不变,我们依然可借助“两线一圆”来解决这个问题。本题只用求点P的个数,不要求坐标,降低了解题难度。

解:如图9 所示,构造“两线一圆”模型。

图9

①当∠A=90°时,过点A作AB的垂线与x轴交于点P1;

②当∠B=90°时,过点B作AB的垂线与x轴交于点P2;

③当∠P=90°时,以AB为直径构造圆,其与x轴分别交于点P3,P4,与y轴分别交于点P5,P6。

综上所述,共存在6 个点使得△ABP是直角三角形。

求解直角三角形的存在性问题,学生需要把握题目的本质,精准分析题目。先考虑到有三种直角的情况,再构造“两线一圆”模型,利用勾股定理列出方程即可。只要做到这一步,学生就能通过做一题会一类。通过日常的学习训练,学生求解直角三角形存在性问题的能力就会明显取得进步。

解题能力是数学学习能力的一大组成部分。数学题目种类多、范围广,知识点之间联系紧密。如果学生缺乏“多题一解”思想,很容易被困在题海中,找不到学习数学的有效方法,丧失学习数学的兴趣。本文以解决特殊三角形的存在性问题为例,将不同内容的练习题编织在一起,进行层层分析后,采用同一类方法求解,充分体现了“多题一解”的重要思想。在日常教学中,培养学生的“多题一解”思想,有利于加强学生对知识的熟悉程度,有利于学生对数学思想方法的掌握和运用,达到强化训练的目的,形成解题技巧,提升学生自身的数学素养。因此,“多题一解”在初中数学学习中具有显著作用,应当成为学生学习数学的重要思想。

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